球體體積 鄧美愉 2011年6月

課程的要求 理解及運用公式計算……和球形的體積

實驗方法 倒沙 /水 圓柱體體積 = 球體體積 球體體積 = (r2)(2r)=  r3

疑問 除微積分外，如何向學生解釋球體體積公式? 在中國歷史上，何時出現球體體積公式?

I. 球體體積公式 《九章算術》卷第四 少廣篇 原文 「二三」今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何？ 答曰：二十尺。 4500立方尺 原文 「二三」今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何？ 答曰：二十尺。 開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。 即 換言之， 設 = 3

如何求得球體體積 ? 如何求圓的面積?

《九章算術》如何得球體體積 方法1: 用實物測量方法 徽注：黃金方寸，重十六兩。金丸徑寸，重九兩。 由此，球體體積 = 1寸

《九章算術》如何得球體體積 方法2: 圓面積與正方形面積之關係 截面原理 劉徽由圓面積及正方形面積的率作解釋 圓面積：正方形面積  3：4

《九章算術》卷第一 方田篇 術曰：半周半徑相乘得積步。 原文 「三一」今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何。 又術曰：周徑相乘，四而一。 又術曰：徑自相乘，三之，四而一。 又術曰：周自相乘，十二而一。 現存中國歷史上影響最深遠的專著之一 由於原書已散壞，後經過多人之手逐步完成現版本，原作者及年代已不詳，但估計成書最遲於公元100年(秦漢時代) 現僅以三國時劉徽注的《九章算術》為本 它採用問題集的形式，有問（題目），答（答案），術（解題方法），共246問，202術。 包括算術，代數，幾何等方面內容，並與實際生活聯繫。 唐代列為國家最高學府的主要教材，為培養各級人才的計算技術服務的。

譯文 「三一」現有圓形田，圓周為30步，直徑為10步，問田的面積是多少？ 答：75平方步。 算法一：以圓周之半與半徑相乘可得到圓田的面積，即 換言之，即 算法三：直徑與直徑相乘，乘以3除以4，即 換言之，即 10步 30步

《九章算術》如何得球體體積 徽注: 由截面原理 圓柱體體積：正方體體積 = 圓面積：正方形面積  3：4 為術者，蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三，圓囷居立方亦四分之三。 更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也。 置四分自乘得十六分，三自乘得九，故丸居立方十六分之九也。 劉徽在《九章算術》注中為率下定義: 率_凡數相與者(即相似的關係者)為之率 球體體積：立方體體積=9:16 球體體積：圓柱體體積  9：12 = 3：4 3 × 3：3 × 4

II. 劉徽之牟合方蓋 劉徽表示：「以周三徑一為圓率，則圓冪傷少，令圓囷為方率，則丸積傷多。互相通補，是以九與十六之率偶與實相近，而丸傷多耳。」 劉徽指出應為 牟合方蓋體積：球體體積 =正方形面積：圓面積 = 4：3 即是

II. 球體體積公式 劉徽之牟合方蓋 什麼是牟合方蓋?

劉徽為何以牟合方蓋求球體體積? 圓與正方形四邊相切

劉徽為何以牟合方蓋求球體體積? 先前 以「圓柱為方率，渾丸為圓率」 即圓柱體體積：球體體積 = 4：3 即圓柱體體積：球體體積 = 4：3 圓體之外應套入一個個處處切合之方蓋, 正如圓錐體

如何求與球體處處切合之方蓋?? 兩處相切 圓柱體 圓柱體 四處相切

牟合方蓋 因為 圓面積：正方形面積 =  : 4  球體體積 : 牟合方蓋體積 =  : 4

III.利用祖暅原理求牟合方蓋的體積 南北朝數學家祖冲之、祖暅父子 《綴術 》「冪勢既同，則積不容異。」 立於平面上的同高立體，若於同一高度所取 截面面積總是相等，則它們的體積相同

III.利用祖暅原理求牟合方蓋的體積 h r r h 紅色面積 = r 2  h 2 藍色面積 = h 2 = 黃色面積！ 黃色面積 = r 2  (r 2  h 2) = h 2

III.利用祖暅原理求牟合方蓋的體積 + = 牟合方蓋體積 + = r 3 牟合方蓋體積 =

 牟合方蓋體積 因此，球體體積

IV.利用祖暅原理求球體積的另一證法 紅色部分面積= 黃色部分面積 = 由祖暅原理，得 半球體體積 = 圓柱體體積  圓錐體積 = r h r h r r h h 紅色部分面積= 黃色部分面積 = 由祖暅原理，得 半球體體積 = 圓柱體體積  圓錐體積 = 球體體積 =

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教學資源 http://www.mathland.idv.tw/ http://cd1.edb.hkedcity.net/cd/bcalt/math/ks3/chi/KS3-MS3-3/KS3-MS3-3-f.htm http://www.mathland.idv.tw/ http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/

參考資料 《中國古代數學簡史》。李儼、杜石然(2000)。 九章出版社。 《《九章算術》及其劉徽注研究》李繼閔(1992)。九章出版社。 《中國古代數學簡史》。李儼、杜石然(2000)。 九章出版社。 《《九章算術》及其劉徽注研究》李繼閔(1992)。九章出版社。 Journey Through Genius - The Great Theorems of Mathematics. (1990) William Dunham. John Wiley & Sons. 數學教育20期.(2005). “自製教具驗證證球體表面面積及體積公式” 數學教育24期.(2006). “化圓為方-球體體積與牟合方蓋”.