第二章 矩阵(matrix) 第8次课
第二节 矩阵的运算Matrix Operation
则
命题 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A, B, C均为域P上的矩阵，k, l为数域P中的元素） 加法结合律 (A+B)+C = A+(B+C)； 加法交换律 A+B = B+A； 数乘结合律 k(lA) = (kl) A； 数乘分配律 k(A+B) = kA+kB；(k+l)A = kA+lA； 乘法结合律 (AB)C = A(BC)；k(AB) = (kA)B = A(kB)； 乘法分配律 A(B+C) = AB+AC；(B+C)A = BA+CA； 矩阵的方幂(power)：设 ，定义 显然 矩阵多项式，不同矩阵乘积的方幂不等于方幂的乘积
转置 (transpose, transposition)：行列元素互换
转置的规律(rules of transposition) 最后一个式子需要一点说明：
命题 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A, B, C均为域P上的矩阵，k, l为数域P中的元素） （1） (A T )T = A; （2） (AB) T = B T A T。 （3） (A+B)T = A T +B T; （5） (kA) T = k AT。 （5） (Ak)T = (A T)k; （6） (A1 A2...As) T = ATs ATs-1...AT1。
定理：设 ，则 |AB|=|A| |B|。 矩阵的乘法与行列式的乘法： 另一方面我们用“行初等变换”中的第一类（它不改变行列式的值） 证明：用行列式的Laplace展开定理，引入辅助行列式 ，将它按 前n行展开，注意前n行只有n个可能的非零列，所以 。 可将 变成 ；即得定理结论。 推论：设 ，则 定义： 称为非退化的(irreducible)，如果|A|≠0， 否则称为退化的(reducible)。
定义：共轭，共轭转置，Hermite矩阵 10条性质 例题2.6， 2.7， 2.8，2.9，2.10，2.11，2.12
第八次课作业 P77: 3, 4, 5, 7, 8, 9