2.2.1椭圆及其标准方程 广州市玉岩中学 吴和贵

生活中的椭圆

“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空 天文学 中的椭圆 “嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

2.2.1椭圆及其标准方程

活动 大家动手画椭圆 数 学 实 验 1.取一条定长的细绳； 2.把它的两端固定在图板上的两点 处； 活动 大家动手画椭圆 数 学 实 验 1.取一条定长的细绳； 2.把它的两端固定在图板上的两点 处； 3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢 移动，看看能画出什么图形？ 请点这里

思考：你发现了什么几何规律？ 数 学 认 知 和为常数. 即 |MF1|+|MF2|=常数(2a). 2.常数大于两定点之间的距离.即 数 学 认 知 1.椭圆上的动点M到两个定点F1、F2的距离之 和为常数. 即 F1 F2 M |MF1|+|MF2|=常数(2a). 2.常数大于两定点之间的距离.即 |MF1|+|MF2|> |F1F2|

一.椭圆的定义 注意： 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆． 学 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点， 归 纳 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点， 两焦点之间的距离叫做焦距(2c)． F1 F2 M 注意： -[1]平面内---这是大前提 -[2]动点M 与两个定点F1、F2的距离的和是常数2a -[3]常数2a大于焦距2c

P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c>0）} 椭圆定义的集合表示 数 学 归 纳 P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c>0）}

平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数（记|MF1|+|MF2|=2a）的点M的轨迹是： 学 归 纳 （1）当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时点M的轨迹是为 椭圆 （2）当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点M的轨迹为 线段F1F2 （3）当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时点M的轨迹 不存在 （2） （1） 请点这里

根据椭圆的定义求椭圆的方程　　 求曲线方程的基本步骤 检 验 建 系 列 式 化 简 设 点 如何求曲线的方程呢？

椭圆的标准方程的推导 解：以焦点F1、F2的所在直线为x轴， 线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). O y 线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). F1 F2 M 设M(x,y)为椭圆上的任意一点， x |F1F2|=2c(c>0), 则F1(-c,0)、F2(c,0) 由椭圆的定义得： 因为

移项，再平方 数 学 推 理 两边再平方，得 整理得

数 学 推 理 F1 F2 M O x y 该方程叫做焦点在x轴 上的椭圆的标准方程．

思考：若如图建系，那么椭圆的方程是什么？ 椭圆的标准方程的推导 思考：若如图建系，那么椭圆的方程是什么？ F1 F2 M O x y 数 学 推 理 这个方程叫焦点在y轴上的椭圆的标准方程.

二.椭圆的标准方程 数 学 归 纳 哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上.

椭圆及其标准方程 应 用 3 其焦点位于___轴上， x 焦点坐标是 4 （2）在椭圆 中，a= __ , b= ___, y 应 用 （1）在椭圆 中, a= ___, b=___, 3 2 其焦点位于___轴上， x 焦点坐标是 4 （2）在椭圆 中，a= __ , b= ___, y 其焦点位于___轴上，焦点坐标是 ____

（3）a=5，c=4 的椭圆标准方程是 或 （4）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是

圆的左、右焦点，并且︱MF 1︱=6,则︱MF2︱= 4 . （5）若M为椭圆 上一点，F1、F2分别为椭 圆的左、右焦点，并且︱MF 1︱=6,则︱MF2︱= 4 （6）已知F1、F2分别为椭圆 的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于M、N两点，则△MF2N的周长为 20

三.练一练 思考：求椭圆的标准方程需知道几个量？ 答： 两个；a、b 或 a、c 或 b、c； 且满足 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 ，求它的标准方程. 思考：求椭圆的标准方程需知道几个量？ 答： 两个；a、b 或 a、c 或 b、c； 且满足 你知道 了吗？

法一：定义法 解：由椭圆的定义知： ∴ ，又 ， ∴ 因为椭圆的焦点在 轴上 x 所以椭圆的标准方程为：

∴ (2) 法二：待定系数法 解：由题意可设椭圆的标准方程为 (1) ∵椭圆过点 又∵椭圆的焦点为（2,0），（-2，0） 由⑴ ⑵可得 ∴ (2) 由⑴ ⑵可得 所以椭圆的标准方程为： 22

反思:确定椭圆标准方程的两个准则 1.定位 在两焦点的中点为原点的前提下，确定焦点位于那条坐标轴上，以判断方程的形式. 2.定量 确定 的值，常用待定系数法列方程组求解.

能力提升 如图，圆A的半径为定长r，B是圆内一 个定点，P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线 和半径AP相交于点Q， (2)当点P在圆上运动时，若r=10，AB=6，建立适当 的平面直角坐标系，求出点Q的轨迹方程.

回顾反思 １、本节课我学到了哪些知识？ 复习巩固

小结 o o 定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y x y x 图 形 方 程 F(±c，0) 定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) 1 o F y x 2 M 1 2 y o F M x 图 形 方 程 F(±c，0) F(0，±c) 焦 点 a,b,c之间的关系 注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.

回顾反思： 2.求椭圆标准方程常用方法是什么？ 3.本节课涉及到了哪些数学思想方法？ 今天我们类比研究圆的基本方法研究了椭圆的定义及标准方程，接下来我们也将继续利用方程展开研究椭圆的几何性质.研究圆、椭圆的这一思想将贯穿于整个圆锥曲线的教学中.

课外作业： 1、推导焦点在 轴上的椭圆的标准方程. 2、习题 2.2 A组 1，2.

课后探索 再上一个台阶 1、方程 什么时候表示椭圆？什么时候表示 焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示 焦点在y轴上的椭圆？能表示圆吗？ 2、收集天宫一号及神舟八号相关信息， 了解我国航天事业的发展情况. 什么时候表示椭圆？什么时候表示 焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示 焦点在y轴上的椭圆？能表示圆吗？ 再上一个台阶

谢 谢！