三角形三心的奧祕 外心 重心 內心 台中市立神圳國中 吳紹華老師製作

商人想設一座加油站，距離附近的學校、遊樂園、醫院都一樣近，請問聰明的商人，應該將加油站設在哪裡呢? ○學校 加油站 ○遊樂園 ○醫院 解答:設在外心處 2018年11月12日星期一

外心 1.外心的定義: A A A o B B B C C C 三角形三邊中垂線的交點稱為 外心，常用字母O表示。 三邊中垂線交點 (綠)， (綠)， (藍)， o (紅)， 三邊中垂線交點 即為「外心」。 B B B C C C 2018年11月12日星期一

2.外心的位置 A B C A B C A B C (1)依三角形角度類型的區別而有不同的位置。 銳角三角形 (在內部) 直角三角形 (在斜邊中點) 鈍角三角形 (在外部) 2018年11月12日星期一

◎銳角△ABE的外心(圓O)在三角形的內部。 ◎直角△ABD的外心(圓O)在三角形的斜邊中點。 ◎鈍角△ABC的外心(圓O)在三角形的外部。 (2)呈現在同一個圓中 ◎銳角△ABE的外心(圓O)在三角形的內部。 ◎直角△ABD的外心(圓O)在三角形的斜邊中點。 ◎鈍角△ABC的外心(圓O)在三角形的外部。 2018年11月12日星期一

3.三角形的外心與外接圓 (1)外心到三頂點等距離。 (2)若以外心為圓心，外心到三頂點的距離為半徑， 可以畫出一個外接圓。 (3)稱此點為「外心」，是因此點可畫出三角形的外接圓。 (4)任意三角形皆可找到其外心與外接圓，且為唯一。 (5)三角形ABC稱為圓O的圓內接三角形。 A 如圖 (1)線段OA = 線段OB = 線段OC (2)圓O為△ABC的外接圓 (3)O點為銳角△ABC的外心； △ABC為圓O的圓內接三角形 O O O B C 2018年11月12日星期一

4.外心重要性質:外心到三頂點等距離。 中垂線性質: (1)中垂線上任一點到此線段的兩端點等距離。 (可用中垂線性質證明) 中垂線性質: (1)中垂線上任一點到此線段的兩端點等距離。 (2)若有一點到某線段兩端點的距離相等，則此 點會在該線段的中垂線上。 P為中垂線上任一點 2018年11月12日星期一

5.三角形的外接圓與外心角度 (1)若∠A為銳角， ∠BOC ＝2∠A (2)若∠A為鈍角， ∠BOC ＝ 360° － 2∠A A A B D (1)若∠A為銳角， ∠BOC ＝2∠A (2)若∠A為鈍角， ∠BOC ＝ 360° － 2∠A 2018年11月12日星期一

6.外心常考重點: (1)三角形三邊中垂線的交點稱為外心(O)。 (2)外心到三頂點等距。 (以外心為圓心，可畫出該三角形的外接圓) (3)直角三角形的外心在斜邊中點上， 直角三角形的外接圓半徑R=1/2斜邊長 (4)直角三角形中，若有一銳角是30 ，則它所 對的邊是斜邊之半。 2018年11月12日星期一

按我(用GGB找外心) 7.動手摺紙找外心 作法:將B點翻摺至A點， 壓平後再展開， 產生摺痕如圖示。 步驟1:摺出線段AB的中垂線。 2018年11月12日星期一

步驟2:摺出線段BC的中垂線。 作法 : 將B點翻摺至C點， 壓平後再展開， 產生摺痕如圖示。 2018年11月12日星期一

步驟3:摺出線段CA的中垂線。 作法 : 將C點翻摺至A點， 壓平後再展開， 產生摺痕如圖示。 三條中垂線的交點即外心O 2018年11月12日星期一

步驟4 : 比較OA，OB，OC三線段長度是否真的相同。 2018年11月12日星期一

內心 1.內心的定義: A A A B B B C C C 三角形三個內角角平分線的交點稱為三角形的內心，常用字母I表示。 三內角平分線交點 即為「內心」。 I B B B C C C 2018年11月12日星期一

2.內心的位置: 任意三角形的內心 均在三角形的內部。 A B C A B C A B C 內心 鈍角三角形 內心 銳角三角形 內心 直角三角形 內心 鈍角三角形 內心 銳角三角形 內心 2018年11月12日星期一

3.三角形的內心與內切圓: (1)內心到三邊等距離。 (2)若以內心為圓心，內心到三邊的距離為半徑， 可以畫出一個內切圓。 (3)稱為「內心」，是因此點可畫出三角形的內切圓。 (4)任意一個三角形，均可找到其內心及內切圓，且為 唯一。 2018年11月12日星期一

4.內心重要性質:內心到三邊等距離。 角平分線性質: (1)角平分線上的任一點到此角的兩邊等距離。 (可用角平分線性質證明) 角平分線性質: (1)角平分線上的任一點到此角的兩邊等距離。 (2)若有一點到某角的兩邊等距離，則此點會在 該角的角平分線上。 2018年11月12日星期一

6.內心常考重點: (1)三角形三內角平分線的交點稱為內心(I) 。 (2)內心到三角形的三邊等距 。 (3)△ABC面積＝1/2 × △ABC周長 × 內切圓半徑 即A=1/2ιr (設ι為△ABC周長，r為內切圓半徑) (4)直角三角形的內切圓半徑r=1/2(兩股和－斜邊)。 (5) 2018年11月12日星期一

按我(用GGB找內心) 7.動手摺紙找內心 步驟 1 : 摺出角A的角平分線。 (將AC邊摺疊到與AB邊重合) (將BC邊摺疊到與BA邊重合) 最後攤開如圖示 2018年11月12日星期一

步驟3:摺出角C的角平分線。 (將CB邊摺疊到與CA邊重合) 攤開，並將三條角平分線 的交點命名為I點 2018年11月12日星期一

步驟4:從I點做出與三邊垂直的虛線， 比較這三條虛線是否真的等長。 2018年11月12日星期一

小灰鼠買了一塊乳酪，想分享給弟弟(小藍鼠)，妹妹(小黃鼠)一起吃，牠該如何切割這塊乳酪，使得大家所分配到的大小都一樣呢? 解答:沿著三中線切割成6塊，每人拿2塊。 2018年11月12日星期一

重心 1.重心的定義: 三角形三條中線的交點稱為重心 ，常用字母G表示。 2.重心的位置: A B C A B C A B C 任何三角形的重心均在三角形的內部。 A B C A B C A B C 銳角 三角形 直角 三角形 鈍角 三角形 2018年11月12日星期一

3.重心重要特性: (1)無法由「重心」畫出圓，與外心可畫出外接圓， 內心可畫出內切圓不同。 (2)稱為「重心」，是因為該點為此三角形的質量 中心，若用手指頂在重心位置，三角形會保持 平衡，不會傾斜。 (3)重心到頂點的距離為重心到對邊中點的兩倍。 2018年11月12日星期一

按我(用GGB找重心) 4.動手摺紙找重心 步驟1:摺出BC邊的中線 (頂點A與BC邊中點的連線)。 2018年11月12日星期一

步驟2:摺出AC邊的中線。 (頂點B與AC邊中點的連線) 步驟3:摺出AB邊的中線 (頂點C與AB邊中點的連線) 三中線交點即為重心G 2018年11月12日星期一

A B C A F E B D C 重心的三塊積 重心的六塊積 重心與三頂點的連線， 將原△分割成3塊等面積△ △GAB面積＝△GBC面積＝△GAC面積 G B C 重心的六塊積 A 三中線將原△ 分割成6塊等面積△ △GAF面積＝△GAE面積＝ △GBF面積＝△GBD面積＝ △GCD面積＝△GCE面積。 F E G B D C 2018年11月12日星期一

(2)重心到一頂點的距離，等於重心到其對邊 中點之距離的兩倍。 (3)重心與三頂點的連線，把原三角形的面積三 等分。 5.重心常考重點: (1)三角形三中線的交點稱為重心( G )。 (2)重心到一頂點的距離，等於重心到其對邊 中點之距離的兩倍。 (3)重心與三頂點的連線，把原三角形的面積三 等分。 (4)三中線會將原三角形的面積六等分。 2018年11月12日星期一

特殊三角形的三心 直角三角形的外心在斜邊的中點，且 2018年11月12日星期一

等腰三角形的外心、內心、重心都在同一條 直線（底邊的中垂線）上。 2018年11月12日星期一

正三角形的外心、內心、重心是同一點， 且其外接圓半徑是內切圓半徑的2倍。 2018年11月12日星期一