线性方程组的求解 中国青年政治学院 郑艳霞

使用建议：建议教师具备简单的MATHMATICA使用知识。 课件使用学时：4学时 面向对象：文科经济类本科生 目的：掌握线性方程组的知识点学习。

假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为 我们用上述类型的向量每两年记录一次国会选举的结果，同时每次选举的结果仅依赖前一次选举的结果。 假设一次选举中结果为 0.8 0.4 0.7 为民主党投票 为共和党投票 为自由党投票 0.3 0.1 0.2 每次选举得票情况的变化为 确定下一次和再下一次可能结果。

表示第j个党向第i个党转移的比例 对于给出的选举变化情况，我们可以用一个矩阵进行表达 于是下一次和再下一次可能结果为： 0.8 0.4 0.7 为民主党投票 为共和党投票 为自由党投票 0.3 0.1 0.2 一般地，总可以由这次的选举结果和下一次选举的转移情况 得到下一次选举的结果：

即方程组(P-I)x=0的解，就是我们需要的结果。 若干选举之后,投票者可能为共和党候选人投票的百分比是多少？ 若P是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于1，则相对于P的稳定向量必满足：Pq=q。可以证明每一个满足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整整数k，使得Pk>0,则P存在唯一的向量q满足条件。 易见P2>0,满足上述条件。于是上述问题转化为:如何求出满足 的非0向量x。 x=Px 即方程组(P-I)x=0的解，就是我们需要的结果。

齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 有非零解 定理2：齐次线性方程组 只有零解 解的性质 基础解系 解的结构 齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 有非零解 定理2：齐次线性方程组 只有零解 推论：齐次线性方程组 只有零解 即 即系数矩阵A可逆。

2. 解的性质 性质：若 是齐次线性方程组Ax=0的解， 则 仍然是齐次线性方程组Ax=b的解。 （可推广至有限多个解） 2. 解的性质 性质：若 是齐次线性方程组Ax=0的解， 则 仍然是齐次线性方程组Ax=b的解。 （可推广至有限多个解） 解向量：每一组解都构成一个向量 解空间: 的所有解向量的集合，对加法和数乘 都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的解空间。

3. 基础解系 设 是 的解，满足 线性无关； 的任一解都可以由 线性表示。 则称 是 的一个基础解系。 定理： 设 是 矩阵，如果 3. 基础解系 设 是 的解，满足 线性无关； 的任一解都可以由 线性表示。 则称 是 的一个基础解系。 定理： 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 个解向量。

4. 解的结构 证明分三步: 1. 以某种方法找 个解。 2. 证明这 个解线性无关。 3. 证明任一解都可由这 个解线性表示。 注： 1. 以某种方法找 个解。 2. 证明这 个解线性无关。 3. 证明任一解都可由这 个解线性表示。 注： 的基础解系实际上就是解空间的一个基。 (1) (2) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。 (3) 基（基础解系）不是唯一的。 (4) 当 时，解空间是 当 时，求得基础解系是 则 是 的解， 称为通解。 4. 解的结构 的通解是

解决我们的问题： 因此齐次线性方程组的解为： r(P-I)=2<3 因此齐次线性方程组的解为： 再由问题的实际意义可知：要求向量的各 分量均非负，且满足： 。 因此只能取k>0。再将求出的解进行归一， 就得到了满足条件的解，此时的解是唯一的。 利用软件求解 最终大约有５４％的选票被共和党人得到.

一栋大的公寓建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设计由3种设计中选择。A设计每层有18个公寓，包括3个三室单元，7个两室单元和8个一室单元；B设计每层有4个三室单元，4个两室单元和8个一室单元；C设计每层有5个三室单元，3个两室单元和9个一室单元。设该建筑有x层采取A设计，y层采取B设计，z层采取C设计。 （2）写出向量的线性组合表示该建筑包含的三室、两室和一室单元的总数。 （3）是否可能设计出该建筑，使恰有66个三室、74个两室和136一室单元？如可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。

解答（1）表示当建筑x层采取A设计时，包括三室 单元，两室单元和一室的公寓数目。 （3）问题转化为：求非负整数x,y,z满足： 也就是非求齐次线性方程组 的解的问题。

非齐次性线性方程组 1. 有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 有解 并且，当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解。

2. 解的性质 3. 解的结构 是 的解，则 是 对应的齐次线性方程组 的解。 性质1： 性质2： 若 有解，则其通解为 其中 2. 解的性质 是 的解，则 是 对应的齐次线性方程组 的解。 性质1： 性质2： 3. 解的结构 若 有解，则其通解为 其中 是（1）的一个特解， 是（1）对应的齐次线性方程组 的通解。 1. 证明 是解； 分析: 2. 任一解都可以写成 的形式。

房屋设计问题的解答 进行计算： 由此可得 ， 因此该非齐次线性方程组有解，且基础解系含有一个向量。 利用软件求解

房屋设计问题（3）的解答 由问题的实际意义可知，方程组通解中k可以取值为0、1。 即房屋的设计方案有两个： 1.利用A设计的2层和B设计的15层 2. A设计的6层、B设计的2层和C设计的8层。