國立臺北教育大學 數學暨資訊教育學系 副教授 譚寧君(退休) 九年一貫國小數學領域綱要解讀 國立臺北教育大學 數學暨資訊教育學系 副教授 譚寧君(退休)

(一)估算 (二)認識大數 (三)概數與概算 (四)數學性質與四則 混合 (五) 因數、倍數、質數、質因數

3-n-10能做簡單的三位數加減估算。 估算 例：「302＋299＝( )， 例：「701－599＝( ) 例：「302＋299＝( )， 例：「701－599＝( ) 例：「13＋16＋17＋18＋14＋17＝( )

題目1 <PowerClick><Answer>4</Answer><Option>4</Option></PowerClick>

題目9 <PowerClick><Answer>1</Answer><Option>4</Option></PowerClick>

0.5×840和下面哪個答案相同？ (A)840÷2 (B)5×840 (C)840÷5 (D)0.5×84

在9.43和9.44之間有多少個小數？ (A)沒有 (B)1個 (C)10個 (D)無限多個 <PowerClick><Answer>4</Answer><Option>4</Option><Point>1</Point></PowerClick>

下面哪個算式的乘積最大？ (A) 18×17 (B)16×18 (C)17×19 (D)19×15 <PowerClick><Answer>3</Answer><Option>4</Option><Point>1</Point></PowerClick>

請比較521×5和520＋521＋522＋523＋524，哪個答案比較大？ (A) 521×5 (B)520＋521＋522＋523＋524 (C)一樣大 (D)不計算無法判斷 <PowerClick><Answer>2</Answer><Option>4</Option><Point>1</Point></PowerClick>

4-n-01能透過位值概念，延伸整數的認識到大數(含「億」、「兆」之位名)，並做位值單位的換算。 認識大數 4-n-01能透過位值概念，延伸整數的認識到大數(含「億」、「兆」之位名)，並做位值單位的換算。 認識由「個、十、百、千」及「萬、億、兆」所組成的位名，及其形成的計數系統。從「萬」、「十萬」、「百萬」、「千萬」的群組，認識位名的關係、讀數與記數的規則，並與過去「個、十、百、千」之經驗相連結，然後再推廣此經驗到「億、兆」的範圍。 1234 5678 9012 3456 7890 12,345,678,901,234,567,890

4-n-01能透過位值概念，延伸整數的認識到大數(含「億」、「兆」之位名)，並做位值單位的換算。 認識大數 4-n-01能透過位值概念，延伸整數的認識到大數(含「億」、「兆」之位名)，並做位值單位的換算。 進行兩階或跨階單位的換算。例：知道「億」是「千萬」的十倍，「千萬」是「十萬」的一百倍。  例：學童知道503000000讀做五億零三百萬，以及能將三百二十萬三千寫做3203000。  大數的大小比較更要指導學生從高位比起，利用位值表及「個」、「萬」、「億」、「兆」的群組，例如：比較11608767和11349593的大小，只要比萬位以上的部分，從1160萬＞1134萬即可比出兩數的大小。

問題1 <PowerClick><Answer>1</Answer><Option>4</Option></PowerClick>

問題2 <PowerClick><Answer>3</Answer><Option>4</Option></PowerClick>

問題3 <PowerClick><Answer>4</Answer><Option>4</Option></PowerClick>

問題4 <PowerClick><Answer>3</Answer><Option>4</Option></PowerClick>

問題5 <PowerClick><Answer>1</Answer><Option>4</Option></PowerClick>

認識大數 11074200是八位數，左邊的1記在千萬位，表示1000萬，右邊的1記在百萬位，表示1百萬。 21074200人次 21174200人次

認識大數

認識大數

認識大數

認識大數

認識大數

認識大數

認識大數

認識進位制

認識進位制

四年級4-n-01能透過位值概念，延伸整數的認識到大數（含「億」、「兆」之位名），並作位值單位的換算。 認識進位制

四年級 認識進位制

認識大數

認識大數 民國94、95年度的中央政府總預算金額如下： 年度 94 95 總預算 1,635,615,000,000元 1,599,560,424,000元 請把94、95年度的總預算金額記在定位板上： 年度 十兆位 兆位 千億位 百億位 十億位 億位 千萬位 百萬位 十萬位 萬位 千位 百位 十位 個位 1 6 3 5 6 1 5 94 1 5 9 9 5 6 4 2 4 95

四年級 大數計算

4-n-02能熟練整數加、減的直式計算。(修4-n-02) 熟練加、減直式計算，是四年級的重要教學目標。原則上位數不應設限。  例：也可練習簡單的複名數式的加減法，例如：8萬6千＋9萬7千、3萬4千－9千、2億960萬－1億4820萬的問題。 教學上不宜練習大量高位數的直式計算，大數的處理必須結合概數才有用。

大數計算

原則上乘法以四位數乘以一位數、三位數乘以二位數與二位數乘以三位數為上限，這當然包括比上面更低的所有位數的乘法。 4-n-03能熟練較大位數的乘除直式計算。 原則上乘法以四位數乘以一位數、三位數乘以二位數與二位數乘以三位數為上限，這當然包括比上面更低的所有位數的乘法。  原則上除法以四位數除以一位數、三位數除以二位數為限。

大數計算

大數計算 10000元 20000元 30000元 幾百乘以幾百時，只要將不是零的數字相乘，在得到的積後面補上乘數和被乘數所有零的總和即可。如300×300＝90000。

大數計算 200000元 100000元 300000元

大數計算 254000公克 381000公克 2000 × 300 600000 9000 × 900 8100000 4800 × 700 3360000

大數計算

大數計算

大數計算

？

大數計算

大數計算

大數計算

大數計算

4-n-06能在具體情境中，對大數在指定位數取概數(含四捨五入法)，並做加、減之估算。(修4-n-05)  概數是大概準確的數字，也是指誤差最小代表性最強的數，至於此概數是否恰當，則依賴問題的情境。 例如：我們可以說臺灣人口約兩千萬人，但是如果我們關心的是今年臺灣人口增加多少時，那麼將去年與今年的人口都說成兩千萬人就是不恰當的。  在指定位數用四捨五入法求概數。（思考無條件捨去與進入的必要性與學習方式）  四年級階段只做整數的加減估算，與乘、除有關的估算可在六年級配合小數的教學時再進行(參見6-n-7)。  例：「臺灣2007年5月時，男性人口有11589667人，女性人口有11304616人。先以四捨五入在萬位取概數，再計算臺灣總人口約有多少萬人。」11589667人約為1159萬人，11304616人約為1130萬人，故臺灣總人口約為1159＋1130＝2289(萬人)

認識概數

認識概數

認識概數

認識概數 1100 75000

認識概數

認識概數

認識概數 6410 50000

認識概數

認識概數 79000 76000 46000 11000 158000 78000 75000 45000 10000 157000 四捨五入法

認識概數 下面的數線上有四個數字： 用無條件捨去法取概數到百位 用無條件進位法取概數到百位 1702 1700 1800 1746 1754 1710 1720 1730 1740 1750 1760 1770 1780 1790 1702 1746 1754 1798 請完成下列表格： 說說看：你發現什麼？ 取概數的方法 原來的數 用無條件捨去法取概數到百位 用無條件進位法取概數到百位 1702 1700 1800 1746 1754 1798

認識概數 用無條件捨去法取概數到百位 用無條件進位法取概數到百位 用四捨五入法取概數到百位 1702 1700 1800 1746 1754 1710 1720 1730 1740 1750 1760 1770 1780 1790 1702 1746 1754 1798 請完成下列表格： 取概數的 方法 原來的數 用無條件捨去法取概數到百位 用無條件進位法取概數到百位 用四捨五入法取概數到百位 1702 1700 1800 1746 1754 1798

概算

概算

概數區間 無條件捨去法取概數到百位為1700的整數範圍：1700到1799 無條件進位法取概數到百位為1700的整數範圍：1601到1700 1800 無條件進位法取概數到百位為1700的整數範圍：1601到1700 1601 1600 1700 我們發現當取概數的下一位的數字為0、1、2、3、4時為捨去； 而取概數的下一位的數字為5、6、7、8、9時為進位。如此一來 ，也方便我們記憶。 四捨五入法取概數到百位為1700的整數範圍：1650到1749 結果我們規定以1650做為第100個數字 我們可以確定的為1651到1749這99個數字 1651 1749 1650 1750 1700

5-n-01能熟練整數乘、除的直式計算。(修4-n-02) 五年級是整數直式計算的總結，應熟習乘、除直式計算之一般計算算則。應讓學童理解直式計算中，處理「0」的一般方法。  在較大數時，應熟悉如「234000×2100」、「840000÷280」、「3200000÷2000」等形式之計算問題，這是連結位值、概數與日後科學記號之學習基礎。

大數乘除

大數乘除

大數乘除

數學性質 兒童自行發表

數學性質 一樣 兒童自行發表

數學性質 96格 兒童自行發表 兒童自行發表

數學性質 一樣 兒童自行發表

數學性質 一樣 兒童自行發表

數學性質 一樣 45×4＋76×4＝(45＋76)×4

數學性質

數學性質

數學性質

5-n-02能在具體情境中，解決三步驟問題，並能併式計算。(修5-n-01) 本細目要求學童能做三步驟應用問題，並儘量以併式的方式思考與演算。這是國中代數學習的重要前置經驗。  例：「三人出外旅遊，共花費旅館費2200元、飲食雜費1800元、汽油費500元，若三人協議分攤旅費，問每人平均分攤多少元？」 (2200＋1800＋500)÷3＝4500÷3＝1500(元)  例：「一條繩子的一半的一半的一半是3公尺，問原來繩長幾公尺？」

5-n-03能熟練整數四則混合計算。(同5-n-02) 這是小學對於整數四則混合計算的總結學童應能熟悉各種混合計算的約定；同時希望學童在練習中，能利用整數四則運算的性質來簡化計算，加深學童對四則運算性質的熟悉。  數量範圍雖然可以配合年級而擴大，但應避免過度繁雜又重複的練習。

四則運算

數學性質

各題檢測結果分析-第一題（楊美伶，2007） 題 目：算算看，並把你的算法和答案寫下來。 評量目的： 評閱標準： 題 目：算算看，並把你的算法和答案寫下來。 16 ＋ 64 ÷ ( 24 － 8 × 2 ) × 2 評量目的： 評閱標準： 本試題主要在評量學生是否確實掌握四則混合計算的算則規約並正確計算出答案。 類別 評閱標準（評閱舉隅） 2-A 逐次減項化簡得出正確答案。 2-B 分開計算得出正確答案，但未能使用等號逐次化簡。 0-A 空白 0-B 括號內雖能先乘後減，而其他步驟卻有部分由左而右依序計算(有逐次減項)。 0-C 括號內雖能先乘後減，而其他步驟卻有部分由左而右依序計算(未逐次減項)。 0-D 括號內未能先乘後減 0-E 受先乘後除(含先加後減)或依序由左至右計算的影響。 0-F 答案錯，且在化簡過程中未能符合數學上等號的意義。 0-X 其他

哪一個是正確的?

五年級目標在於協助學童做分數約分、擴分、通分之計算，而非整數內在關係的理論(六年級題材)，因此數字大小應配合分數之教學(5-n-07)。 5-n-04能理解因數和倍數。(修5-n-03) 五年級目標在於協助學童做分數約分、擴分、通分之計算，而非整數內在關係的理論(六年級題材)，因此數字大小應配合分數之教學(5-n-07)。  學生應學習基本的因數判別法，其中2、5、10較容易，3的因數判別法則由教師告知或由百格板察覺，11暫不需要教學

5-n-05能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。(修5-n-03) 用列表的方式，尋找兩數的公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數。  學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數，此可用於分數之通分。  五年級時，只是初步認識這些概念，學生只需用列表解題。短除法算則則在六年級配合因數之短除法一起教學(6-n-02)。

兒童自行發表 兒童自行發表

兒童自行發表 1、5

16個 20個 24個，是4的6倍

兒童自行發表

分給6位小朋友，可以全部分完嗎? 6 ÷ 6 ＝ 1……0 6朵花分給6個人，每個人拿1朵花，剩下0朵花。

整除的定義： 整除 哪些可以剛好分完？ 6 ÷ 1 = 6 ……0 6 ÷ 1 = 6 ……0 ……0 6 ÷ 2 = 3 ……0 6 ÷ 3 = 2 ……0 6 ÷ 3 = 2 ……0 ……0 6 ÷ 4 = 1 ……2 6 ÷ 4 = 1 ……2 ……0 6 ÷ 5 = 1 ……1 6 ÷ 5 = 1 ……1 哪些不能剛好分完？ 6 ÷ 6 = 1 ……0 6 ÷ 6 = 1 ……0 不能整除 當被除數、除數、商為整數，餘數為0的時候， 稱為整除。

現在想要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊， 應怎樣排?

要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊， 應怎樣排? 排成１隊，每隊有８人。 1 × 8 = 8 因數 8的因數有: 1 8

要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊， 應怎樣排? 排成2隊，每隊有4人。 2 × 4 = 8 因數 8的因數有: 2 4

要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊， 應怎樣排? 排成4隊，每隊有2人。 4 × 2 = 8 因數 8的因數有: 4 2

利用灰色（3公分）和黃色（2公分）紙卡，在下面的數線上排列貼上，並在紙卡連接處寫上長度。你發現他們在多少公分長時是一樣長的？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 黃色 紙卡

在1-100中，用紅色筆圈出6的倍數；用藍色筆圈出9的倍數 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 公倍數是： 18 36 54 72 90

5-n-06能用約分、擴分處理等值分數的換算。(同5-n-04)  在本細目教學時，可由平分情境，解釋約分與擴分的意義，然後即應運用因數與倍數來理解約分與擴分，並做等值分數的換算。

5-n-07能用通分做簡單異分母分數的比較與加減。(同5-n-05) 本細目在小學應以簡單異分母為教學重點，所謂「簡單」係指兩分母滿足以下情況之一(1)分母均為一位數；(2)一分母為另一分母的倍數，且兩數小於100；(3)乘以2、3、4、5就可以找到兩分母之公倍數(例如：兩分母為12與18)。  做一般異分母分數之比較與加減時，必須利用約分或擴分，將兩異分母的分數通分成為兩同分母之等值分數後，再做比較與加減。  本細目只做通分概念的認識，並不要求將結果化成最簡分數(參見6-n-03)。所以此時學童在做通分時，可能只是做最簡單的分母相乘，但在熟悉的數字時，教師可鼓勵學童儘量將答案約分為較簡單的分數。  教師應注意學童經常發生的錯誤類型：分母與分子各自相加減。

6-n-01能認識質數、合數，並用短除法做質因數的分解（質數＜20， 質因數＜20，被分解數＜100）。 在對一數做因數分解的練習裡，發現遇到質數就必須停下來。同時在記錄分解的樣式及整理中，發現不管怎麼分解，形式都一樣(見下例)。在小學時，質因數分解的乘積不寫成指數形式  例：60＝6×10＝(2×3)×(2×5)＝2×2×3×5，或 60＝15×4＝(3×5)×(2×2)＝2×2×3×5

6-n-02能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數。 最大公因數、最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，熟悉其意義(5-n-05)。本細目則更進一步以6-n-01求質因數的短除法經驗，發展以短除法計算兩數最大公因數與最小公倍數的方法，數目大小原則參見6-n-01。

6-n-03能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數。 兩數的最大公因數是1稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。例如：14與15雖然都是合數，但兩者互質。  知道透過約分，可以將分數化成分子和分母互質的分數，稱為最簡分數。 在六年級容許的因倍數範圍中，應要求學童將分數化為最簡分數。

1 質數和合數 2 質因數分解 3 最大公因數 4 最小公倍數 練習一

(答案僅供參考) 11 13 17 10 12 14

質數篩選 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1到100的質數 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2、3、5、7、11 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 13、17、19 、23 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 29、31、37 、41 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 43、47、53 、59 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 61、67、71 、73 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 79、83、89、97 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2、3、5 不是，6、10、15、30是合數 3和7 3和7都是21的質因數

2×3×3

24＝2×2×2×3

15＝3×5

18＝2×3×3

60＝2×2×3×5

1位、2位或4位 1、2、5、10

兒童自行發表 兒童自行回答

兒童自行發表

1公分、2公分、4公分 兒童自行發表 1公分、2公分、4公分

4公分

錄影帶排3個，童話書排2個﹔ 錄影帶排6個，童話書排4個… 兒童自行發表 8 10 12 12

兒童自行發表 兒童自行發表 6、12、18…

4顆、8顆、12顆、 16顆…

兒童自行發表 兒童自行發表

兒童自行發表

72

72

兒童自行發表

是 是 是

6公分、12公分… 兒童自行發表 6公分、12公分…

24公分、30公分… 6公分

結 語 福祿貝爾： 教育無他，惟愛與榜樣 ～願與所有關心教育的朋友共勉 謝謝聆聽敬請指教