高斯消去法 利用基本列運算化簡線性方程組的增廣矩陣求得一組解，而且恰有一組解，但是否每一個線性方程組都是如此呢？試觀察下面的例子： 20050504 1-2

範例(1) 解 解：將方程組以增廣矩陣方式表示，並化簡： 20050504 1-2

因此 (1*) 與下列 (2*) 是等價的 由第三個方程式，可知 (2*) 中含有矛盾式，因此原方程組 (1*) 無解。 因此 (1*) 與下列 (2*) 是等價的 由第三個方程式，可知 (2*) 中含有矛盾式，因此原方程組 (1*) 無解。 20050504 1-2

範例(2) 解 解：化簡方程組之增廣矩陣： 20050504 1-2

因此(1*)與 是等價的。 令 z = t，則 故方程組之解集合為 {( 9t + 12 , –4t – 5 , t ) | t  R} 。 註：上式中的解之表示為參數式，其中 t 為參數 ，其實也可以令 y 為參數或 x 為參數，但會得 出不同形式的解集合，這些不同形式的集 合都是一樣。 20050504 1-2

列梯形 (a) 一個矩陣若有下面的形式則稱為列梯形 (row-echelon form)，零列一定排在最底下 ， 在非零列中，左邊看過來第一個非零元素是 1，稱為領導元1 (leading 1)，每一個領導元1 都在上方領導元1的右邊 (好像下樓梯一般) (b) 一個列梯形的矩陣若有下列的情形又稱為最 簡 (reduced) 在有領導元1的那一行只有那一 個領導元1不是零。 20050504 1-2

範例 下面的矩陣就是一個最簡的列梯形矩陣。 20050504 1-2

定理(1) 任何一個矩陣 M 都會與一最簡的列梯形矩陣等價，而且此最簡的列梯形矩陣是為唯一的。 事實上只需在 M 上施以一連串的列運算即可形 成其最簡的列梯形，我們常記以 RRE(M) 因此要 解一個聯立方程式，我們只要針對其增廣矩陣施 以一連串的列運算使其化簡為最簡的列梯形即 可。 20050504 1-2

矩陣之秩 (rank) 若 M 為一個 mn 矩陣 ( m 列 n 行) 則 M 的秩(rank) 為其最簡列梯形矩陣中領導元1的個數 ，記為 rank(M)。 註：rank(M)  m ，因為 M 只有 m 列。 20050504 1-2

定理(2) 考慮一個線性方程組 假設 (*) 至少有一解，若其增廣矩陣之秩為 r，則之解集合恰含有 n – r 個參數。 例如在上面的範例2中，方程組之 m ＝ n ＝ 3，r ＝ 2 因此 n – r = 1，故解集合含有一個參數。證明見後。 20050504 1-2

定理(3) 考慮一個線性方程組 的解有下列三個可能，而且恰有其中一個成立。 (1) 無解 (2) 唯一解 (3) 無線多組解 考慮一個線性方程組 的解有下列三個可能，而且恰有其中一個成立。 (1) 無解 (2) 唯一解 (3) 無線多組解 20050504 1-2

我們先舉一個例子來說明定理1也就是如何將一個矩陣化簡成最簡列梯形矩陣： 例題：設一矩陣 ，將 M 化簡成最簡列梯形矩陣。 解： 第一步：先觀察 M 是否為零矩陣 (所有的元均為0) 若 M＝[0] 則不必化簡。 20050504 1-2

第二步：若 M  [0]，則從左邊看過來先找非零 行，把這一行其中 (任何) 一個非零元 素 a 所在的那一個列搬到最上方，例 如 M 中的第二行是從左邊看過來最先 出現不全為 0 的行，其中 –2 在第二列 (取 a = –2 )可以將第二列搬到第一列 (此為列運算I )，因此 20050504 1-2

第三步：把新的矩陣的第一列乘以 1/a (即 – 1/2) 使第一列出現第一個領導元1 (此為列運算II)，故得 第四步：將領導元1下方的數利用列運算III統統 化成 0，即 20050504 1-2

第五步：不看第一列，重複第一步到第四步，例如出現 不為零的那一行為第四行，而其中的 2 不為零 ，因此利用列運算 將之化為 1 得 再把其下的元 (即5) 利用列運算III變成 0 又得 20050504 1-2

第六步：不看第二列，重複第一步到第四步，則得 因此 M 的最簡列梯形矩陣有三個領導元1，故 rank(M) = 3。 20050504 1-2

若是某個線性方程組之增廣矩陣，則其解將含有 n – r = 5 – 3 = 2 個參數。設參數時必須先觀察領導元1所出現的行數，例如上面的最簡式中領導元1所出現的行為第二行、第四行、及第五行，則可將原方程組中的第一個與第三個變數設為參數，雖然不出現領導元1的行為第一行、第三行、及第六行，但第六行是方程組的常數行，所以設參數時只設第一個與第三個變數。 現在我們可以來證明定理2： 20050504 1-2

證明: 假設 rank(M) ＝ r，也就是 M 的最簡列梯 形矩陣中有 r 個領導元1，設其所在的行 分別為 i1,i2,…,ir， 又假設 1  i1  i2  …  ir  n 設{ j1,j2,j3,…,jn-r }={1,2,…,n} – { i1,i2,…,ir } 且假設 1  j1  j2  …  jn-r  n 令 xj1 = s1 ; xj2 = s2 ;…; xjn-r = sn-r ; 代入最後的最簡列梯形中，則得 xj1, xj2,…, xjr, 故 ( x1,x2,…,xn )為 (*) 之解， 其中有 n – r 個參數。 接著也可以證明定理3： 20050504 1-2

證明: 假設 (*) 有解 若 n = r 則解集合中無參數，故其解為恰 有一個。 若 n  r 則解集合中至少有一個參數，所 以其解有無限多組。 20050504 1-2