你一定要認識的數學家

你認識「高斯」嗎？

高斯 號稱「數學王子」。 小時家貧，祖父務農，父親為園藝工。 回憶道：還不會講話的時候，就已經學 會計算了 。 不到三歲，薪水算得比父親準。 十歲時，數秒內算出 1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ?

數列 將一些數字排成一列就稱為『數列』。 如：1、5、8、4、2 將一些數字排成一列就稱為『數列』。 如：1、5、8、4、2 在數列中的每一個數稱為『項』，第一個數為『第一項』或『首項』，第二個數為『第二項』，…最後一個數叫做『末項』。 如：5、8、11、14、17、20中， 首項＝____，第三項＝____，末項＝____

公差 再看看數列5，8，11，14，17，20，任意相鄰兩項的差都是 ____，這時我們稱這個差為「公差」。 『公差＝後項－前項』 （1）4，9，14，19 之公差＝_____。 （2）9，7，5，3 之公差＝_____。 （3）20，15，10，5 之公差＝______。

等差數列 當一數列任意相鄰兩項的差都相等時，這個數列就叫做『等差數列』。 等差數列會有一定的規律， 如：1、3、5、7、9、11 。 (1) 2、 3、___、9、12、___、___。 (2) 5、10、___、___、___、30。 (3) 100、150、200、____、300、____。

練習1 英文代號： 公差： d； 首項： a1； 第二項： a2 。 在下列空格填入適當的數，使每數列成為等差數列： （1） 1，3，5，______，______。 （2） ______，11，7，______。 （3） ______，a，a＋5，a＋10，________。 （4） ____，____，a，a＋d，_____，_____

練習2 判斷下列何者是等差數列，如果是，寫出它的公差： (1) 1，4，9，16，25，36 是□，否□，公差＝ (1) 1，4，9，16，25，36 是□，否□，公差＝ (2) 2，－2，2，－2，2 是□，否□，公差＝ (3) 6，6，6，6，6 是□，否□，公差＝ (4) 2，1，0，－1，－2 是□，否□ ，公差＝ (5) 5，50，500，5000， 是□，否□，公差＝ (6) ， ， ， ， 是□ ， 否□

推導公式(等差數列) 如果一個數列總共有n項，那麼n稱為這個數列的『項數』，這時我們也可稱an為末項。 一等差數列共有十項，則___稱為末項。 一等差數列共有二十三項，則___稱為末項 回顧-公差 ___；首項 ___；第二項 ___

推導公式(等差數列) 等差數列：4、7、…、a6，則a6 ＝？ 4 、 7 、 10 、 13 、 16 、 19 4+3 + 3 + 3 + 3 + 3 ＝4 + 5×3 ＝4 +(6-1) ×3 a6= a1+(6-1) ×d

練習 設一等差數列的首項為2，公差為3，求這個等差數列的第十二項。 設一等差數列的首項為7，公差為-3，求這個等差數列的第二十二項。

數型關係

推導公式(等差級數) 1 + 2 + 3 + ....+ 98 + 99 + 100 +) 100 + 99 + 98 + ....+ 3 + 2 + 1 101 + 101 +101+ ....+ 101 + 101+ 101

數型關係 觀察下圖的規律，並以此規律回答下列問題： (1) 圖(五)的棋子數＝_________。 (2) 圖(十)的棋子數＝_________。 (3) 圖(30)比圖(29)多_________個棋子。

(1) 1+2+3+4+5=15 (2) 1+2+… +10=55 (3) 30

挑戰 有大小相同的球若干個，若全部的球恰好可排列成圖(一)的正方形，也可以排成如圖(二)的正三角形。已知排成正方形時，每邊球的個數比排成正三角形時，每邊球的個數少2個，則球共有多少個？

挑戰:如何測量衛生紙長度

歐幾里得 西元前300左右希臘數學家。 著有「幾何原本」。 五個公理和五個公設。

尺規作圖 歐幾里得的《幾何原本》中之直尺和圓規做出正五邊形的過程。

笛卡兒 名言「我思故我在」。 自幼母早逝，父對其過度溺愛，但體弱多病，常躺在床上並「思考」。悟出將幾何和代數結合的方法。 笛卡而曾說過：我以離開那只用來做練習的抽象幾何，而走進一種解釋自然現象的新幾何----解析幾何。

笛卡兒用座標系統統一了圖形與數字，也統一了西方的幾何學與東方的代數學！ 座標系統是幾何與代數(方程式)的橋樑。

摘自楊慧儀(2000) 直角坐標 第二條數線 5 4 3 2 1 第一條數線 回主目錄 0 1 2 3 4 5 結 束

摘自楊慧儀(2000) 直角坐標 X 軸 Y 軸 x y 5 4 3 2 1 原點 回主目錄 0 1 2 3 4 5 結 束

摘自楊慧儀(2000) 示例一 A (2, 4) 返 回 B (-3, -2) 結 束

示例二 A (1, 4) * B (-3, 2) * * C (2, -2) D (-2, -3) * 摘自楊慧儀(2000) 返 回 返 回 D (-2, -3) * 結 束

摘自楊慧儀(2000) 兩點間的距離 y X = 3 5 4 3 2 1 A(3, 4) 4 -2 = 2 B(3, 2) 回主目錄 0 1 2 3 4 5 x 結 束

面積 1 - (-3) = 4 = 4 x 4 = 16 平方單位 5 - 1 = 4 y 5 4 3 2 1 長方形面積 摘自楊慧儀(2000) 面積 長方形面積 = 4 x 4 = 16 平方單位 1 - (-3) = 4 -3 -2 -1 0 1 2 x y 5 4 3 2 1 (1, 5) (-3, 5) 5 - 1 = 4 (-3, 1) (1, 1)

在直角坐標平面上畫出方程式y＝x－3的圖形？

如圖，A(5,0)、B(0,10)，點P在上，且垂直，則： (1)求直線AB的方程式。 (2)若Q點的坐標(2,0)，求P點坐標。 (3)求△PAQ的面積。

如圖，在直角坐標平面上，ABCD是正方形 ，且垂直x軸，若 D 點坐標為(4,3)，且A、C兩點都在直線x＋y＋1＝0 上，則： (1)通過B、D兩點的直線方程式為ˉˉˉˉ。 (2)通過B、C兩點的直線方程式為ˉˉˉˉ。

練習 如圖十，A、B兩點在x軸上。今甲、乙兩車分別從A、B兩點同時出發，以逆時針方向分別繞著大、小圓同時行駛，做等速率圓周運動。若甲車每35分鐘繞一圈，乙車每20分鐘繞一圈，則當乙車剛好繞完第三圈，甲車位於第幾象限？

柯南在一次困境中，必須解 四個密碼才能解救大家。 此四個密碼三個三個相加的「和」 分別是15、22、23、24， 則這四個密碼分別是什麼？？

應徵口試考題 請以心算算出 11的五次方。

巴斯卡 巴斯卡(公元1623~1662)。 法國數學、物理學家。 被譽為具有「火山般的天才」。 母早逝，缺少應有照顧，因而體弱多病 回憶說：從十歲起，我每日在苦痛之中

巴斯卡三角形 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28 84 1 8 36 1 9 1

巴斯卡三角形 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28 84 1 8 36 1 9 1

二項式展開 這些數字的排法好面熟啊！ 想起來了！巴斯卡在紙上寫一串等式： 那(a+b)的五次方呢？

二項式展開 巴斯卡三角形給出二項式展開式係數的規律， 對研究二項式非常有用。 而其實中國北宋數學家賈憲早在巴斯卡 之前五、六百年，就曾給出類似的三角形。

畢達哥拉斯 西元前五百多年，希臘哲學家和數學家 遊歷埃及和巴比倫等文明古國。 創立畢達哥拉斯學派。 畢氏定理(即勾股定理)的發現者。 相信「數為萬物之源」，數的規律統治萬物。 認為「世界上只存在整數和分數」 ，除此之外沒有別的什麼數了。

一切數字皆可以表達為整數和整數之比，即分數，如：4 = 4/1 ，0.8 = 4/5 每一個循環小數皆可以分數來表示， 如：0.333… = 1/3， 而 1.857142857142857142857… 即 13/7。

真的「世界上只存在整數和分數」嗎？

無理數與謀殺案 一個邊長為1的正方形，其對角線=？ 那到底是整數還是分數？ 如果都不是那是什麼數？ 難道除此之外還有其他我們 不知道的數？ 畢達哥拉斯錯了嗎？ 他會認錯嗎？

無理數與謀殺案 其門徒希伯穌斯研究後斷言： 「正五邊形的對角線和邊長的比，是人們還沒有認識的新數。」 此發現推翻了畢氏的理論，動搖了學派的基礎。 希伯穌斯遇害之謎。

有理數和無理數 無理數補滿了數線上的空隙 人們覺得整數和分數是容易理解的，就把整數和分數合稱為「有理數」。 而希伯穌斯發現的新數是不好理解的，就叫「無理數」。 把有理數和無理解都寫成小數的形式時， 有理數能寫成「有限小數」或「無限循環小數」如： 4=4.0 , 4/5 = 0.8, 1/3 =0.333… 而無理數只能寫成「無限不循環小數」，如： =1.4142…….， =3.1415…… 無理數補滿了數線上的空隙

數系

小時候的疑惑 0.99999…..= 1 ？ 1/3=0.333… ，1/3 + 1/3 + 1/3=0.999… 也 =1 0.999…接近1，當要多接近就有多接近時，就相等。 阿溪里斯追不上烏龜？ 所謂詭辯，就是用貌似正確的方法論證錯誤的結論。 詭辯學家芝諾說：「假設烏龜從A點起在前面爬，阿溪里斯從O點出發在後面追。… ● O A B C D

0.999….=1 另解 0.9+0.09+0.009+…=？ ＝？ 令 =x, 10x= , 10x-x=9 9x=9, x=1

有了0.999…=1 也就是0.9+0.09+0.009+......=1 假設阿溪里斯的速度是10米/秒，出發點O 烏龜的速度是1米/秒；出發點A，OA=9米。 阿溪里斯用0.9秒跑了9米到A點，烏龜在0.9秒內向前爬行0.9米到B點，「阿」又用0.09秒追到B點，「烏」又向前爬了0.09米到了C點…

阿溪里斯一段一段向前追，所用的總時間t和總距離S為： 因為 0.9+0.09+0.009+… =0.999….=1 所以 t=1(秒) S=10×(0.9+0.09+0.009+…) =10×1=10(米) 即表明阿溪里斯只用了一秒鐘，跑了十米路，就把烏龜追上了。

為什麼解(x+5)(x-2)=4(x-2)時， 不可以在等號兩邊同除以(x-2) ？ 貢丸解方程式 8x－20＝18x－45 第三步： 結果為 4＝9 第四步： 貢丸哭了。

問題出在哪裡？ 兩邊都要除以2x－5時，首要條件是 2x－5不等於 0。 因為任何數除以 0 ，都是無意義的。

因為(x+5)(x-2)=4(x-2)， 可整理為(x+5)(x-2) －4(x-2) =0 提公因式並化簡得(x+1)(x-2) = 0 由此可知 x-2 ＝0， 所以不可以兩邊同除以 x-2

螞蟻跟大象一樣重？ 設螞蟻重量為x，大象重量為y。 x+y=2v 由x+y=2v，移項得x-v=v-y。 因為(v-y)2 = (y-v)2 ，所以(x-v)2 = (y-v)2 兩邊同時開方 得到 x-v=y-v，因此 x=y， 即螞蟻的重量＝大象的重量。

問題出在哪？ 數學上規定，當一個數a(a≧0)的平方根有兩個時， 只代表那個正的平方根。 這種規定下， 只能代表4的正平方根， ＝2 。 這種規定下， 只能代表4的正平方根， ＝2 。 又負數不能開平方。 所以，

v代表螞蟻和大象重量和的一半，而x是螞蟻重量，所以 x-v ＜0。 (如 ) 所以 當a＜0， 再想想螞蟻和大象重量的問題。 而 x-v ≧0嗎？ v代表螞蟻和大象重量和的一半，而x是螞蟻重量，所以 x-v ＜0。 (如 ) 所以 最後，v－x＝y－v，x＋y＝2v， 原本的假設是對的不會再出現 x＝y

為什麼要有這樣的規定？ 如果用 表示4的平方根，則 ＝±2 那麼要計算 ＋ 會等於多少呢？ 答案有四種： 2+3＝5 ， -2+3=1 如果用 表示4的平方根，則 ＝±2 那麼要計算 ＋ 會等於多少呢？ 答案有四種： 2+3＝5 ， -2+3=1 2+(-3)=-1，-2+(-3)=-5 而且這四個答數都對。 運算有多個答數，會影響我們的計算結果。

根與係數的關係(韋達定理) 16世紀末法國數學家。 使用字母表示未知數，和方程式中的係數，使方程式得到現在的形式。有「代數之父」之稱 常用代換法解方程： 如解x2+px+q=0 首先引入代換x=y+z，代入方程： (y+z)2+p(y+z)+q=0，整理得y2+(2z+p)y+z2+pz+q=0，……

「韋達定理」用處多 在方程x2-(m-1)x+m-7=0中，已知下列條件之一，求m的值： (1)有一個根為零； (2)兩根互為倒數； (3)兩根互為相反數。

「韋達定理」用處多 已知方程x2+2x-18=0的兩根為α和β： (1)寫出以2α+3β和2β+3α為兩根的方 程式：_________________。 (2)寫出以 和 為兩根的方程式 ：___________________。

(1) m=7 (2) m=8 (3) m=1 (1) x2+10x+6=0 (2)9x2+16x-128=0

北京中學生數學競賽 已知 x2－x－4=0的兩根為x1、x2，不許解方程， 求出 和 的值。 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

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解答 (B) (D) (A) (A) (B) (A) (C) (C) (B) (A)

阿基米德 阿基米德名言：「給我一個支點，我就可以舉起整個地球。」 研究科學上的體積和浮力問題 國王叫金匠打造一頂純金的皇冠，國王因為懷疑金匠加了雜物，就請阿基米德鑑定。 阿基米德在洗澡的時候，看見浴缸滿出去的水時，悟出體積的原理，他高興的跑出浴室，大叫：「我找到了！」一時忘了自己是光著身體呢！另外，阿基米德還有幾何方面的數學成就哩！ 他的作品始終融合數學和物理，因此阿基米得成為物理學之父。

羅馬帝國軍隊從海路和陸路同時進攻敘拉古。 阿基米德眼見國土危急，護國的責任感促使他奮起抗敵，於是他絞盡腦汁，日以繼夜的發明禦敵武器。 他造了起重機將敵人的戰艦吊到半空中，然後重重摔下，使戰艦在水面上粉碎；召集城中百姓手持鏡子排成扇形，將陽光聚焦到羅馬軍艦上，燒毀敵人船隻； 利用槓桿原理製造出一批投石機，凡是靠近城牆的敵人，都難逃他的飛石或標槍。這些武器弄得羅馬軍隊驚慌失措。 大將軍馬塞拉斯都苦笑的承認：「這是一場羅馬艦隊與阿基米德一人的戰爭」、「阿基米德是神話中的百手巨人」。

有一天阿基米德在久旱的尼羅河邊散步時，看到農民提水澆地相當費力，於是發明了一種利用螺旋作用在水管裡旋轉，而把水吸上來的工具，後世的人叫它做「阿基米德螺旋提水器」，這個工具成了後來螺旋推進器的先祖。

阿基米德之死 阿基米德死的時候，仍然沉迷在他心愛的數學領域裡。羅馬將軍馬塞拉斯聽到阿基米德死去的消息後十分悲痛，於是依照阿基米德的遺志，在他的墓碑上刻有圓柱含球圖，來表達對他的敬意，而這個發現就是阿基米德自認最得意之作。