第十章 群与环 主要内容 群的定义与性质 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域

10.1 群的定义与性质 半群、独异点与群的定义 半群、独异点、群的实例 群中的术语 群的基本性质

半群、独异点与群的定义 定义10.1 (1) 设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可 (2) 设V=<S,∘>是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V 是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=<S,∘,e>. (3) 设V=<S,∘>是独异点，eS关于∘运算的单位元，若 aS，a1S，则称V是群. 通常将群记作G.

实例 例1 (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点 (2) 设n是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半 群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵 乘法 (3) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算 (4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}， 为模n加法 (5) <AA,◦>为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算 (6) <R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如 下：x, yR*, x◦y=y

实例 例2 设G={ e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，称为Klein 四元群 特征： 1. 满足交换律  特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素 e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e  

有关群的术语 定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无 限群. 群G 的基数称为群 G 的阶，有限群G的阶记作|G|. (2) 只含单位元的群称为平凡群.  (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝 尔 (Abel) 群. 实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.

群中元素的幂 定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂. 群中元素可以定义负整数次幂.  群中元素可以定义负整数次幂. 在<Z3, >中有  23 = (21 )3 = 13 = 111 = 0 在<Z,+>中有 (2)3 = 23 = 2+2+2 = 6

元素的阶 定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元. 在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.

群的性质：幂运算规则 定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.

群的性质：方程存在惟一解 定理10.2G为群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且 仅有惟一解.

群的性质：消去律 定理10.3 G为群，则G中适合消去律，即对任意a,b,c∈G 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c. 证明略 例4 设G = {a1, a2, … , an}是n阶群，令 aiG = {aiaj | j=1,2,…,n} 证明： aiG = G

群的性质：元素的阶 定理10.4 G为群，a∈G且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e当且仅当r | k (2 )|a1| = |a|

10.2 子群与群的陪集分解 定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作H<G. 例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群. 对任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡 子群. 

子群判定定理1 定理10.5（判定定理一） 设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当 (1) a,b∈H有ab∈H (2) a∈H有a1∈H.

子群判定定理2 定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H. 

子群判定定理3 定理10.7 （判定定理三） 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当 a,b∈H有ab∈H.

典型子群的实例:生成子群 定义10.6 设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}， 则H是G的子群，称为由 a 生成的子群，记作<a>.

典型子群的实例:中心C 定义10.7 设G为群,令 C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}， 则C是G的子群，称为G的中心. 对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.

典型子群的实例:子群的交 例6 设G是群，H,K是G的子群. 证明 (1) H∩K也是G的子群 (2) H∪K是G的子群当且仅当 HK 或 KH

子群格 定义10.8 设G为群, 令 L(G) = {H | H是G的子群} 则偏序集< L(G),  >称为G的子群格 实例： Klein四元群的子群格如下： 图1

陪集定义与实例 定义10.9 设H是G的子群，a∈G.令 Ha={ha | h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.  例7 (1) 设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群. H所有的右陪集是： He={e,a}=H, Ha={a,e}=H, Hb={b,c}, Hc={c,b} 不同的右陪集只有两个，即H和{b,c}.

实例 (2) 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 令 G = {f1, f2, … , f6}，则G 关于函数的复合运算构成群. 考虑 G 的子群H={f1, f2}. 做出 H 的全体右陪集如下： Hf1={f1f1, f2f1}=H , Hf2={f1f2, f2f2}=H Hf3={f1f3, f2f3}={f3, f5}, Hf5={f1f5, f2f5}={f5, f3} Hf4={f1f4, f2f4}={f4, f6}, Hf6={f1f6, f2f6}={f6, f4} 结论： Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6. 

陪集的基本性质 定理10.8 设H是群G的子群，则 (1) He = H (2) a∈G 有a∈Ha 证 (1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H (2) 任取 a∈G，由a = ea 和 ea∈Ha 得 a∈Ha

陪集的基本性质 定理10.9 设H是群G的子群，则a,b∈G有   a∈Hb  ab1∈H  Ha=Hb a∈Hb  h(h∈H∧a=hb)  h(h∈H∧ab1=h)  ab1∈H 再证 a∈Hb  Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有 a∈Hb. 必要性. 由 a∈Hb 可知存在 h∈H 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1a∈Ha，则有 h1a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb 从而得到 Ha  Hb. 反之，任取h1b∈Hb，则有 h1b = h1(h1a) = (h1h1)a∈Ha 从而得到Hb  Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.

陪集的基本性质 定理10.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R： a,b∈G, <a,b>∈R  ab1∈H 则 R是G上的等价关系，且[a]R = Ha. 证 先证明R为G上的等价关系. 自反性. 任取a∈G，aa1 = e∈H  <a,a>∈R 对称性. 任取a,b∈G，则 <a,b>∈Rab1∈H(ab1)1∈Hba1∈H<b,a>∈R 传递性. 任取a,b,c∈G，则 <a,b>∈R∧<b,c>∈R  ab1∈H∧bc1∈H  ac1∈H  <a,c>∈R 下面证明：a∈G，[a]R = Ha. 任取b∈G， b∈[a]R  <a,b>∈R  ab1∈H  Ha=Hb  b∈Ha

推论 推论 设H是群G的子群, 则 (1) a,b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb =  (2) ∪{Ha | a∈G} = G 证明：由等价类性质可得. 定理10.11 设H是群G的子群，则  a∈G，H ≈ Ha 证明 略

左陪集的定义与性质 设G是群，H是G的子群，H 的左陪集，即 aH = {ah | h∈H}，a∈G 关于左陪集有下述性质： (1) eH = H (2) a∈G，a∈aH (3) a,b∈G，a∈bH  b1a∈H  aH=bH (4) 若在G上定义二元关系R，  a,b∈G，<a,b>∈R  b1a∈H 则R是G上的等价关系，且[a]R = aH. (5) a∈G，H ≈ aH 

Lagrange定理 定理10.12 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则 |G| = |H|·[G:H] 其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在 G 中的指数. 证 设[G:H] = r，a1,a2,…,ar分别是H 的r个右陪集的代表元素，  G = Ha1∪Ha2∪…∪Har |G| = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1,2,…,r, 得 |G| = |H|·r = |H|·[G:H]

Lagrange定理的推论 推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有an = e. 证 任取a∈G，<a>是G的子群，<a>的阶是n的因子. <a>是由a生成的子群，若|a| = r，则 <a> = {a0=e,a1,a2,…,ar1} 即<a>的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e. 推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>. 证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元. 任取a∈G，a ≠ e，则<a>是G的子群. 根据拉格朗日定理， <a>的阶是p的因子，即<a>的阶是 p或1. 显然<a>的阶不是1， 这就推出G = <a>.

Lagrange定理的应用 命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群. 证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取 x, y∈G，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx， 因此G是Abel群. 例8 证明 6 阶群中必含有 3 阶元. 证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶或6阶. 若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3 阶元. 若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元. 如若不然，G 中只含1阶和2阶元，即a∈G，有a2=e，由命题知G是Abel 群. 取G中2阶元 a 和 b，a  b，令 H = {e, a, b, ab}，则H 是 G的子群，但 |H| = 4，|G| = 6，与拉格朗日定理矛盾. 

Lagrange定理的应用 例9 证明阶小于6 的群都是Abel群. 证 1 阶群是平凡的，显然是阿贝尔群. 证 1 阶群是平凡的，显然是阿贝尔群. 2, 3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群，都是 Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则G=<a>，由上 述分析可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2 阶元，由命题可知G也是Abel群.

10.3 循环群与置换群 定义10.10 设G是群，若存在a∈G使得  G={ak| k∈Z} 则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元.  循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群.  设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , an1 } 那么|G| = n，称 G 为 n 阶循环群. 若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称 G 为无限循环群. 

10.4 环与域 定义10.12 设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足 以下条件: 10.4 环与域 定义10.12 设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足 以下条件: (1) <R,+>构成交换群 (2) <R,·>构成半群 (3) · 运算关于+运算适合分配律 则称<R,+,·>是一个环. 通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作 0，乘法单位元（如果存在）记作1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x. 若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.

环的实例 例15 (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和 乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R 和复数环C. (2) n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构 成环，称为 n 阶实矩阵环. (3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环. (4) 设Zn＝{0,1, ... , n－1}，和分别表示模n的加法和乘 法，则<Zn,,>构成环，称为模 n的整数环.

环的运算性质 定理10.16 设<R,+,·>是环，则 (1) a∈R，a0 = 0a = 0 (2) a,b∈R，(a)b = a(b) = ab (3) a,b,c∈R，a(bc) = abac， (bc)a = baca (4) a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R (n,m≥2)  证 (1) a∈R有 a0 = a(0+0) = a0+a0 由环中加法的消去律得a0=0. 同理可证0a=0. (2) a,b∈R，有  (a)b+ab =(a+a)b = 0b = 0 ab+(a)b =(a+(a))b = 0b = 0 (a)b是ab的负元. 由负元惟一性(a)b= ab，同理a(b)= ab

第十章 习题课 主要内容 半群、独异点与群的定义 群的基本性质 子群的判别定理 陪集的定义及其性质 拉格朗日定理及其应用 循环群的生成元和子群 置换群与Polya定理 环的定义与性质 特殊的环

练习1 1. 判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群. (1) a 是正整数，G = {an | nZ}, 运算是普通乘法. (2) Q+是正有理数集，运算为普通加法. (3) 一元实系数多项式的集合关于多项式加法. 解 (1) 是半群、独异点和群 (2) 是半群但不是独异点和群 (3) 是半群、独异点和群 方法：根据定义验证，注意运算的封闭性

练习2 2. 设V1= <Z, +>, V2 = <Z, >,其中Z为整数集合, + 和 分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= {2k | kZ} (2) S= {2k+1 | kZ} (3) S= {1, 0, 1} 解 (1) S关于V1构成子半群和子独异点，但是关于V2仅构成子 半群 (2) S关于V1不构成子半群也不构成子独异点，S关于V2构 成子半群和子独异点 (3) S关于V1不构成子半群和子独异点，关于V2构成子半群 和子独异点

练习3 3. 设Z18 为模18整数加群, 求所有元素的阶. 解： |0| = 1, |9| = 2， |6| = |12| = 3, |3| = |15| = 6, |2| = |4| = |8| = |10| = |14| = |16| = 9, |1| = |5| = |7| = |11| = |13| = |17| =18, 说明： 群中元素的阶可能存在，也可能不存在. 对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子. 对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）.

练习4 4．证明偶数阶群必含2阶元. 由 x2 = e  |x| = 1 或2. 换句话说, 对于G中元素x，如果 |x| >2, 必有x1 x. 由于 |x| = |x1|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个. 那么剩下的 1 阶和 2 阶元总共应该是偶数个. 1 阶元只有 1 个，就是单位元，从而证明了G中必有 2 阶元.

有关群性质的证明方法 有关群的简单证明题的主要类型 证明群中的元素某些运算结果相等 证明群中的子集相等 证明与元素的阶相关的命题. 证明群的其它性质，如交换性等. 常用的证明手段或工具是 算律：结合律、消去律 和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等 幂运算规则 和元素的阶相关的性质. 特别地，a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1= a.

证明方法 证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形和化简. 证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含 证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等. 证明两个元素的阶r 和 s 相等或证明某个元素的阶等于r，基本方法是证明相互整除. 在证明中可以使用结合律、消去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质. 特别地，可能用到a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1 = a.

练习5 5．设G为群，a是G中的2 阶元，证明G中与a可交换的元素构成G的子群. 证 令H= { x | xG  xa = ax}, 下面证明H是G的子群. 首先e属于H，H是G的非空子集. 任取x, y H，有 (xy1) a = x(y1a ) = x(a1y)1 = x(ay)1 = x(ya)1 = xa1y1 = xay1 = axy1 = a(xy1) 因此 xy1属于H. 由判定定理命题得证. 分析： 证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二. 证明的步骤是： 验证 H 非空 任取 x, yH，证明xy1H

练习6 6. (1) 设G为模12加群, 求<3> 在G中所有的左陪集 (2) 设 X= {x | xR, x 0,1}, 在X上如下定义6个函数： f1(x) = x， f2(x) =1/x, f3(x) = 1x, f4(x) = 1/(1x), f5(x) = (x1)/x, f6(x) = x/(x1), 则G = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}关于函数合成运算构成群. 求子群 H={f1, f2} 的所有的右陪集. 解 (1) <3> = {0, 3, 6, 9}, <3>的不同左陪集有3个，即 0+<3> = <3>, 1+<3> = 4+<3> = 7+<3> = 10+<3> = {1, 4, 7, 10} , 2+<3> = 5+<3> = 8+<3> = 11+<3> = {2, 5, 8, 11}. (2) {f1, f2}有3个不同的陪集，它们是： H，Hf3 = {f3, f5}, Hf4 = {f4, f6}.

练习7 7．设 H1,H2分别是群G 的 r, s 阶子群，若(r,s) = 1，证明H1H2 = {e}. 证 H1H2≤H1，H1H2 ≤H2. 由Lagrange定理，|H1H2| 整除r，也整除s. 从而 |H1H2| 整除 r与s 的最大公因子. 因为(r,s) = 1, 从而 |H1H2 | = 1. 即 H1H2 = {e}. 某些有用的数量结果：设a是群G元素，C为G的中心 N(a)={ x | xG, xa=ax }， |C| 是 |N(a)| 和 |G| 的因子，|a| 是 |N(a)| 和 |G| 的因子 |H| = | xHx1| |an| 是 |a| 的因子 a2=e  a=a1 |a|=1,2

练习8 8．设 i 为虚数单位，即 i 2 = 1, 令 则G关于矩阵乘法构成群. 找出G的所有子群. 解 令A, B, C, D分别为 平凡子群：<A> = {A}, G 2 阶子群：<-A> = {A, -A}, 4 阶子群：<B> = {A,B,-A,-B}, <C> = {A,C,-A,-C}, <D> = {A,D,-A,-D}, ,

练习9 9．设群G的运算表如表所示，问G是否为循环群？如果是，求出它所有的生成元和子群. 解 易见 a 为单位元. 由于|G|=6, |b|=6, 所以 b 为生成元. G=<b>为循环群. |f |=6, 因而 f 也是生成元 |c|=3, |d|=2, |e|=3, 因此 c,d, e不是生成元. 子群：<a>={a}, <c>={c, e, a}, <d>={d, a}, G .

练习10 10. 证明Fermat小定理：设 p为素数，则 p|(npn) 证：考虑一个圆环上等距离穿有 p个珠子，用 n 种颜色对珠 子着色. 考虑围绕中心旋转，则群是 G={ 1, 2, … , p } 1=()()…() 2=(  … ) … p=(  … ) 根据Polya定理，不同的着色方案数是 于是 p|(npn)

练习11 11. 在整数环中定义∗和◇两个运算, a,b∈Z 有 a∗b = a+b1, a◇b = a+bab. 证 a,b∈Z有a∗b, a◇b∈Z, 两个运算封闭. 任取a,b,c∈Z (a∗b)∗c = (a+b1)∗c = (a+b1)+c1 = a+b+c2 a∗(b∗c) = a∗(b+c1) = a+(b+c1)1 = a+b+c2 (a◇b)◇c = (a+bab)◇c = a+b+c (ab+ac+bc)+abc a◇(b◇c) = a◇(b+cbc) = a+b+c (ab+ac+bc)+abc ∗与◇可结合，1为∗的单位元. 2a为a关于∗的逆元. Z关于∗构成交换群, 关于◇构成半群. ◇关于∗ 满足分配律. a◇(b∗c) = a◇(b+c1) = 2a+b+cabac1 a◇b)∗(a◇c) = 2a+b+cabac1 <Z, ∗,◇>构成环

练习12 12. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域, 如果不构成, 说明理由. (1) A = { a+bi | a,b∈Q }, 其中i2= 1, 运算为复数加法和乘法. (2) A={ 2z+1 | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法 (3) A={ 2z | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法 (4) A={ x | x≥0∧x∈Z}, 运算为实数加法和乘法. (5) , 运算为实数加法和乘法 解 (1) 是环, 是整环, 也是域. (2) 不是环, 因为关于加法不封闭. (3) 是环, 不是整环和域, 因为乘法没有么元. (4) 不是环, 因为正整数关于加法的负元不存在. (5) 不是环, 因为关于乘法不封闭.