第十四章 线性动态电路的复频域分析 主要内容 拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ②反变换的方法； KCL、KVL和VCR的运算形式； 第十四章 线性动态电路的复频域分析 主要内容 拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ②反变换的方法； KCL、KVL和VCR的运算形式； 拉氏变换在线性电路中的应用； ⑤网络函数的定义与含义； ⑥极点与零点对时域响应的影响； ⑦极点与零点与频率响应的关系。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

基本要求 ①了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换的基本性质求象函数。 ②掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法、基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路。 ③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系； 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

重点 ①拉普拉斯反变换部分分式展开； ②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路； ③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥网络函数的零点、极点与频率响应的关系。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

难点 与其它章节的联系 ①拉普拉斯反变换的部分分式展开法； ②电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 ③零点、极点与冲激响应的关系 ④零点、极点与频率响应的关系 与其它章节的联系 拉氏变换：解决电路的动态分析问题。即解决第七章的问题，称之为运算法，是后续各章的基础，前几章基于变换思想的延续。 网络函数部分以拉氏变换为基础，是叠加定理的一种表现。冲激响应参见第 7 章、频率响应参见第 11章。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

§14-1 拉普拉斯变换的定义 1. 引言 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换化为复频域问题。 两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中，初始条件成为变换的一部分。 由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ ∫ 1. 定义 一个定义在 [0, +∞] 区间的函数 f(t)，它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为： F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt 0- 式中s=s+jw为复数，被称为复频率； F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为： c+j∞ 1 ∫ f(t)= ℒ -1[F(s)]= F(s) est dt 2pj c-j∞ 式中c为正的有限常数。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ ∫ ∫ 注意 (1)定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即： F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt = ∞ ∫ 0+ ∫ ∞ F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt = f(t)e-stdt + f(t)e-stdt 0- 0- 0+ 它计及 t=0-至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 (2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)， 原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t)，u(t)。 象函数F(s) 存在的条件： Re[s]=s > c。 在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。所以应用时不再计较F(s)的存在条件。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2. 典型函数的拉氏变换 P345例14-1 (1)单位阶跃函数 f(t) = e(t) 1 1 F(s) = ∞ ∫ ∞ 1 ∞ 1 F(s) = e(t) e-st dt = e-st dt = - e-st ℒ [e(t)]= s s 0- 0- 0- (2)单位冲激函数d(t) ∫ ∞ 0+ ∫ F(s) = d(t) e-st dt = d(t) e-st dt = e-s(0) ℒ [d(t)]=1 0- 0- (3)指数函数 f(t) = eat (a为实数) ∫ ∞ ∫ ∞ 1 ∞ F(s) = eat e-st dt = e-(s-a)t dt = e- (s-a)t -(s-a) 0- 0- 0- 1 ℒ [eat]= s-a 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ ∫ ∫ §14-2 拉普拉斯变换的基本性质 1. 线性性质 设：ℒ [ f1(t)]=F1(s)，ℒ [ f2(t)]=F2(s) §14-2 拉普拉斯变换的基本性质 1. 线性性质 设：ℒ [ f1(t)]=F1(s)，ℒ [ f2(t)]=F2(s) A1、A2 是两个任意实常数。 则：ℒ [A1 f1(t)+A2 f2(t)] = A1F1(s)+A2F2(s) ∞ ∫ 证： 左 = [A1 f1(t) + A2 f2(t)] e-st dt 0- ∞ ∞ ∫ ∫ = A1 f1(t) e-st dt + A2 f2(t) e-st dt = 右 0- 0- A1F1(s) A2F2(s) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P346 例14-2 若 f1(t)=sin(wt)， f2(t)=K(1-e-at)的定义域为[0，∞]，求其象函数。 解： 1 ℒ [ f1(t)] = ℒ [sin(wt)] 欧拉公式 ℒ (ejwt-e-jwt ) 2j 线性性质 1 1 ℒ [ejwt] -ℒ [e-jwt ] 引用 ℒ [eat ] = 2j s-a 1 1 1 w w = - = ℒ [sin(wt)] = 2j s-jw s+jw s2+w2 s2+w2 线性性质 ℒ [ f2(t)] = ℒ [K(1-e-at)] ℒ [K]-ℒ [Ke-at] 引用阶跃函数和指数函数的结论 K K Ka Ka = - = ℒ [K(1-e-at)]= s s+a s(s+a) s(s+a) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ ∫ ∫ ∫ 2. 微分性质 若 ℒ [ f(t)]=F(s)，则 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)-f(0-) df(t) ∞ ∫ df(t) ∞ ∫ 证：ℒ [ f ' (t)] = e-st dt = e-st df(t) F(s) dt 0- 0- ∞ ∞ ∞ ∫ ∫ = e-st f(t) - f(t) de-st = -f(0-)+ s f(t) e-st dt 0- 0- 0- 推论：ℒ [ f (n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0-)-sn-2f '(0-)-  -f (n-1)(0-) 特别，当 f(0-) = f '(0-) =  =f (n-1)(0-)= 0 时 则有 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)， ，ℒ [f (n)(t)] = snF(s) 该性质可将f (t)的微分方程化为F(s)的代数方程， 是分析线性电路(系统)的得力工具。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P347 例14-3 用微分性质求cos(wt)和d(t)的象函数。 dsin(wt) de(t) 解： =w cos(wt) = d(t) dt dt 利用微分性质和已知结果： w ℒ [sin(wt)] = ℒ [e(t)] = 1/s， s2+w2 dsin(wt) w 1 1 ℒ [cos(wt)]=ℒ = s - sin(0-) w w dt s2+w2 s ℒ [cos(wt)] = s2+w2 de(t) 1 ℒ [d(t)] =ℒ = s ( - 0) = 1 s dt 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ s 3. 积分性质 则有g'(t)= f (t)，且g(0)=0 由微分性质 若 ℒ [ f(t)]=F(s) ℒ [g'(t) ] = sℒ [g(t)]-g(0) ∫ 1 则ℒ f (t) dt = F(s) s = sℒ [g(t)] 0- ∫ t 1 证：设 g(t) = f (t) dt ℒ [g(t) ] = ℒ [g'(t) ] s 0- 推论：设 ℒ [ f(t)]=F(s) 则重复应用积分性质可得n重积分的象函数 t ∫ t t ∫ 1 ∫ ℒ dt dt ··· f (t) dt = F(s) sn 0- 0- 0- 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ ∫ P348 例14-4，求 f(t)= t 的象函数。 解： f(t)= t = e(x) dx 1 1 ℒ [tn ] = sn+1 0- 1 1 ℒ [tn ] = sn+1 n! 利用积分性质 ℒ [t] = ℒ [e(x)] = s s2 4. 延迟性质 若 ℒ [f(t)]=F(s)，又t<0时 f(t)=0。 则 对任一实数t0有：ℒ [f(t-t0)] = e-st0 F(s) 5. 卷积性质 若f1(t)、f2(t)在t<0时为0，则f1(t)和f2(t)的卷积定义为 t ∫ [f1(t)*f2(t)= f1(t-x )f2(x)dx 取拉氏变换有 ℒ [f1(t)*f2(t)]=F1(s)F2(s) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

解：f(t) = A [e(t)-e(t-t)] P349例14-5 求矩形脉冲的象函数。 o t f (t) A 解：f(t) = A [e(t)-e(t-t)] 1 ℒ [e(t)] = s 1 ℒ [e(t-t)] = e-st s A A A ℒ [f(t)] = - e-st = (1- e-st ) s s s *5.位移性质： ℒ [eat f(t)]=F(s-a) *6.初值定理： f(0)=[s F(s)]s ∞ *7.终值定理：f(∞)=[s F(s)]s0 常用的拉氏变换表见教材P350之表14-1。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

§14-3 拉氏反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有 c+j∞ ∫ 1  利用公式 f(t) = F(s) est dt 2pj c-j∞ 公式涉及到以s为变量的复变函数的积分，比较复杂。工程上一般不采用这种方法。  若象函数是，或稍加变换后是表14-1中所具有 的形式，可直接查表得原函数。  把F(s)分解为简单项的组合，称部分分式展开法。 F(s)=F1(s)+F2(s)+  f(t)=f1(t)+f2(t)+  2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

s2 + 3 1 的原函数。 例：求 F(s) = 1 3 解：F(s) = 3 s2 + ( )2 3 w 查表： ℒ [sin(wt)] = s2+w2 1 所以： f(t) = sin 3 t 3 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为 N(s) a0 sm + a1 sm-1 + ··· +bm F(s) = = D(s) 1. 部分分式展开法 在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为 N(s) a0 sm + a1 sm-1 + ··· +bm F(s) = = D(s) b0 sn + b1 sn-1+ ··· +bn 式中m、n为正整数，且在电路分析中有n≥m。 部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1所示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。 当n > m时， F(s)为真分式； N0(s) 当n = m时，用多项式除法将其化为： F(s) = A + D(s) 部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。分三种情况讨论。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

p1、p2、… 、pn 为D(s)=0的n个不同单根， 它们可以 K1 K2 Kn F(s) = + + ··· + s- p1 s- p2 s- pn p1、p2、… 、pn 为D(s)=0的n个不同单根， 它们可以 实数，也可以是(共轭)复数。 K1、K2、··· 、Kn 为待定系数。确定方法如下： 方法1： 按 Ki = lim (s- pi)F(s) 来确定， i =1,2,3, ···, n spi 方法2：用求极限方法确定 Ki 的值。 (s- pi)N(s) (s- pi)N'(s)+N(s) N(pi) 按 Ki = lim = lim = D(s) spi spi D'(s) D'(pi) i =1,2,3, ···, n 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

解：s3+7s2 +10s=0的根分别为：p1=0, p2=-2, p3=-5 求 F(s) = 的原函数。 s3 +7s2 +10s 2s +1 P352 例14-6 解：s3+7s2 +10s=0的根分别为：p1=0, p2=-2, p3=-5 用Ki = lim (s-pi)F(s) 确定系数。 spi 2s+1 K1= lim sF(s) = lim s = 0.1 s3 +7s2 +10s s0 s0 2s+1 K2= lim(s+2)F(s) =lim (s+2) = 0.5 s(s+2)(s+5) s-2 s-2 2s+1 K3= lim(s+5)F(s) =lim (s+5) = -0.6 s(s+2)(s+5) s-5 s-5 0.1 0.5 -0.6 F(s) = + + s s+2 s+5 f(t) = 0.1+ 0.5e-2t - 0.6e-5t 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

原则上也是上述方法，只是运算改为复数运算： N(a+jw ) N(a-jw ) K1= K2= D'(a+jw ) D'(a-jw ) 在情况1中，若D(s)=0有共轭复根 p1=a+jw，p2=a-jw 原则上也是上述方法，只是运算改为复数运算： N(a+jw ) N(a-jw ) K1= K2= D'(a+jw ) D'(a-jw ) 由于F(s)是实系数多项式之比，故K1、K2 必是共轭复数(证明从略)，即 若 K1=| K1| ejq1，则必有K2=| K1| e-jq1 f(t)=K1e(a+jw)t+K2e(a-jw)t =|K1|ejq1 e(a+jw)t+|K1|e-jq1 e(a -jw)t =|K1|eat [ej(q1+wt) + e-j(q1+wt)] 根据欧拉公式得：f(t) = 2|K1| eatcos(wt+q1) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

e e-t cos(2t - P353 例14-7 求 F(s) = s2 +2s +5 s +3 的原函数f(t)。 p1= -1+ j2， p2= -1-j2 a =-1， w =2 -j 4 p N(-1+ j2) K1= = 0.5 - j0.5 = 0.5 e 2 D'(-1+ j2) q1 = - 4 p |K1| = 0.5 2 代入：f(t) = 2|K1| eatcos(wt+q1) 得 p f(t) = e-t cos(2t - 2 ) 4 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

情况2：如果D(s)=0有q重根(设p1有q重根)。 则D(s)中含有(s-p1)q 的因式，F(s)的展开式为 K1q + ∑ i=1 n-q s-pi+1 Ki +1 K11 K12 F(s)= + + ··· + s-p1 (s-p1)q (s-p1)q-1 系数Ki+1的求法同上， K11~ K1q 的确定： d K11 = lim (s-p1)q F(s) K12= lim [(s-p1)q F(s)] ds sp1 sp1 1 dq-1 K1q= lim [(s-p1)q F(s)] (q-1)! sp1 dsq-1 + ∑ i=1 n-q Ki+1e pi+1t K11 K12 f(t)= t q-1+ t q-2+ ··· +K1q e p1t (q-1)! (q-2)! 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

K1q= (q-1)! 1 lim dsq-1 dq-1 [(s-p1)q F(s)] P354例14-8 求 F(s) = 的原函数。 s2 (s+1)3 1 解： 1 (s+1)3 F(s) = 求K21、K22的方法相同： s2 1 1 K11= lim = 1 s2 F(s) = s -1 s2 (s+1)3 d s2 1 1 K12= lim = 2 K21= lim = 1 ds (s+1)3 s -1 s0 1 d2 1 d 1 K13= lim = 3 K22= lim = -3 s -1 2! ds2 s2 ds (s+1)3 s0 1 f(t) = t2e-t + 2te-t + 3e-t + t -3 2！ 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

§14-4 运算电路 用拉氏变换求解线性电路的方法称为运算法。 §14-4 运算电路 用拉氏变换求解线性电路的方法称为运算法。 运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出 R、L、C 单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉氏反变换，得到所求电路变量的时域形式。 显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

对KL的时域形式取拉氏变换并应用其线性性质可得KL在复频域中的运算形式： ℒ [∑i(t)] = ∑ℒ [i(t)] = ∑I(s) = 0 ℒ [∑u(t)] = ∑ℒ [u(t)] = ∑U(s) = 0 2. VCR的运算形式 R + - u(t) i(t) R + - U(s) I(s) (1)电阻R 时域形式：u(t) = Ri(t) 运算形式：U(s)= RI(s) 运算电路 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

s sL (2)电感L di(t) 时域形式 u(t) = L dt 取拉氏变换并应用线性和微分性质 + - u(t) i(t) di(t) 时域形式 u(t) = L dt 取拉氏变换并应用线性和微分性质 得运算形式：U(s) = sLI(s)-Li(0-) 1 i(0-) I(s) = 或者写为： U(s) + sL s sL称为L的运算阻抗 sL + - U(s) I(s) Li(0-) + - U(s) I(s) sL 1 i(0-) s 1/sL称为运算导纳 i(0-) 为L的初始电流 由上式得电感L的运算电路如图。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ sC s sC为C的运算导纳。 (3) 电容C 1 时域形式： u(t) = i(t) dt + u(0-) C 取拉氏变换并应用线性和积分性质 1 u(0-) 得运算形式： U(s) = I(s) + sC s 或者写为： I(s) = sCU(s) - Cu(0-) 1/sC称为C的运算阻抗。 + - U(s) I(s) sC 1 u(0-) s + - U(s) I(s) sC Cu(0-) sC为C的运算导纳。 u(0-)为C的初始电压。 运算电路如图。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

两边取拉氏变换，得耦合电感 VCR的运算形式。 - + M L1 L2 i1(t) i2(t) u1(t) u2(t) (4) 耦合电感 电压电流关系为 di1 di2 u1 = L1 + M dt dt di2 di1 - + sM sL1 sL2 I1(s) I2(s) U1(s) U2(s) L1i1(0-) Mi2(0-) L2i2(0-) Mi1(0-) u2 = L2 + M dt dt 两边取拉氏变换，得耦合电感 VCR的运算形式。 由运算形式得耦合电感的运算电路图 U1(s) = sL1I1(s) - L1i1(0-) + sMI2(s) - Mi2(0-) U2(s) = sL2I2(s) - L2i2(0-) + sMI1(s) - Mi1(0-) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ (5)运算电路模型 设电容电压的初值为u(0-) 电感电流的初值为 i(0-) di 1 时域方程为 u=Ri+L + i dt sL + - U(s) I(s) R S Li(0-) u(0-) s sC 1 L + - u(t) i(t) C R S 设电容电压的初值为u(0-) 电感电流的初值为 i(0-) ∫ t di 1 时域方程为 u=Ri+L + i dt 取拉氏变换得 dt C 0- 1 u(0-) U(s)=RI(s)+sLI(s)-Li(0-)+ I(s)- s sC u(0-) 1 (R+sL+ ) I(s)=Z(s)I(s) =U(s)+Li(0-)+ s sC 由上式得运算电路。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

③电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。 1 sL + - U(s) I(s) R S Li(0-) u(0-) s sC 1 Z(s) = (R+sL+ ) 称运算阻抗 sC 运算电路实际是： ①电压、电流用象函数形式； ②元件用运算阻抗或运算导 纳表示； ③电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。 友情提示  运算法可直接求得全响应；  用 0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

§14-5 应用拉氏变换法分析线性电路 相量法由电阻电路推广而来，运算法也是。 所以运算法的分析思路与相量法非常相似： 推广时引入拉氏变换和运算阻抗的概念： i → I(s) u → U(s) R → Z(s) G → Y(s)  用运算法分析动态电路的步骤： ① 求初始值； ② 将激励变换成象函数； ③ 画运算电路(注意附加电源的大小和方向) ； ④ 用电阻电路的方法和定理求响应的象函数； ⑤ 求原函数得时域形式的表达式。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P359 例14-9 电路处于稳态。 t=0时S闭合，求i1(t)。 + - Us i1(t) R1 S C R2 (t=0) L 1W 1V 1F 1H 解：求初值： iL(0-) = 0，UC(0-) = US = 1V 求激励的象函数： ℒ [US] = ℒ [1] =1/s 画运算电路： + - I1(s) 1 s Ia(s) Ib(s) 用回路电流法求响应的象函数： 1 1 1+s+ Ia(s) - Ib(s) = 0 s s 1 1 1 1 I1(s)=Ia(s) = - Ia(s) + 1+ Ib(s) = s s s s (s2+2s +2) 1 求原函数： ℒ [I1(s)]= (1+ e-t cost-e-t sint) A 2 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P361 例14-11 稳态时闭合S。求 t≥0时的 uL(t)。 5W + - us1 iL(t) R1 S (t=0) L R2 us2 uL 2e–2t V 5V 1H + - 5W s UL (s) 1V ① s + 2 2 5 us2 解：iL(0-) = =1A R2 2 5 ℒ [2e–2t ] = ℒ [5 ] = s s + 2 UL(s) = Un1(s) 由结点电压法 2 5 2s (s+2) 1 1 1 1 s = + + Un1(s) = - + (s+2)(2s+5) s s 5 5 5 5 2s+5 2 ℒ [UL(s)]=(-4e–2t +5e–2.5t )V Un1(s) = 5s 5(s+2) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

(R1+sL1)I1(s)-sMI2(s)=(1/s) -sMI1(s)+(R2+sL2)I2(s)=0 代入数据 P362 例14-12 求S闭合时的 i1(t)和i2(t) 。 - + M L1 L2 i1(t) i2(t) u1(t) R1 S R2 1W 1V 0.1H 0.05H - + sM sL1 sL2 I1(s) I2(s) R1 R2 s 1 解：根据运算电路 列回路电流方程 (R1+sL1)I1(s)-sMI2(s)=(1/s) -sMI1(s)+(R2+sL2)I2(s)=0 代入数据 (1+0.1s)I1(s)-0.05sI2(s)=(1/s) -0.05sI1(s)+(1+0.1s)I2(s)=0 解方程 0.1s +1 I1(s)= s(7.5×103s2+0.2s+1) 0.05 I2(s)= s(7.5×103s2+0.2s+1) 取反变换 i1(t)=(1-0.5e-6.67t-0.5e-20t)A i2(t)= 0.5(0.5e-6.67t-e-20t)A 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P363 例14-13 电路处于稳态时打开S 。求i(t)和电感元件电压。 L1 - + L2 i(t) Us=10V R1 S R2 2W 3W 0.3H 0.1H P363 例14-13 电路处于稳态时打开S 。求i(t)和电感元件电压。 解：ℒ [10 ]=(10/s)， iL1(0-)=5A，L1iL1(0-)=1.5V - + 0.3s 0.1s I(s) 10 2W 3W s 1.5V UL1(s) UL2(s) 10 +1.5 s I(s)= = 2+3+(0.3+0.1)s (1.5s+10) 2 1.75 = + s s(0.4s+5) s +12.5 2.19 i(t)=(2+1.75e-12.5t )A UL2(s)=0.1sI(s) = - - 0.375 s +12.5 UL1(s)=0.3sI(s)-1.5 uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)] V uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)] V 6.56 = - - 0.375 s +12.5 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

所以，当分析iL(t)或uC(t)有跃变情况的问题时，运算法不易出错。 可见拉氏变换已自动 把冲激函数计入在内。 iL1(0-)=5A i(t)=(2+1.75e-12.5t )A uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]V uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]V L1 - + L2 i(t) Us=10V R1 S R2 2W 3W 0.3H 0.1H 0.3s 0.1s I(s) 10 s 1.5V UL1(s) UL2(s) S打开瞬间iL1(0+)=3.75A 电流发生了跃变。uL1(t)、 uL2(t)中将出现冲激电压。  但uL1(t)+uL2(t)无冲激， 回路满足KVL。 所以，当分析iL(t)或uC(t)有跃变情况的问题时，运算法不易出错。 可见拉氏变换已自动 把冲激函数计入在内。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

本例在求出i(t)后，不要轻易采用对i(t)求导的方法计算uL1(t)和uL2(t)，这会丢失冲激函数项。 iL1(0-)=5A i(t)=(2+1.75e-12.5t )A uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]V uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]V L1 - + L2 i(t) Us=10V R1 S R2 2W 3W 0.3H 0.1H 0.3s 0.1s I(s) 10 s 1.5V UL1(s) UL2(s)  提示 本例在求出i(t)后，不要轻易采用对i(t)求导的方法计算uL1(t)和uL2(t)，这会丢失冲激函数项。 加e(t)后再求导，也会产生错误结果。因为e(t)的起始性把函数定义成 t<0时为0。所以当电压或电流不为0时，一般不能在表达式中随意加e(t)。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

L1iL1(0-)+L2iL2(0-)=(L1+L2)i(0+) i(t) Us=10V R1 S R2 2W 3W 0.3H 0.1H 经典法有一定的局限性。 若要求用三要素法求解， 则按磁链不变原则有： L1iL1(0-)+L2iL2(0-)=(L1+L2)i(0+) L1iL1(0-)+L2iL2(0-) 代入三要素公式得： i(0+) = L1+L2 i(t)=2+(3.75-2)e-12.5t A 0.3×5 + 0 = =3.75A (t≥0+) 0.3 + 0.1 i(t) o t 2 4 5 10 i(∞)= = 2A 2+3 0.3+0.1 1 t = = s 2+3 12.5 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

i(t)=[5-5e(t) + (2+1.75e-12.5t )e(t)] A，(t≥0-) L1 - + L2 i(t) Us=10V R1 S R2 2W 3W 0.3H 0.1H i(0-)= iL1(0-)=5A i(t)=2+(3.75-2)e-12.5t A 为表示t≥0-的情况 i(t) o t 2 4 5 i(t)=[5-5e(t) + (2+1.75e-12.5t )e(t)] A，(t≥0-) di(t) 此时：uL1(t) = L1 =[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]V dt 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

§14-6 网络函数的定义 1. 网络函数的定义 若电路在单一独立源激励下，其零状态响应r(t)的象函数为R(s)，激励e(t)的象函数为E(s) ， 则该电路的网络函数H(s)定义为R(s)与E(s) 之比。 del R(s) 无源 网络 I1(s) + - ZL I2(s) U2(s) U1(s) 即 H(s) E(s) 2. 网络函数的类型 根据激励E(s)与响应R(s)所在的端口： H(s)可以是驱动点阻抗、导纳； 电压转移函数、电流转移函数； 转移阻抗、转移导纳。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

 若激励 E(s) =1，即e(t)=d(t)， 则响应 R(s) = H(s)E(s)=H(s)。 注意  若激励 E(s) =1，即e(t)=d(t)， 则响应 R(s) = H(s)E(s)=H(s)。 h(t) =ℒ-1[H(s)]=ℒ-1[R(s)]= r(t) 说明网络函数的原函数为电路的单位冲激响应。 或者说，如果已知电路某一处的单位冲激响应 h(t)，就可通过拉氏变换得到该响应的网络函数 网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与激励的函数形式无关。因此，如果已知某一响应的网络函数H(s)，它在某一激励 E(s) 下的响应 R(s) 就可表示为R(s)= H(s)E(s) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P366例14-15 已知激励 is=d(t) 求冲激响应 h(t)=uc(t) + - uc G C 解：激励与响应属同一端口 R(s) Uc(s) H(s) = = = Z(s) 为驱动点阻抗。 E(s) Is(s) 1 1 1 Z(s) = = G + sC C 1 s + RC RC t - 1 h(t) = uc(t) = ℒ -1[H(s)] = e e(t) C 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P366 例14-16 已知低通滤波器的参数 当激励是电压u1(t) 时， 求电压转移函数和驱动点导纳函数。 解：用回路电流法 1 1 1.5H 0.5H 1W I1(s) I2(s) + - u2(t) C2 u1(t) L1 L3 i2(t) i1(t) R 3 4 F 已知低通滤波器的参数 当激励是电压u1(t) 时， 求电压转移函数和驱动点导纳函数。 解：用回路电流法 1 1 (sL1+ )I1(s) - I2(s) =U1(s) sC2 sC2 1 1 - I1(s) + (sL3+ + R) I2(s) = 0 sC2 sC2 解方程得： L3C2s2 +RC2s +1 1 I1(s) = U1(s) I2(s) = U1(s) D(s) D(s) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

式中：D(s) =L1L3C2 s3 +RL1C2 s2 +(L1+L2) s + R - u2(t) C2 u1(t) L1 L3 i2(t) i1(t) R I1(s) = D(s) L3C2s2 +RC2s +1 U1(s) 1.5H 0.5H I2(s) = D(s) 1 U1(s) 3 4 F 1W 式中：D(s) =L1L3C2 s3 +RL1C2 s2 +(L1+L2) s + R 代入数据： D(s) = s3+2s2+2s+1 U2(s)=RI2(s)=I2(s) 电压转移函数为： U2(s) 1 1 H1(s) = = = U1(s) D(s) s3 +2s2 +2s +1 驱动点导纳函数为： I1(s) 2s2+4s+3 H1(s) = = U1(s) 3 (s3+2s2+2s+1) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

§14-7 网络函数的极点和零点 由于H(s)定义为响应与激励之比，所以H(s)只与(网络)电路参数有关。在H(s)中不会包含激励的象函数。 对于由 R、L(M)、C和受控源组成的电路来说，H(s)是s的实系数有理函数，其分子、分母多项式的根或是实数或是(共轭)复数。 1. H(s)的一般形式 N(s) bmsm + bm-1sm-1+  + b0 H(s) = = D(s) ansn + an-1sn-1+  + a0 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P P 写成 N(s) (s-z1)(s-z2)  (s-zi)  (s-zm) H(s) = = H0 D(s) (s-p1)(s-p2)  (s-pj)  (s-pn) m P (s-zi) i=1 = H0 H0为常数 n P (s-pj) j=1 z1、z2、 zm是N(s) =0的根， 当 s=zi 时， H(s)=0， 称之为网络函数的零点； p1、p2、 pm是D(s) =0的根， 当 s=pi 时， H(s)→∞， 称之为网络函数的极点。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

在s平面上，H(s)的零点用“○”表示，极点用“×”表示。这样就可以得到网络函数的零、极点分布图。 2. 网络函数的零、极点分布图 o s jw [ s 平面 ] 2 4 -2 -4 -1 1 在s平面上，H(s)的零点用“○”表示，极点用“×”表示。这样就可以得到网络函数的零、极点分布图。 × × × 2s2-12s+16 例：求H(s) = s3+ 4s2+ 6s+3 的零、极点图。 解：对分子作因式分解 2(s2-6s+8)=2(s-2)(s-4) 对分母作因式分解 (s+1) (s2+3s+3) s + 2 3 + j s + 2 3 - j =(s+1) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

§14-8 极点、零点与冲激响应 根据H(s)的定义可知，电路的零状态响应为： N(s) P(s) R(s) = H(s) E(s) = D(s) Q(s) H(s)、E(s)的分子和分母都是s的多项式，D(s)Q(s)=0 的根将包含D(s)=0 和Q(s)=0 的根。 Q(s)=0 的根与激励有关，属强制分量。 D(s)=0 的根只与网络(电路)参数有关，是自由分量。 根据冲激响应过程可知， h(t) 中只有自由分量， 而h(t)=ℒ -1[H(s)]。 所以，分析H(s)的零、极点与冲激 响应的关系，就能预见时域响应的特点。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

设H(s)为真分式，且分母D(s)=0只有单根，则 n n Ki ∑ ∑ 冲激响应h(t) =ℒ-1[H(s)]=ℒ-1 = Ki e pi t s - pi i=1 i=1 s jw o [s平面] Pi 仅由网络的结构及元件值确定。 t o t o t o × pi × pi * × pi * × pi × pi t o t o 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

归纳如下： 若所有极点 全部在左半 s 平面，则电路(或系统)是稳定的。 只要有一个极点pi在右半 s 平面，电路(或系统)不稳定。 jw o [s平面] × pi t * 若所有极点 全部在左半 s 平面，则电路(或系统)是稳定的。 只要有一个极点pi在右半 s 平面，电路(或系统)不稳定。 若极点在虚轴上，为临界稳定状态。 若极点不在实轴上，一般为共轭复数，则响应为正弦振荡：衰减振荡，或增幅振荡，或等幅振荡。 若极点在实轴上，则响应按指数衰减或增长。(单调变化) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P371 例14-18 根据H(s)的极点分布情况分析uC (t)的变化规律。 + - uC R L uS (t=0) S I(s) 解：US(s)为激励， UC(s)为响应， H(s) =UC(s)/US(s) 为电压转移函数： US(s) US(s) 1 1 UC(s) = I(s) = = sC 1 sC s2LC + sRC + 1 R +sL+ sC 1 1 p1= - 2L R + 2 - LC 1 H(s) = LC (s-p1)(s-p2) p2= 2L R - 2 LC 1 式中p1、p2分别为： 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

p1= - 2L R + - LC 1 p2= 2L R - LC 1 2L R d = LC w0 = 1 d 2+w0 wd = 2 jw s o × p1 p2 -d jwd × p1 (1) 当0< R< 2 L C p1=-d +jwd， p2= -d -jwd 极点位于左半 s 平面。 uC (t)的自由分量为衰减的正弦振荡。 × p2 极点离虚轴越远，衰减越快。 极点离实轴远，振荡频率高。 (2) R=0, p1=jwd，p2=-jwd 极点位于虚轴， 自由分量为等幅振荡。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

以上根据H(s)的极点分布情况，定性地分析uC(t)的变化规律。 极点离原点越远，衰减越快。 uC (t)中的强制分量取决于激励。 p1= - 2L R + 2 - LC 1 p2= 2L R - 2 LC 1 2L R d = LC w0 = 1 d 2+w0 wd = 2 × p1 p2 jw s o L C (3) R > 2 极点位于负实轴上 p1、 p2 是两个不等的负实根。 uC (t)的自由分量为两个衰减 速度不同的指数项。 以上根据H(s)的极点分布情况，定性地分析uC(t)的变化规律。 极点离原点越远，衰减越快。 uC (t)中的强制分量取决于激励。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

§14-9 极点、零点与频率响应 令网络函数H(s)中复频率 s=jw，分析H(jw) 随w 变化的情况，就可预见相应的网络函数在正弦稳态情况下随 w 变化的特性，H(jw)是一个复数。 H(jw) = |H(jw)| j (jw) |H(jw)|为网络函数在频率w处的模值， |H(jw)|随w 变化的关系为幅度频率响应，简称幅频特性； j (jw)为相位频率响应，简称相频特性。 m P (jw-zi) i=1 由于H(jw) = H0 n P (jw-pj) j=1 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

P P S S S S 所以幅频特性 |(jw-zi)| 具体分析方法 (1)公式计算 m |(jw-zi)| 具体分析方法 (1)公式计算 若已知网络函数的零点、极点，则可以通过公式计算频率响应。 |H(jw)|=H0 P j=1 n |(jw-pj)| 相频特性 m S (2)作图法 定性描绘频率响应曲线。 ①Bode图； ②几何求法。 举例如下： j (jw) = arg(jw-zi) i=1 n S - arg(jw-pi) j=1 S i=1 m S i=1 m ji - qi = 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

例14-19 定性分析RC串联电路的频率特性， u2为输出。 + - u1 u2 R C 解：(1)写频率特性表达式 . U2(jw) 1 RC H(jw)= = w=0： |H(j0)|=1 . U1(jw) 1 jw + RC j(j0)=0； 为电压转移函数。 1 w =wC = H0 RC 幅频特性：|H(jw)| = 1 1 jw + |H(jwC)| = 相频特性： RC 2 j (jw) =0-q(jw)=-arctg(wRC) j(jwC)=-45o ； (2)为绘制频率特性曲线， w→∞：|H(j∞)|=0 需要求若干个点： j(j∞)=-90o。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

j(jw) = -q (w) = -arctg(wRC) 用几何求法再算几个点： o s jw jw3 M3 H0 H0 |H(jw)| = = 作图求M(w)和q (w) 1 M(w) jw + M2 jw2 RC M1 j(jw) = -q (w) = -arctg(wRC) jw1 RC 1 × q2 q3 q1 w =w1： |H(jw1)|= H0/M1 |H(jw)| o w 1 0.5 j(jw1) = -q1 H0/M1 H0/M2 w1 2 1 w =w2： |H(jw2)|= H0/M2 w2 H0/M1 wC j(jw2) = -q2 w3 w =w3： |H(jw3)|= H0/M3 j(jw3) = -q3 幅频特性 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

采用几何求法，要按比例画图，然后量长度M(w)和测角度q(w) 。此法虽不精确，但不用计算。 wC 称为截止频率。 幅频特性 |H(jw)| o w 1 0.5 w1 w2 wC w3 2 或转折频率。 该电路具有低通特性， 通频带为wC -0=wC 。 1 wC = RC 采用几何求法，要按比例画图，然后量长度M(w)和测角度q(w) 。此法虽不精确，但不用计算。 wC w1 w2 j(jw) o w -90o w3 -45o 相频特性 q1 q3 q2 当需要较准的曲线时，应多求一些点。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

例14-20 RLC串联电路的电压转移函数H(s) = + - u2 R L u1 U2(s) U1(s) ,试根据 其零、极点定性绘出H(jw)。 解：引用P371 例14-18的结果 = (s-p1) (s-p2) H0 1 1 H(s) = LC (s-p1) (s-p2) H0 为分析频率特性，令s=jw得 H(jw) = (jw-p1) (jw-p2) 式中无零点，极点为： p1，2 = - 2L R ± 2 - LC 1 只讨论极点是一对共轭复数的情况。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

一对共轭复数极点为：p1=-d + jwd， p2=-d - jwd d、wd、w0 与电路参数的关系同前。 幅频特性表达式： H0 H0 |H(jw)| = = | jw-p1| | jw-p2| M1(w) M2 (w) -jwd jwd -d jw s o × p1 p2 相频特性表达式：j (jw) = -(q1+q2) q1 H0 M1 w =w1： |H(jw1)| = jw1 M1 M2 M2 j (jw1) = -(-q1+q2) q2 w =w2，…。用几何求法的作图过 程，与例14-19相同，不再重复。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

对频率特性影响最大，或者说起主要作用的极点。  主导极点的概念 对频率特性影响最大，或者说起主要作用的极点。 N1 jw s × -d1 M3 M1 w1 p1 p2 w=0 z1 p3 p4 -d2 M4 M2 N1 |H(jw1)| = M1 M2 M3M4 |j (jw1)| = j1-(q1+q2 +q3 +q4) 一对共轭复数极点靠近虚轴，且周围无零点，其它极点与虚轴的距离大于这对极点5倍以上。那么靠近虚轴的这对共轭复数极点对频率特性影响大。 从图中看出， 当w变化时，对M1、M2和q1、q2的影响较大，而影响最大的是M1和q1。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

即极点到坐标原点的距离与极点实部之比的一半。  极点的品质因数Qp jw s o -jwd jwd × p1 p2 -d 当极点为一对共轭复数时 d 2+w2 d 2d w0 def 1 Qp = 2 d 即极点到坐标原点的距离与极点实部之比的一半。 1 R w0 = d = 本例： 代入上式得 LC 2L 1 L Qp= = Q 是RLC串联谐振回路的品质因数。 R C 对频率特性的影响参见第十一章。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ §7-9 卷积积分 一、卷积的概念 若已知函数 f1(t)， f2(t)，则积分 f1(x ) f2(t -x) dx §7-9 卷积积分 一、卷积的概念 若已知函数 f1(t)， f2(t)，则积分 +∞ ∫ f1(x ) f2(t -x) dx -∞ 称为函数f1(t)与 f2(t)的卷积，记作： f1(t) * f2(t)。 卷积符合交换律： f1(t) * f2(t)= f2(t) * f1(t) 也符合分配律： f1(t) *[ f2(t)+ f3(t)] = f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ ∫ ∫ e-t，t ≥ 0 ex dx 0，t < 0 例：若 f1(t) = e(t)， f2(t) = 求 f1(t) * f2(t)。 解：按卷积的定义有 f1(x) x o 1 f1(t)*f2(t)= ∫ -∞ +∞ f1(x ) f2(t -x) dx f2(t-x) x o 1 t f1(x )是单位阶跃函数， f2(t-x)= e-(t-x) 且(t-x) ≥0，即x≤t 时≠0 t ∫ f1(t)*f2(t)= 1· e-(t-x) dx f1(x ) f2(t -x) ≠0 的区域为[0，t] ∫ t = e-t ex dx = e-t(et-1) = 1- e-t 按 f2(t) * f1(t)也能得到上述结果。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

拉氏变换的象原函数只需在 t≥0 内有定义，因此 若f1(t)与 f2(t)都满足条件： 当t<0 时， f1(t)= f2(t)=0 则 x< 0, f1(x)=0 f1(t)*f2(t)= ∫ -∞ +∞ f1(x ) f2(t -x) dx = ∫ -∞ f1(x ) f2(t -x) dx + ∫ t f1(x ) f2(t -x) dx + ∫ t +∞ f1(x ) f2(t -x) dx = t -x <0，即x > t， f2(t -x)=0 在电路分析中遇到的函数都满足上述条件，所以它们的卷积都按下式计算： f1(t)*f2(t)= ∫ t f1(x ) f2(t -x) dx 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ 二、拉氏变换的卷积定理 设 f1(t)与 f2(t)的象函数分别为F1(s)和F2(s) ℒ -1 [F1(s) ·F2(s)] = f1(t)* f2(t) 在应用拉氏变换分析电路时，这一性质起十分重要的作用。 可以利用它求网络响应： R(s)= E(s) H(s) r(t)= ℒ -1[E(s) H(s)]= 可以交换 e(t -x) h(x ) ∫ t e(x ) h(t -x) dx e(t)为任意激励的 时间函数形式。 h(t -x)为网络 的冲激响应。 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

例14-7 已知激励 is(t)=2e-t mA 求零状态响应 uC (t)。 R C + - uC 500k 1mF 解：根据P149表6-2可知 电路的冲激响应为： 1 RC t - = ∫ t h(t) = e 2×10-6 e-x ×106 e-2(t -x ) dx C = 2 ∫ t 代入数据得： h(t) =106 e-2t uC(t) = ℒ -1[IS(s)H(s)] 应用卷积定理求反变换 e-x e-2t e 2x dx ∫ t = 2e-2t ex dx = 2e-2t (et -1) ∫ t is(x ) h(t -x) dx uC(t) = = 2 (e-t- e-2t ) e (t) V 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

∫ ∫ 利用卷积定理求拉氏反变换的例子 s2 若 F(s) = 求f(t)。 (s2 + 1)2 s s 解： F(s) = s2 + 1 主要是这几步的变换。 s s f(t) = ℒ -1 s2 + 1 s2 + 1 ∫ t = cost * cost = cosx cos(t-x)dx = 2 1 ∫ t [cost + cos(2x - t)]dx = 2 1 (tcost + sint) 2018年11月23日星期五2018年11月23日星期五

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