义务教育课程标准实验教科书北师大教材 八年级数学（下册） 第六章 证明(一) 6 关注三角形的外角

学习目标: 1、掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明。 2、体会几何中不等关系的简单证明。 3、能从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考。

回顾与思考 ☞ 证明命题的一般步骤: 1)根据题意，画出图形； 2)根据题意，写出已知、求证； 3)写出证明过程；

三角形内角和定理 ☞ 三角形三个内角和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. 这里的结论,以后可以直接运用. 回顾与思考 ☞ 三角形三个内角和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A. ∠A+∠C=1800-∠B. A B C 这里的结论,以后可以直接运用.

知识回顾 60° 60° 1、在ABC中， （1）∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B= ； （2）∠A=50 ° ，∠B=∠C，则∠B= . 60° 65° 2、在△ＡＢＣ中， ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝　　　　， ∠Ｂ＝ ∠Ｃ＝____　　 40° 60° 80°

三角形的外角： 　　　三角形的一边与 另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． A B C D

如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系? D 1 2 3 4 ∠1+∠4=1800 ∠1>∠2，∠1>∠3 ∠1=∠2+∠3. 能证明你的结论吗? 证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(平角的定义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分). 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

推论可以当作定理使用. 推论： 三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 推论： 在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论. A B C D 1 2 3 4 推论可以当作定理使用.

△ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3. 这个结论以后可以直接运用. 三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 推论： △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3. A B C D 1 2 3 4 这个结论以后可以直接运用.

· · 例1 已知:如图，在△ABC中, AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) ∴∠C= ∠EAC(等式性质) · 例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实. ∵ AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义) ∴∠DAC=∠C(等量代换) ∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 还有其它方法吗？

· · 例1 已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) ∴∠B= ∠EAC(等式性质) · 这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证实. ∵ AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义) ∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行)

∴ ∠1>∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义) 例2 已知：如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边 AC上一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2. C A B F 1 3 4 5 E D 2 证明：∵ ∠1是△ABC的 一个外角 (已知) ∴ ∠1>∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义) ∴∠3>∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角) ∴ ∠1>∠2 (不等式的性质)

例3：已知，如图 P是∆ABC内一点。求证： ∠BPC >∠BAC A B C P

分析: 要寻找这两个角的大小关系，我们通过观察发现无法直接比较它们的大小，试想如果能通过一个中间量联系这两个角，那么就能间接的得到它们之间的大小关系。通过延长线段BP与AC相交，发现能运用推论2的知识解决这个问题。

例3：已知，如图P是∆ABC内一点。 求证： ∠BPC >∠BAC 证明：延长BP交AC于点E。 ∵∠BEC是△ABE的一个外角(外角定义) ∴∠BEC>∠BAC(三角形的一个外角大于 和它不相邻的任何一个内角) ∵∠BPC是△PEC的一个外角(外角定义) ∴∠BPC>∠PEC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角) ∴∠BPC>∠BAC(不等式的性质) A B C E P

练一练 1、看图形填空： （1）∠1 =____ ，（2） ∠2=____ 。 43º 59º 2、看图形用“=”、“＞”或“＜”填空： = 80º 123º 2 1 25º 34º 2、看图形用“=”、“＞”或“＜”填空： （1）∠1____∠CAB+∠ABC （2）∠2____∠ABC （3）∠CAB____∠3 （4）∠1+∠2+∠3____ 360º = A B C 1 3 2 ＞ ＜ =

练一练 3、求下列各图中∠1的度数。 35° 120° 1 30° 60° 1 45° 50° 1 900 850 950

1、已知：如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求：∠B和∠ACB的大小. 随堂练习 解：∵ ∠DCA是△ABC的 一个外角(已知) ∠DCA=100°(已知) ∠A=45°(已知) ∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) 又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角意义) ∴ ∠ACB=80°(等式的性质) 100°

(1)∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角定义) ∴∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于 和它不相邻的任何一个内角) A D E 2、已知：如图所示. 求证：(1)∠BDC>∠A； (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C. F 证明： (1)∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角定义) ∴∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于 和它不相邻的任何一个内角) ∵∠DEC是△ABE的一个外角(外角定义) ∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角) ∴∠BDC>∠A(不等式的性质)

(2)∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角定义) ∴∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) A D E 2、已知：如图所示. 求证：(1)∠BDC>∠A; (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明： (2)∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角定义) ∴∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∵∠DEC是△ABE的一个外角(外角定义) ∴∠DEC=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C(等式的性质)

3.已知：国旗上的正五角星形如图所示. 求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解：∵∠1是△BDF的一个 外角(外角定义) H 2 F 1 ∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个 外角等于和它不相邻的两个 内角的和) 又∵∠2是△EHC的一个外角(外角定义) ∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和) 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理) ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质)

4、（北京市海淀区，2003）如图 ，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形DEBC内部时， ∠A与∠1+ ∠2之间存在着一种数量关系，试找出。

4.解：2 ∠A= ∠1+ ∠2 理由如下：∵ ∠1+ ∠3+ ∠4=1800 ∠2+ ∠5+ ∠6=1800 ∵ ∠3= ∠4， ∠5= ∠6 ∴ ∠1+ 2∠3=1800 ∠2+ 2∠5=1800 又∵ ∠A+ ∠3+ ∠5=1800 ∴ 2 (∠A+ ∠3+ ∠5)= ∠1+ ∠2+2∠3+ 2∠5 ∴ 2∠A= ∠1+ ∠2 1 2 B C A1 D E A 4 3 5 6

本节小结 三角形内角和定理 ： 推论1： 推论2： 三角形三个内角的和等于1800. 三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角.

布置作业 课本P245 ,习题6.7 1、2、3题