第五章 离散时间系统的时域分析 5.1 离散序列与基本运算 5.2 LTI离散时间系统的数学模型及其求解方法 第五章 离散时间系统的时域分析 5.1 离散序列与基本运算 5.2 LTI离散时间系统的数学模型及其求解方法 5.3 离散时间系统的零输入响应 5.4 离散时间系统的零状态响应 5.5 离散序列卷积(和) 5.6 离散时间系统的完全响应与系统特性

5.1 离散序列与基本运算 5.1.1 离散时间信号——序列的描述 5.1.1 离散时间信号——序列的描述 离散信号可以从模拟信号中采样得到，样值用f(n)表示（表示在离散时间点nT上的样值）。 也可以由离散信号或由系统内部产生，在处理过程中只要知道样值的先后顺序即可，所以可以用序列来表示离散的时间信号， 它们的一般项为f(n)。  f={f(n)} -∞<n<∞  ={…, f(-2), f(-1), f(0), f(1)， f(2), …} (5.1-1)  为简便起见， 常用一般项f(n)表示序列，称为序列f(n)。

例5.1-1 解 小箭头表示n=0时所对应的样值。

图 5.1-1 例5.1-1的波形

5.1.2 常用典型序列 1. 单位脉冲序列 单位脉冲序列也称单位样值序列，用δ(n)表示，定义为 (5.1-2) 单位脉冲序列δ(n)如图5.1-2所示。

图 5.1-2 单位脉冲序列

δ(n)=u(n)-u(n-1) 2. 单位阶跃序列 单位阶跃序列用u(n)表示，定义为 (5.1-3) (5.1-4) 亦可用u(n)表示δ(n)，即 δ(n)=u(n)-u(n-1) (5.1-5)

图5.1-3 单位阶跃序列

3. 单位矩形序列 单位矩形序列用RN(n)表示，定义为 亦可用δ(n)、u(n)表示RN(n)， 即

图 5.1-4 单位矩形序列

图 5.1-5 斜变序列

4. 斜变序列 斜变序列是包络为线性变化的序列，表示式为 如图5.1-5所示。

5. 实指数序列 图 5.1-6 实指数序列的四种波形

x(n)=xa(nT)=sinnω0T=sinnθ0 6. 正弦型序列 正弦型序列是包络为正、余弦变化的序列。  如sinnθ0, cosnθ0，若θ0=π/5， ，即每10点重复一次正、余弦变化，如图5.1-7所示。 正弦型序列一般表示为 x(n)=A cos(nθ0+φn) 对模拟正弦型信号采样可以得到正弦型序列。 如 xa(t)=sinω0t x(n)=xa(nT)=sinnω0T=sinnθ0

其中, θ0=ω0T是数字域频率，T为采样周期。  数字域频率相当于模拟域频率对采样频率取归一化值， 即

7. 复指数序列 其中，|x(n)|=eσn, arg∠x(n)=nθ0。

*8. 周期序列 则 为周期序列，周期为N点。 对模拟周期信号采样得到的序列，未必是周期序列。例如模拟正弦型采样信号一般表示为 式中， fs为采样频率，f0为模拟周期信号频率。

可由以下条件判断x(n)是否为周期序列： (1） N为整数，则x(n)是周期序列，周期为N。  例如sinnθ0，若θ0=π/5， 如图5.1-7所示。 (2） L、N为整数，则x(n)是周期序列，周期为N=SL。例如sinnθ0，若θ0=8π/3，N=3，如图5.1-8所示。  (3） 为无理数，则x(n)=A cos(nθ0+φn)不是周期序列。 例如sinnθ0，若θ0=1/4，2π/θ0=π/2为无理数，将n=0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , …分别代入sinnθ0，得到［ 0 0.2474 0.47943 0.68164 0.84147 0.94898 …］, 是非周期序列。↑

图5.1-7 正弦型序列

图 5.1-8 sin(8nπ/3)

9. 任意序列 单位取样脉冲表示为 任意序列可以用单位取样脉冲序列的加权和表示为 (5.1-6) 式中, …、x(-1) , x(0) , x(1)、…为加权系数。

10. 序列的能量 (5.1-7)

5.1.3序列的运算 1. 相加 z(n)=x(n)+y(n) (5.1-8)  z(n)是两个序列x(n)、y(n)对应项相加形成的序列。  2. 相乘 z(n)=x(n)·y(n) (5.1-9) z(n)是两个序列x(n)、y(n)对应项相乘形成的序列。  标量相乘  z(n)=ax(n) (5.1-10) z(n)是x(n)每项乘以常数a形成的序列。 

3. 时移（时延、 移序、 移位、 位移） m>0 {z(n)}={x(n-m)} (5.1-11) z(n)是原序列{x(n)}每项右移m位形成的序列。  {z(n)}={x(n+m)} (5.1-12) z(n)是原序列{x(n)}每项左移m位形成的序列。  如图5.1-9所示x(n)、x(n-1)、x(n+1)。

图 5.1-9 序列的移序

y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2)=［0.5 1.5 2 -2］ 例5.1-2 已知x(n)=［0.5 1.5 1 -0.5］， 求y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2) ↑ 解 x(n-2)=［ 0 0.5 1.5 1 -0.5］ ↑ y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2)=［0.5 1.5 2 -2］

4. 折叠及其位移 {y(n)}={x(-n)} (5.1-13) 是以纵轴为对称轴翻转180°形成的序列。  折叠位移序列 {z(n)}={x(-n±m)} (5.1-14) z(n)是由{x(-n)}向右或向左移m位形成的序列。  折叠序列与折叠位移序列如图5.1-10所示。

图 5.1-10 序列的折叠位移

5. 尺度变换 y(n)=x(mn)，这是x(n)序列每隔m点取一点形成的，即时间轴n压缩了m倍。例如m=2时， 如图5.1-11所示。 图 5.1-11 序列的压缩

y(n)=x(n/m)，这是x(n)序列每一点加m-1个零值点形成的， 即时间轴n扩展了m倍。例如m=2时，如图5.1-12所示。 图 5.1-12 序列的扩展

5.2 LTI离散时间系统的数学模型及其求解方法 离散时间系统的作用是将输入序列转变为输出序列，系统的功能是完成将输入x(n)转变为输出y(n)的运算，记为 y(n)=T［x(n)］ （5.2-1） 离散时间系统的作用如图5.2-1所示。

图 5.2-1 离散时间系统的作用示意图

5.2.1 LTI离散系统 图 5.2-2 系统的线性

图 5.2-3 系统的非时变性

例5.2-1 判断下列系统是否为线性系统。 (1) y(n)=T［x(n)］=ax(n)+b； (2) 解 (1)  T［x1(n)］=ax1(n)+b=y1(n)  T［x2(n)］=ax2(n)+b=y2(n)  T［ x1(n) +x2(n)］=a［x1(n)+x2(n)］+b =ax1(n)+ax2(n)+b ≠y1(n)+y2(n) 所以是非线性系统。

(2) 所以是线性系统。

例5.2-2 判断下列系统是否为线性非时变系统。 (1) y(n)=T［x(n)］=ax(n)+b；  (2) y(n)=T［x(n)］=nx(n)。  解 (1) T［x(n-n0)］=ax(n-n0)+b=y(n-n0)，是非时变系统；  (2) T［x(n-n0)］=nx(n-n0)≠y(n-n0)=(n-n0)y(n-n0)，是时变系统。

5.2.2 LTI离散系统的数学模型——差分方程  LTI离散系统的基本运算有延时（移序）、乘法、 加法， 基本运算可以由基本运算单元实现， 由基本运算单元可以构成LTI离散系统。  1. LTI离散系统基本运算单元的框图及流图表示 (1) 延时器的框图及流图如图5.2-4所示。 图 5.2-4 延时器框图及流图表示

(2) 加法器的框图及流图如图5.2-5所示。 图 5.2-5 延时器框图及流图表示

(3) 乘法器的框图及流图如图5.2-6所示。 图 5.2-6 乘法器框图及流图表示

2. LTI离散系统的差分方程 线性时不变连续系统是由常系数微分方程描述的， 而线性时不变离散系统是由常系数差分方程描述的。在差分方程中构成方程的各项包含有未知离散变量的y(n)，以及y(n+1),y(n+2), …, y(n-1), y(n-2), …。 下面举例说明系统差分方程的建立。 例5.2-3系统方框如图5.2-7所示, 写出其差分方程。 解 y(n)=ay(n-1)+x(n) 或 y(n)-ay(n-1)=x(n) (5.2-2)  

式(5.2-2)左边由未知序列y(n)及其移位序列y(n-1)构成， 因为仅差一个移位序列， 所以是一阶差分方程。若还包括未知序列的移位项y(n-2), …, y(n-N), 则构成N阶差分方程。  未知(待求)序列变量序号最高与最低值之差是差分方程阶数； 各未知序列序号以递减方式给出y(n)、y(n-1)、y(n-2)、…:、y(n-N)，称为后向形式差分方程。一般因果系统用后向形式比较方便。 各未知序列序号以递增方式给出y(n)、y(n+1)、y(n+2)、…、 y(n+N)，称为前向形式差分方程。在状态变量分析中习惯用前向形式。

图 5.2-7 例5.2-3离散时间系统

例5.2-4 系统方框如图5.2-8所示, 写出其差分方程。 解 或 (5.2-3) 这是一阶前向差分方程， 与后向差分方程形式相比较，仅是输出信号的输出端不同。前者是从延时器的输入端取出，后者是从延时器的输出端取出。  当系统的阶数不高，并且激励不复杂时，用迭代（递推）法我们可以求解差分方程。

图 5.2-8 例5.2-离散时间系统

例5.2-5 已知y(n)=ay(n-1)+x(n)，且y(n)=0，n<0，x(n)=δ(n)， 最后

3. 数学模型的建立及求解方法 例5.2-6 电路如图5.2-9所示，已知边界条件v(0)=E，v(N)=0， 求第n个节点电压v(n)的差分方程。  解 与任意节点v(n-1)关联的电路如图5.2-10 所示，由此对任意节点v(n-1)可写出节点方程为 整理得到  v(n-2)=3v(n-1)-v(n) v(n)-3v(n-1)+v(n-2)=0 或 v(n+2)-3v(n+1)+v(n)=0

N阶LTI离散系统的数学模型是常系数N阶线性差分方程，它的一般形式是 或 (5.2-4)

图5.2-9 例5.2-6离散时间系统

图5.2-10 例5.2-6任意节点电路

5.2.3 线性差分方程的求解方法 一般差分方程的求解方法有下列四种： (1) 递推(迭代）法 此法直观简便， 但往往不易得到一般项的解析式(闭式或封闭解答)， 它一般为数值解， 如例5.2-5。 (2) 时域法 与连续系统的时域法相同，分别求解离散系统的零输入响应与零状态响应，完全响应为二者之和。 其中零输入响应是齐次差分方程的解，零状态响应可由卷积的方法求得， 这也是本章的重点。 

(3) 时域经典法 与微分方程求解相同，分别求差分方程的通解(齐次解)与特解， 二者之和为完全解，再代入边界条件后确定完全解的待定系数。  (4) 变域法 与连续系统中用拉氏变换相似，离散系统可利用Z变换求解响应，优点是可简化求解过程。

5.3 离散时间系统的零输入响应 y(n)-ay(n-1)=0 5.3.1 一阶线性时不变离散系统的零输入响应 5.3.1 一阶线性时不变离散系统的零输入响应 一阶线性时不变离散系统的齐次差分方程的一般形式为 （5.3-1） 将差分方程改写为 y(n)-ay(n-1)=0

用递推(迭代)法，y(n)仅与前一时刻y(n-1)有关，以y(0)为起点: （5.3-2）

由式（5.3-2）可见，y(n)是一个公比为a的几何级数，其中C取决于初始条件y(0)，这是式（5.3-1）一阶系统的零输入响应。 利用递推(迭代)法的结果，我们可以直接写出一阶差分方程解的一般形式。因为一阶差分方程的特征方程为 α-a=0 （5.3-3） 由特征方程解出其特征根 α=a 与齐次微分方程相似，得到特征根a后，就得到一阶差分方程齐次解的一般模式为C(a)n，其中C由初始条件y(0)决定。

5.3.2 N阶线性时不变离散系统的零输入响应 有了一阶齐次差分方程解的一般方法， 将其推广至N阶齐次差分方程， 我们有 （5.3-4） N阶齐次差分方程的特征方程 （5.3-5）

(1) 当特征根均为单根时，特征方程可以分解为 （5.3-6） 利用一阶齐次差分方程解的一般形式， 可类推得

N阶线性齐次差分方程的解是这N个线性无关解的线性组合，即 （5.3-7） 式中，C1、C2、…、Cn由y(0)、y(1)、…、y(N-1)N个边界条件确定。 （5.3-8）

写为矩阵形式 (5.3-9) 即 (5.3-10) 其系数解为 (5.3-11)

(2) 当特征方程中α1是m阶重根时，其特征方程为 （5.3-12） 式中, (α-α1)m对应的解为(C1+C2n+…+Cmnm-1)α1n，此时零输入解的模式为 （5.3-13） 式中, C1、C2、…、CN由y(0)、y(1)、 …、 y(N-1) N个边界条件确定。

例5.3-1 已知某离散系统的差分方程 y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=0 且y(0)=0，y(1)=-2，y(2)=2，求零输入响应y(n)。  解 这是三阶差分方程，其特征方程为 α3+6α2+12α+8=0 (α+2)3=0，α=-2是三重根，y(n)的模式为 y(n)=(C1+C2n+C3n2)(-2)n

代入边界条件 整理: 解出 最后得到

(3) 特征方程有复根 与连续时间系统类似，对实系数的特征方程，若有复根必为共轭成对出现，形成振荡(增、减、 等幅)序列。一般共轭复根既可当单根处理， 最后整理成实序列， 亦可看作整体因子。 因为 所以解的一般形式为 （5.3-14） 代入初始条件可以计算系数A、B。

y(n)-2y(n-1)+2y(n-2)-2y(n-3)+y(n-4)=0 例5.3-2 已知某系统差分方程 y(n)-2y(n-1)+2y(n-2)-2y(n-3)+y(n-4)=0 且y(1)=1，y(2)=0，y(3)=1，y(5)=1，求y(n)。  解 这是四阶差分方程，其特征方程为 α4-2α3+2α2-2α+1=0 (α-1)2(α+1)2=0 特征根 α1=1 (二阶)， α3=j， α4=-j

y(n)=(C1+C2n)(1)n+C3jn+C4(-j)n 方法一： y(n)=(C1+C2n)(1)n+C3jn+C4(-j)n 代入边界条件 y(1)=C1+C2+jC3-jC4=1 (A) y(2)=C1+2C2-C3-C4=0 (B) y(3)=C1+3C2-jC3+jC4=1 (C) y(5)=C1+5C2+jC3-jC4=1 (D) 由式(A)-式(D)得 -4C2=0, C2=0 由式(A)+式(C)得 2C1=2, C1=1

代入式(C)，得C3=C4。由式(B)解出

方法二： (A′) (B′) (C′) (D′)

2B=0, B=0 由式(D′)-式(A′)得 由式(D′)-式(C′)得 分别代入式(A′)、 式(B′)， 解出C1=1, A=1，则 由此例可见，N阶差分方程的N个边界条件可以不顺序给出。

5.4 离散时间系统的零状态响应 5.4.1 离散系统的转移（传输）算子 5.4 离散时间系统的零状态响应 5.4.1 离散系统的转移（传输）算子 类似连续时间系统的微分算子，离散系统也可用移序算子表示。 由此可得到差分方程的移序算子方程，由算子方程的基本形式可得出对应的转移算子H(E)。  移序（离散）算子定义： (1) 超前算子E  f(n+1)=Ef(n)  f(n+m)=Emf(n) (5.4-1)

(2) 滞后算子 （5.4-2） 于是有

y(n+N)+aN-1y(n+N-1)+…+a1y(n-1)+a0y(n)  或 N阶前向差分方程的一般形式为 y(n+N)+aN-1y(n+N-1)+…+a1y(n-1)+a0y(n)  =bMx(n+M)+bM-1x(n+M-1)+…+b1x(n+1)+b0x(n)

用算子表示 可以改写为 （5.4-4） 定义转移（传输）算子 （5.4-5）

图 5.4-1 简单非因果离散时间系统

5.4.2 单位脉冲响应h(n) 1. 迭代法 例5.4-1 已知某系统的差分方程为 利用迭代法求h(n)。

解 一般项：

当系统的阶数较高时，用迭代法不容易得到h(n)的一般项表示式，可以把δ(n)等效为起始条件，将问题转化为求解齐次方程(零输入)的解。 这种方法称为转移（传输）算子法。

2. 转移算子法 已知N阶系统的传输算子为 设H(E)的分母多项式D(E)均为单根，即

将H(E)部分分式展开， 有 （5.4-6） 则 （5.4-7） 式（5.4-7）中任一子系统的传输算子为  （5.4-8）

hi(0)-αihi(-1)=Aiδ(-1)=0 由此得到任一子系统差分方程，并对其中任一子系统的传输算子求hi(n) （5.4-9） （5.4-10） 将式（5.4-10）的激励等效为初始条件，把问题转化为求解齐次方程(零输入)的解。由于因果系统的hi(-1)=0，令n=-1, 代入式（5.4-10）, 得 hi(0)-αihi(-1)=Aiδ(-1)=0 解出h(0)=0。

hi(1)-αihi(0)=Aiδ(n)=1 再令n=0，代入式（5.4-10)得 解出hi(1)=Ai，即为等效的初始条件。 因为齐次方程解的形式为 ，代入等效边界条件hi(1)=Cαi=Ai，解出 ，由此得出hi(n)的一般形式为 （5.4-11）

代入式（5.4-7），h(n)的一般形式为 （5.4-12） 若将H(E)展开为 （5.4-13） （5.4-14）

对应的hi(n)为 将式（5.4-12）代入上式， 代入式（5.4-7），h(n)的一般形式为 (5.4-15)

(E2-5E+6)y(n)=(E2-3)x(n) 例5.4-2 已知某系统的差分方程为 例5.4-2 已知某系统的差分方程为 y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=x(n)-3x(n-2) 求系统的脉冲响应h(n)。 解 方程同时移序2个位序 (E2-5E+6)y(n)=(E2-3)x(n)

表5-1 H(E)对应的h(n)

5.4.3 零状态响应 已知任意离散信号可表示为 ，并且δ(n)→h(n)，那么与连续时间系统的时域分析法相同，基于离散LTI系统的线性与时不变特性， 可以用时域方法求解系统的零状态响应。因为 δ(n)→h(n)  由时不变性  δ(n-m)→h(n-m)  由比例性 x(m)δ(n-m)→x(m)h(n-m)

yzs(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n) 最后由叠加性  （5.4-16） 式（5.4-16）是离散序列卷积公式。 因为离散序列卷积是求和运算，所以又称其为卷积和，也有称其为卷和的。  利用变量代换， 卷积的另一种形式为 （5.4-17） 离散序列的卷积公式简写为 yzs(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n) （5.4-18）

5.5 离散序列卷积（和） 离散序列卷积的一般表达形式为 （5.5-1） 若令f1(n)=x(n)，f2(n)=h(n)，正是求解零状态响应的式（5.4-16）。 离散序列的卷积与连续信号的卷积有平行相似的性质与运算关系， 这里我们不加证明地给出结论。

5.5.1 卷积的性质 (1) 当f1(n)、f2(n)、f3(n)分别满足可和条件，卷积具有以下代数性质： 交换律 （5.5-2） 5.5.1 卷积的性质 (1) 当f1(n)、f2(n)、f3(n)分别满足可和条件，卷积具有以下代数性质： 交换律 （5.5-2） 分配律 （5.5-3）

δ(n)*f(n)=f(n) δ(n-m)*f(n)=f(n-m) 结合律 （5.5-4） (2) 任意序列与δ(n)卷积 （5.5-5） （5.5-6）

(3) 任意序列与u(n)卷积 （5.5-7） (4) 卷积的移序 （5.5-8） （5.5-9）

5.5.2 卷积的运算 离散序列卷积计算的基本方法有图解法， 其步骤与连续信号的卷积相似， 可以分为：两个序列变量置换, 任选其中一个序列折叠位移, 两个序列相乘, 对相乘后的非零值序列求和这四步计算。 例5.5-1 已知x(n)=RN(n)，h(n)=anu(n)，求yzs(n)，其中, 0<a<1。 解 让h(n)折叠位移， 则

当n<0时， yzs(n)=0 当0≤n<N-1时， 当n≥N-1时，

图 5.5-1 例5.5-1求解过程与结果

例5.5-2 已知x(n)=［ 1 2 3］，h(n)=［ 3 2 1］, 求y(n)。  ↑ ↑ 解 将两个序列的样值分成两行排列，逐位竖式相乘得到（三行）： x(n) 1 2 3 h(n) 3 2 1 6 9 2 4 6 1 2 3 y(n) 3 8 14 8 3

按从左到右的顺序逐项将竖式相乘的乘积对位相加，结果是y(n)。 也可以 x(n) 1 2 3 h(n) 3 2 1 1 2 3 2 4 6 3 6 9 y(n) 3 8 14 8 3

也可用MATLAB计算x(n)与h(n)的卷积。计算例5.5-2卷积的MATLAB程序与结果为 conv(x,h)% 卷积计算 ans = 3 8 14 8 3

表5-2 卷积和

5.6 离散时间系统的完全响应与系统特性 5.6.1 系统完全响应的时域求解方法 5.6.1 系统完全响应的时域求解方法 由前面的分析可知离散时间系统的全响应y(n)可分为零输入响应与零状态响应， 即 (5.6-1)

例5.6-1已知系统的差分方程y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n), 边界条件y(-1)=0，求系统的全响应。  系统的转移算子为 单位脉冲响应 y(n)=0.9nu(n) 响应为 yzs(n)=(0.9)nu(n)*0.05u(n)  查表5-2的第3条，可得 n≥0

y(n)=yzs(n) +yzi(n)=0.5+0.45(0.9)n n≥0 例5.6-2 已知系统的差分方程y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n), 边界条件y(-1)=1，求系统的全响应。  解 此题与上题除边界条件不同外，其余都相同，可分别求其零状态与零输入响应。 零状态响应方程与解同上题 y(n)=0.5-0.45(0.9)n n≥0 由yzi(n)-0.9yzi(n-1)=0，得零输入响应的一般表示 yzi(n)=C(0.9)n 代入初始条件 yzi(-1)=C(0.9)-1=1 解出C=0.9，则 yzi(n)=0.9(0.9)n 全响应  y(n)=yzs(n) +yzi(n)=0.5+0.45(0.9)n n≥0

yp(n)=D0+D1n+D2n2+…+Dknk 5.6.2 用经典法求解完全响应 这是与微分方程经典法类似的解法，即先求齐次解(通解)yc(n)，然后求特解。 特解形式与激励模式一样，完全解的形式确定后， 再利用边界条件求任意常数。  一般N阶差分方程应给出N个边界条件以确定N个任意常数C1、C2、 …、CN。当考虑特征方程无重根情况时，差分方程的通解为 (5.6-2) 差分方程的特解yp(n)由x(n)的形式确定，常见特解形式有 (1) 激励为多项式序列x(n)=nk时，则特解形式亦为多项式 yp(n)=D0+D1n+D2n2+…+Dknk (5.6-3)

yp(n)=Dan (5.6-4) (2) 激励为指数序列x(n)=an时, 则特解形式亦为指数序列 最后, 差分方程的完全解 (5.6-5) 引入边界条件 (5.6-6)

上式可简化为 (5.6-8) 式中，k为边界条件的序位。 借助范德蒙特逆阵可求得C矩阵的一般表示形式 (5.6-9) 则N阶差分方程的全响应为 (5.6-10) 其中, Ci由式(5.6-9)所确定。

同理可推得特征方程有一m阶重根时，差分方程的通解为 (5.6-11) 则完全解为 (5.6-12)

例5.6-3 y(n)-2y(n-1)=4，y(0)=0，用经典法求y(n)。  解 (1) 齐次解 (E-2)y(n)=0, yc(n)=C2n (2) 特解yp(n)=A，代入原方程得 A-2A=4, A=-4 (3) 完全解 y(n)=C2n-4 代入边界条件 y(0)=C20-4=0, C=4 y(n)=4(2n-1) n≥0

例 5.6-4 已知y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1), 其中，x(n)=n2, y(-1)=-1, 用经典法求y(n)。  解 齐次解 (E+2)y(n)=0 特征方程为E+2=0，通解为yc=C(-2)n。 特解x(n)=n2，由x(n)-x(n-1)=n2-(n-1)2=2n-1，特解形式为D1n+D2，其中D1、D2为待定系数。 代入原差分方程 D1n+D2 +2［D1(n-1)+D2］=2n-1 整理得 3D1n+3D2-2D1=2n-1

比较同次项系数 完全解 代入边界条件

y(k)=yzi(k)+yzs(k) 5.6.3 系统完全响应分解 5.6.3 系统完全响应分解 与连续系统相同，完全响应可按不同的分解方式， 分解为零状态响应、零输入响应、自由响应、 强迫响应、 瞬态响应、 稳态响应。  若完全响应分解为零状态响应，零输入响应，由所给定的边界值可分为零输入边界yzi(k), 零状态边界yzs(k)两部分。 y(k)=yzi(k)+yzs(k) (5.6-13) 在零输入情况下，yp(k)=0, 所以 (5.6-14)

在零状态情况下 而系数 从而有: 自然响应 强迫响应

同样，完全响应中不随n增长而消失的分量为稳态响应，随n增长而消失的分量为瞬态响应。  要指出的是以上分析中边界条件可不按序号0 、1、 2、…、 N-1给出，只要是N阶方程有N个边界条件即可。n=n0时接入激励， 对因果系统零状态是指 y(n0-1)=y(n0-2)=….=y(n0-N)=0 特别地, 若n0=0，则 y(-1)=y(-2)=…=y(-N)=0 系统的全响应边界条件中一般包含两部分，一部分为系统零输入时的边界条件，另一部分为系统零状态时的边界条件。应根据给定的情况正确判断所给定的边界条件。

例5. 6-5 已知系统的差分方程y(n)-0. 9y(n-1)=0 例5.6-5 已知系统的差分方程y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n), 边界条件y(-1)=1，用经典法求系统的完全响应， 并指出各响应分量。 解 齐次解 yc(n)=C(0.9)n n≥0  特解 yp(n)=D, n≥0 代入原方程 D-0.9D=0.05, D=0.5 完全解为 y(n)=C(0.9)n+0.5

再解出完全边界条件。由y(0)-0.9y(-1)=0.05，解得y(0)=0.95， 代入完全解 y(0)=0.5+C=0.95, C=0.45 所以完全解为 y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n) 其中0.45(0.9)n为自由响应，瞬态响应；0.5u(n)为强迫响应，稳态响应。  此题与例5.6-2相同，所以 yzs(n)=［0.5-0.45(0.9)n］u(n) yzi(n)=0.9(0.9)n

5.6.4 系统特性 单位脉冲响应h(n)表征了系统本身的性能，所以在时域分析中，由系统的单位脉冲响应h(n)，可判断离散时间系统的因果稳定性。  具有因果性的系统，其输出是激励的结果，激励是响应的原因。由于输出变化发生在输入变化之后， 因此y(n)只取决于此时及以前的激励x(n)、x(n+1)、… 离散LTI系统具有因果性的充分必要条件为 h(n)=0 n<0 （5.6-17） 或 h(n)=h(n)u(n) （5.6-18）

与连续系统相同，具有BIBO稳定性的离散系统是输入信号有界输出必为有界的系统。离散LTI系统稳定的充分必要条件为单位脉冲响应满足绝对可和，即 （5.6-19） 由因果、稳定系统的条件，离散LTI系统同时具有因果稳定性的充分必要条件为 （5.6-20）

|a|≥1 例5.6-6 已知单位脉冲响应h(n)=anu(n)，判断系统的因果稳定性。  解 因为n<0时，h(n)=0, 所以是因果系统；且有 |a|≥1 由于|a|<1时系统稳定，因此|a|≥1时为不稳定系统。