15 虚位移原理

质点系可分为自由质点系和非自由质点系。 自由质点系： 质点系的各质点不受任何限制，可以在空间自由运动，它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内力。例如，各星体组成的太阳系。 非自由质点系： 质点系的各质点受到一定限制，在空间不能自由运动，它们的位置或速度必须遵循一定的限制条件。例如，用刚杆连接的两质点，它们之间的距离保持不变。

矢量静力学（Vectorial statics）： 以静力学公理为基础，以矢量分析为特点，通过主动力与约束力的关系表达了刚体的平衡条件。 分析静力学（Analytical statics）： 用数学分析的方法研究非自由质点系的平衡问题，平衡条件表现为主动力在的虚位移上所做虚功的关系。 虚位移原理（ Principle of virtual displacement）： 给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件，是解决质点系平衡问题的普遍原理。

15.1 约束及其分类 15.1.1 约束与约束方程 约束（Constraints）： 在非自由质点系中，那些预先给定的限制质点系位形或速度的运动学条件。 例如，限制刚体内任意两点间的距离不变的条件，限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件。 约束方程（Contraint equations）： 限制条件的数学方程式。

限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。 几何约束和运动约束 　　限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。

15.1.2 约束分类 15.1.2.1 定常约束和非定常约束 定常约束或稳定约束（Steady constraint）： 约束方程中不显含时间t，即约束不随时间而变。以上各例都是定常约束。 非定常约束（Unsteady constraint）： 约束方程中显含 t 。 图15-1中的单摆，悬挂点O若以匀速 v 沿 x 轴向右运动，约束方程成为 约束方程中显含时间 t。悬挂点移动的单摆的约束是非定常约束。

15.1.2.2 双侧约束与单侧约束 双侧约束（Bilateral constraint）： 约束方程中用等号表示的约束。 能限制两个相反方向的运动 。 单侧约束（Unbilateral constraint）： 由不等式表示的约束 。 图15-1中的单摆，将摆杆以细绳代替，因绳子不能 受压，约束方程成为

15.1.2.3 完整约束与非完整约束 约束不仅对质点系的几何位形起限制作用，而且还可能与时间、速度有关。 约束方程的一般形式可表示为 （15-1） 约束方程中显含坐标对时间的导数，称运动约束。 约束方程中不显含坐标对时间的导数，称几何约束。

完整约束（Holonomic constraint）： 运动约束能积分成有限形式的约束。 例如约束方程 可以积分为 常数，故为完整约束。 几何约束也属完整约束。几何约束方程的一般形式为 （15-2） 几何约束及可积分的运动约束统称为完整约束。

非完整约束（Nonholonomic constraint）： 含有坐标导数的方程不能积分成有限形式的约束 本章只讨论双侧、定常的几何约束。其约束方程的一般形式为 （15-3）

15.2 虚位移与自由度 15.2.1 虚位移 质点或质点系在给定位置（或瞬时），为约束所容许的任何无限小位移，称为质点或质点系在该位置的虚位移（Virtual displacement）。 虚线位移： ， 。 虚角位移： 。 ， d 是变分（Variation）符号。 d r 表示函数 r (t) 的变分。 变分运算与微分运算相类似。 例如：x = 2 sinj ， d x = 2 cosj dj

如图所示曲柄滑块机构： 质点系的虚位移是一组虚位移，而且彼此并不独立；不同位置，质点或质点系的虚位移并不相同，虚位移必须指明给定的位置（或瞬时）。虚位移必须为约束所容许，必须是无限小的。

虚位移是人为假设的，并非真实的位移。 在系统的约束所容许的前提下，可以给定系统任意虚位移。同时虚位移又完全取决于约束的性质及其限制条件，不是虚无飘缈，也不可随心所欲地假设。 实位移取决于作用于系统上的主动力以及所经历的时间，其位移可以是无限小的，也可以是有限值，其方向是惟一的。 虚位移与主动力和时间无关，虚位移只能是无限小值，方向却可以不止一个。 在定常约束条件下，质点系在某位置所发生的微小实位移必是其虚位移中的一个（或一组）。

15.2.2 自由度 由于约束的限制，质点系内各质点的虚位移并不独立。质点系独立的虚位移（坐标或坐标变分）数目，称为质点系的自由度（Degree of freedom）。 自由质点系自由度： 一空间自由质点：（ x, y, z ) 3个自由度。 一空间自由质点系：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 3n个自由度。 一平面自由质点：（ x, y, z ) 2个自由度。 一平面自由质点系：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 2n个自由度。

非自由质点系自由度： 定常几何约束的质点系，n 个质点，受到 s 个约束 ，(3n - s )个独立坐标。 空间： 其自由度为 k =3n-s 。 平面： 其自由度为 k =2n-s 。 例如， 前述曲柄滑块机构中， 确定曲柄连杆机构位形，只须确定A、B两点在平面内的位形， A、B两点坐标 xA、yA、xB、yB 须满足三个约束方程，因此系统有一个自由度。

15.2.3 广义坐标 许多问题中，采用直角坐标确定系统的位形并不方便。 取3 n - s个独立的参数便能完全确定系统的位形，这些参数可以是长度、角度、弧长等。 能够完全确定质点系位形的独立参数，称为系统的广义坐标（Generalized coordinates）。 对于定常的几何约束系统，广义坐标的数目就等于系统的自由度数。 广义坐标以 表示。

任一瞬时系统中每一质点的矢径和直角坐标都可以表示为广义坐标的函数，即 如图15-5所示双摆。质点系由两个质点组成，受到两个几何约束，广义坐标数（或自由度数）为 2 ，可以选取角j 1和 j 2作为广义坐标， j 1和 j 2相互独立。

15.3 虚位移原理 15.3.1 虚功（Virtual work） 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功。设作用于质点上的力F，质点的虚位移为d r ，则力F在虚位移 d r上的虚功为 （15-10） 虚功只有元功的形式，其计算同力在真实小位移上所做的元功。 15.3.2 理想约束 若约束反力在质点系的任一组虚位移上所作虚功之和等于零，则称此约束为理想约束（Ideal constraint）。 （15-11） 理想约束条件：

15.3.3 虚位移原理 具有双侧、定常、理想约束的静止质点系，其继续保持静止的充分与必要条件是：所有主动力在质点系任何虚位移上的虚功之和等于零。 （15-12） （15-13） 虚功方程（Equation of virtual work），虚功方程又称为静力学普遍方程。虚位移原理是虚功原理之一。

必要性证明： 系统处于静止状态，则系统内每个质点必须处于静止。系统内任一质点的主动力 Fi 和约束反力 FNi 应满足平衡条件 给系统一组虚位移 d ri（i = 1, 2, …, n），每个质点上作用力虚功之和等于零。 理想约束 故

充分性证明： 反证法。设在 条件下，系统不平衡，则有些质点（至少一个）必进入运动状态。质点系原来处于静止，一旦进入运动状态，其动能必然增加，即在实位移 d r 中， 。 对于定常双面约束，可取微小实位移作为虚位移，即 理想约束 矛盾

15.4 虚位移原理的应用 求解的问题： （1）求平衡时主动力之间的关系； （2）确定系统的平衡位置； （3）求静定结构的约束反力。 一般步骤： （1）以整个系统为对象，分析主动力。 （2）分析系统的自由度，给出虚位移，作虚位移图，求虚位移间的关系。 （3）列虚功方程求解。

15.2.4 虚位移分析 15.2.4.1 几何法 应用几何学或运动学的方法求各点虚位移间的关系。首先根据系统的约束条件，确定自由度，给定虚位移，画出虚位移图，然后应用运动学的方法求有关点虚位移间的关系。 质点的无限小位移与该点的速度成正比，即dr = v dt。 两质点无限小位移大小之比等于两点速度大小之比。 两质点虚位移大小之比等于对应点虚速度大小之比。 可以应用运动学中的速度分析方法（如瞬心法、速度投影法、速度合成定理等）去建立虚位移间的关系。

如图式系统中，连杆AB作平面运动，其瞬心为P，A、B两点虚位移大小之比为 15.2.4.2 解析法 通过变分运算建立虚位移间的关系。一般情况下，将质点系中各质点的矢径或直角坐标先表示为广义坐标的函数，再通过一阶变分，可得

称为广义虚位移（Generalized virtual displacement）

[例] 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l ) 解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。 1、几何法

2、解析法 将C、A、B点的坐标表示成 广义坐标 的函数，得 对广义坐标  求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：

例1 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。

1、几何法：使A发生虚位移 ，B的虚位移 ，则由虚位移原理： 得虚功方程： 由 ，得

2、解析法 由于系统为单自由度， 可取为广义坐标。 得虚功方程： 由 ，得

例 图示机构中，曲柄OA上作用有力偶M，滑块D上作用水平力F，机构处于平衡。设曲柄长OA = r，q角已知，不计摩擦，试求 F 与 M 间的关系。 （2）系统具有一个自由度，即有一个独立的虚位移。取杆OA虚转角 dj 为独立虚位移。A、B、D 点的虚位移如图。根据虚速度法，则有

（3）根据虚功方程 得

例15 如图所示机构中，杆AB与BC的长度均为l，B点挂有重为G的重物，D、E两点用弹簧连接，BD = BE =b。已知弹簧原长为l0，刚度系数为k，不计各杆自重，试求机构的平衡位置（以 q 表示）。 E、D两点的弹性力的大小为 （2）机构有一个自由度，取 q 角为广义坐标。

以xED表示E、D两点间的相对坐标，应用解析法求虚位移。对如图15-8所示Axy坐标系 变分 （3）根据虚功方程 得

例 图示多跨静定。求在荷载F1、F2作用下，支座D的约束反力。已知F1 = 10 kN，F2 = 20 kN，图中的长度单位为m。 解:梁的自由度数等于零，不存在任何为约束所允许的位移。为了用虚位移原理求解支座 D 的约束反力，将支座 D 解除，代之以约束反力 FND ，得到具有一个自由度的系统。取 B 点的竖向位移作广义坐标，给 B 点以虚位移d rB。

由几何条件不难将各主动力作用点的虚位移表示为广义坐标变分的函数： （3）根据虚功方程 得

例 在如图所示的结构中，已知： ， ， 。试求固定端的反力偶和支座C的反力。

解：本题结构为静定结构，其自由度为零。欲求某处反力时，可解除该处约束，代以相应的未知力，并视其为主动力计算虚功，仍由虚位移原理求解。 （1）求固定端A的反力偶。将固定端A的转动约束解除，而代之以反力偶，此时系统具有一个自由度，杆AB作定轴转动，杆BC作平面运动。给杆AB以虚转角 dj ，则

（2）求反力 FC 。将可动铰支座 C 去掉，代以约束反力FC 。AB 部分仍为静定结构，杆 BC 只能绕 B 铰作定轴转动。 给 BC 杆虚转角dj，[见图15-10（c）]

FC = 14 / 4 =3.5kN 讨论： 若欲求固定端的水平及竖向反力，分别解除其水平及竖向约束，将固定端以定向支座代替（见图15-11）。

例15-5 如图15-12所示桁架中，AB = BC = AC = l，AD = DC = l / ，节点 D 作用有铅垂力 F。试求杆 BD 的受力。 解： 本题求静定桁架杆的内力，可将该桁架杆切断，并代以内力FN 、 ，并视其为主动力，则应用虚位移原理可以求解。 （1）研究整个桁架。切断杆BD后，系统受力为F、FN 和 。 （2）由于切断杆BD后，系统有一个自由度。取角q 为广义坐标。

（3）根据虚功方程 得

在静平衡位置，如图15-12（b）所示的几何关系

15.5 广义坐标形式的虚位移原理 15.5.1 广义坐标形式的虚位移原理 代入虚功方程 交换式中i，j的求和顺序 （15-14）

令 （15-15） 式（15-15）称为广义坐标形式的虚位移原理。 其中，Qj 称为对应广义坐标 qj 的广义力（Generalized force）。 当 d qj 是长度单位时，则 Qj 为力的单位；当 d qj 是角度单位时，则 Qj 为力矩的单位。 对于完整系统，各个广义坐标的变分独立，故 （15-16） 式（15-16）广义坐标形式的平衡方程

结论：具有双面、定常、理想约束的质点系，平衡的必要和充分条件是：在给定的平衡位置上，系统的所有广义力都等于零。 15.5.2 广义力的计算 （1）按定义计算： （2）虚功法。完整系统，广义力的虚功之和

d q1，d q2，··· ，d qk，彼此相互独立，因此欲求某个广义力 Qj ，可以取一组特殊的广义虚位移，为此，令 d qj ≠ 0，而令其余 d ql = 0 (l ≠ j)。 （15-19） （3）势能法。若作用于系统的主动力都是有势力，系统的势能函数可表示为

任一质点 Mi 的有势力在直角坐标上的投影 （15-21） 对于保守系统，对应于每个广义坐标的广义力等于势能函数对该坐标的偏导数并冠以负号。

例 如图所示系统中，杆 OA 和 AB 长度均为 l，不计自重，在杆件所在平面内作用有铅垂力FA，FB及水平力 F，系统处于平衡。求平衡位置时的 q1 和 q2。

1．用解析法求解 写各力作用点坐标，并对广义坐标求偏导数

2．用几何法求解。 令d q1≠ 0 ， d q2＝ 0，系统的虚位移如图,各力作用点的虚位移 主动力的虚功之和

令d q2≠ 0 ， d q1＝ 0 ，系统的虚位移如图所示。 主动力的虚功之和

3．用势能法求解。 本题中的FA，FB及F均为常力，可看成有势力。 以x 轴为 FA，FB 的势能基准点，以 y  轴为F 的势能基准点

例 已知：如图所示为滑轮系统，设A、B、C物各重为2P、P、W，不计轮重。 求：使系统平衡时，重物C的重量及重物A与水平面间的滑动磨擦系数。 解： 此系统具有二个自由度，可取角xA 和 xB为广义坐标。现应用广义坐标形式的虚位移原理求解。

用几何法求解 令d xA≠ 0 ， d yB＝ 0 此时 广义力 令d xA ＝ 0 ， d yB ≠ 0 此时 广义力 令 Q1= 0 ， Q2= 0 解得

应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点： 1、正确选取研究对象： 以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。 若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。

2、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。 3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。 4、应用虚位移原理建立方程。 5、解虚功方程求出未知数。

　　例　求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力。 求：

解：解除A处约束，代之 ，给虚位移，如图（b） 代入虚功方程，得

　　例　图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅直向上的力Ｆ，　　　　　　　　　　　　 求：支座Ｂ的水平约束力。

　　解:解除B端水平约束,以力 代替,如图 (b) 带入虚功方程

例 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F1与F2的大小关系。 解：应用解析法，如图（a），设OD = l： ； ； 应用虚位移原理：