Schrodinger Wave Equation Davos, Swiss 1925

A total of five papers in 1926 無法如其他的波方程式由介質的性質推導！ 根據少數的線索，猜出物質波的波動方程式。

找物質波的波方程式如同解讀一個密碼

解碼，如果如一個古老的失傳的語言，有對照表就非常有用 Rosetta Stone It was created in 196 BC, discovered by the French in 1799 at Rosetta

找尋波方程式時可以用的線索 正弦波對應於一個不受力的自由粒子 粒子與波的翻譯表 波函數

粒子與波的翻譯表 對一個自由粒子來說，能量與動量是有關係的： 因此，這個關係也就翻譯為物質波的波長與頻率的關係： 波的頻率與波長的關係，一般稱為色散關係： 對一般的波來說 一般的色散關係，來自傳統的波方程式，那麼是否可由電子波的色散關係追溯電子波的波方程式？

我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。 畢竟所有週期波都是正弦波的疊加！ 一般的波方程式至少必須要先適用於正弦波。

一般的波如何得出色散關係？ 考慮正弦波 位置的二次微分，效果如同乘上 k 的二次方 k 的二次方，翻譯為位置的二次微分 時間的二次微分，效果如同 ω 的二次方 ω 的二次方，翻譯為時間的二次微分 代入波方程式即給出色散關係 假設我不會導波方程式，但觀察到色散關係！ 利用上述翻譯表 由觀察到的色散關係可以猜回波方程式

這個翻譯方式，對物質波卻行不通： 右方的ω是一次方，表面上似乎翻為時間的一次微分 我們當然可以選擇放棄這套翻譯法！ 或者也可以繼續這個翻譯的辦法，但以新的波函數來取代傳統的正弦波 這個新函數，它的一次微分與自己成正比，但又必須振盪！ 需要一個函數又是指數函數又是三角函數！

找一個函數，又是指數函數又是三角函數！ 要同時是指數與正弦函數，並不是不可能。 如果只看二次微分，可以假設： 此定義對一次微分不成立， 但如果比較它們的一次微分： 一次微分將cos與sin互換 虛數指數函數的一次微分是自己乘上 i 將實數部及虛數部互換 何不假設 的實數部與虛數部分別是正弦與餘弦？

正好是我們期待指數函數必須滿足的微分關係。 正好是我們期待指數函數必須滿足的乘積關係。 此定義滿足指數函數所有重要性質！

在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角 我們可以更進一步定義複數的指數函數： 在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角 Im θ Re 找到又是指數函數又是三角函數的函數了！

? Schrodinger Wave Equation 考慮複數的波函數 如我們所預期，這個波函數的一次微分與自己成正比 時間微分翻譯為 ω，位置微分翻譯為 k 稱之為翻譯是因為左手邊的運算作用於正弦物質波波函數，與右手邊的數乘在該波函數是一樣的 ? 對電子波而言：色散關係： Schrodinger Wave Equation

終極翻譯表 動量翻譯為空間微分運算 能量翻譯為時間微分運算 運算得運算於某個東西之上 粒子 波動

終極翻譯表 動量翻譯為空間微分運算 能量翻譯為時間微分運算 粒子 波動 運算 物理量

但此時波函數的實數部與虛數部可以分開，一開始起始條件沒有虛數部，以後也就沒有虛數部。 同樣的邏輯也是用於一般的波： 波方程式即給出色散關係 但此時波函數的實數部與虛數部可以分開，一開始起始條件沒有虛數部，以後也就沒有虛數部。

以此指數三角函數來構造自由電子的波函數 波函數疊加時實數部虛數部分別疊加！ 實數部是破壞性干涉時，虛數部也是！ 因此干涉條紋與古典波類似！

? 電子波波方程式 Schrodinger Wave Equation 如果電子不是自由粒子，而是受到一個位能的影響呢？ 此時動量與能量的關係要修改為： 電子波波方程式 ? Schrodinger Wave Equation

Schrodinger Wave Equation 因為有虛數係數，波函數必須是複數！波函數的實數部與虛數部無法分開。 電子波函數必須是複數 波函數無法觀測，波強度正比於振幅平方，則是實數，應可觀測。

時間為 t 時在 x 與 x+dx 之間發現該粒子的機率 在 a 與 b 之間發現該粒子的機率

發現該粒子的總機率必需等於 1 歸一化條件 Normalization Condition 這個是波函數在薛丁格方程式以外必須滿足的額外的條件

雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！ 但每一個電子都是明顯的顆粒，部分電子從未被看到過！

薛丁格方程式的解 固定能量解 定態 Stationary State 獨立演化的微觀系統狀態

固定的能量態的能量特定（測量不準度為零）而且不隨時間演化而改變 一般而言，觀察的巨觀儀器與被觀察的微觀系統，在尺度上有巨大差異！ 最新的奈米實驗已漸漸模糊兩者的界線

? 巨觀的儀器無法長期地追蹤微觀的系統 只能於前後作設定及測量 在兩者之間微觀系統就獨立地演化

或者之前獨立演化的微觀系統 在巨觀儀器干擾後，躍遷至另一狀態 獨立的微觀系統能量不變，因此一定處於固定能量解！

定態 Stationary State 在定態中，所有對電子的測量結果，與時間無關！ 牛頓力學中，唯一的定態，就是靜止狀態！ 量子力學中，卻有許多定態。

波爾的原子模型中的電子穩定軌道即是定態！ 電子只能選擇某些符合量子化條件的軌道形成暫定狀態 定態並不一定穩定，激發態即不穩定 Stationary 駐立 Stable 穩定

固定能量解 能量為一定值 E 的解，能量沒有不確定性！（描述能量守恆的獨立系統） 固定能量解與能量的關係為何？ 以能量完全確定的自由電子為例 時間函數與空間函數分離！ 讓我們大膽猜想所有固定能量解與能量的關係都具有同樣的形式

固定能量解的波函數為時間的指數函數：波函數的變化率正比於波函數本身 這是固定能量解的正式條件 時間微分運算對這些解來說和常數乘積一樣！ （不只是翻譯上相當，而是完全相等） 而時間微分是量子世界的能量，對這些解，現在回到古典一樣，只是數 所以對這些解所對應的狀態，能量像古典一樣，只能是 E 這一個值 能量的測量，沒有不確定性！

固定能量解正好描述定態 機率密度 與時間無關 可以證明其他物理測量的期望值與時間無關！

如何找固定能量解？ 固定能量解的時間部分與空間部分會分離，與時間的關係已完全決定， 與空間的關係，可以寫成一個方程式： 代入薛丁格方程式 位置函數 ψ(x) 滿足此常微分方程式： 與時間無關之薛丁格方程式 Time-Independent Schrodinger Equation

與時間無關之薛丁格方程式。 定態所滿足的方程式： 解出位置函數 ψ(x)， 整個波函數就都知道了！

牛頓力學可以描述系統變化的軌跡。 量子力學只能討論兩個定態之間的躍遷。 了解這些定態便是討論的第一步！

旅行波

自由電子 當電子受力為零時，位能V 是一常數， 假設 動能 其解很簡單，二次微分後與自己成正比，就是指數函數 這是二次微分方程式，上式有兩個未知係數，因此已經是最普遍的解了

自由電子 完整的波函數 分別對應於向+x與-x方向運動的正弦電子波 波速不是定值

電子顯微鏡 以0.1c光速移動的電子 遠小於可見光，故鑑別度高於可見光顯微鏡！

單一方向傳播的電子波，波長確定，動量確定： 與一般的波不同，它有虛數部！ 單一方向傳播的電子波機率密度為一常數 動量完全確定，位置完全不確定，波狀的態的波函數 它的位置是完全無法確定的。因為沒有任何位置資訊，所以稱它為沿+x方向運動並不確實，它只是擁有+x方向的動量，並沒有任何東西是在傳播之中。波函數的相位波形是在傳播，但那不是可觀察的物理量。所以物質波並不是一個傳播的波

你可能會想電子波的相角是不是觀察不到？是不是根本不重要？ 對單一正弦波，的確只能量到振幅。 但如果有兩個電子波疊加， 相角的差異是干涉條紋形成的主因！

單一方向傳播的自由電子波機率密度為一常數 動量完全確定，位置完全不確定 完全全球化的狀態

我們觀察到的粒子總是得有一些地方特色：區域性！

Collisions at the LHC 2835 Bunches/Beam 1011 Protons/Bunch IB = 0.6A Ebeams = 360 MJ Emagnets = 600 MJ, Total 1 GJ !! 7.5 m (25 ns) Bunch Crossings 40 million per second A billion collisions per second Proton Collisions - n e e Parton Collisions µ + q c - µ - 1 Z q ~ q ~ New Particle Production p H p p g p (Higgs, SUSY, ....) ~ Z q + µ + m q ~ c m - µ - 2 c ~ 1 One new particle ‘perhaps’ each hour ??

The Large Hadron Collider (LHC) The LHC 27 km in circumference 8.6 km across Lake Geneva Jura mountains Geneva airport CERN main site France Switzerland

The Detectors at the LHC General-purpose The LHC General-purpose

ATLAS

動量完全確定，單一波長的電子波只是一個理想狀態。 它無法滿足歸一化條件 它的機率分佈是一個常數，但總機率是有限的（等於1），那麼在任何一點的機率密度只能是無限小。 現實世界的粒子總是得有一些區域性， 現實的粒子狀態可以由一系列的理想狀態電子波疊加出來：波包。

要製造出波包，動量就不可能完全精確，因此不能是單一波長 若將波長有些微差距的兩個波疊加，結果振幅會出現忽大忽小的周期變化。 Beat

如果進一步疊加波長在一個範圍內的正弦波，波函數的振幅會集中在空間中的一個區域之內，稱為波包。 疊加大小 波長 波函數 x

如果動量（波長）的分布是高斯分布，平均值即是粒子的動量，寬度即是動量不準度。 波包的寬度 Δk 波強度的分布也會是一個高斯分布，寬度即是位置測量的不準度。 Δx 測不準原理可由波包的傅利葉分析推導出來

Δk Δx 波包即是一個位置與動量同時都有不準度的粒子狀態的波函數。 但因為波包的動量分佈也大概集中於一個平均值的附近， 若是計算一些對動量不太敏感的物理量， 以一個正弦（複數）電子波來近似波包，通常效果不錯！

所以位置的平均值會移動！移動速度正是古典的電子速度。 波包波函數的實部與虛部 波包並不是定態，而是類似定態的疊加 波包並不是定態，而是類似的定態的疊加 所以位置的平均值會移動！移動速度正是古典的電子速度。

波包不是固定能量態， 而是能量相近的定態的疊加， 所以波包會擴散！ 原來較窄的波包，擴散較快！ 原來較寬的波包，擴散較慢！

粒子狀的態的波函數 x 波狀的態的波函數 兩者都是波包的極端情況

階梯狀位能，反射與透射

階梯狀位能

反射與透射 入射波 透射波 反射波

機率分布 反射的波與入射波疊加干涉！強度與位置有關。

以波包來描述粒子的反射與透射！ 古典粒子會直接穿越，只是速度變慢。 電子卻有一個反射回來的波包！ 波包在撞擊位階後會分裂為二！透射與反射。 古典粒子碰到這樣的位能是不會有反射的！一個粒子分成兩個？

這就是一維的散射，所以散射後測量該電子，有可能發現它往右運動，也有小部分機率會發現它往左，但發現是永遠是一顆電子。 如果是一束電子，波的強度就是電子數的分布！

Tunneling effect 如果

古典的粒子根本不能存在這樣的區域 波數為虛數 然而在量子力學中，波函數還是有解， 只是此時不再是正弦波，而是指數函數

會往右一直增加，對左邊來的波是不可能的！ 電子波會以指數遞減的程度滲入古典粒子無法進入的區域！

能量較低的波包撞擊位階，波會滲入禁止區， 但長期而言，反彈如同古典粒子。

但如果這位能只持續很小一個範圍，位能很薄，粒子便能滲透過去： 穿隧效應 Tunneling Effect

L 在位壘中 穿透的振幅

穿牆人 Le Passe-Muraille Marcel Aymé, 1943

Tunneling effect 在位壘中 機率密度 隨距離而指數遞減。 穿透機率

Scanning Tunneling Microscope 穿隧顯微鏡 STM 石墨表面的碳原子

Xenon Atoms

原子核的 α 衰變

駐波

有限範圍的駐波態振盪，頻率都不是連續的

有邊界之自由電子 無限大位能井，在井中如自由電子 邊界條件： 邊界內，就如同自由電子

有邊界之自由電子 邊界條件： 這個結果與駐波的振幅一模一樣！

有邊界之自由電子形成駐波 駐波能量不傳播，為定態 定態

能量量子化 基態的動量不為零 電子是靜不下來的！ 這是測不準原理的結果。

能階躍遷 粒子狀態隨時間的演化即為能階穩定態之間的躍遷。 量子物理可以計算躍遷發生的機率！但無法預測何時確定會發生！

節點處 P 永遠為零，在節點處永遠不可能發現該電子！ 機率密度 節點處 P 永遠為零，在節點處永遠不可能發現該電子！ 節點 量子趨近古典

總機率必須等於 1 歸一化條件可以解出係數 C

有限大位能井 電子被拘限於一定區域時，能量為離散的能階 電子不被拘限於一定區域時，能量為連續

減諧振盪器 Energy is quantized

For large n, the quantum probability is similar to the classical one. n = 11 State For large n, the quantum probability is similar to the classical one.

Molecular Vibration

A particle in a capacitor