射影幾何於攝影測量上之應用 Projective Geometry in Photogrammetry 學生：鄭傑文 指導教授：趙鍵哲

報告大綱 前言 方法介紹與流程 實際資料實驗測試分析 結論與建議 參考文獻 射影幾何法於空間後方交會及前方交會上之應用 實驗流程圖+方法介紹 模擬實驗成果分析 射影幾何法於核線影像重建之應用 實際資料實驗測試分析 空間後方交會及前方交會實驗 核線解算及核線影像重建 結論與建議 參考文獻

前言 齊次座標系統(Homogeneous Coordinate System)的應用。 攝影測量中的方位解算及核線幾何的相關處理。 傳統攝影測量法近似值(Approximate Parameters)提供。 設定不同的變數，探討不同變因對解算方位與核線影像重建之影響。 提供射影幾何法在攝影測量上的應用環境及條件。

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

模擬資料 模擬航攝影像對 航高與地面平均高度相差1000m，像片焦距為305mm，像片比例尺約1:3280

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

直接線性轉換模式 齊次座標系統的概念，透過射影幾何法將二維影像座標轉換至三維地面座標，定義如式2-1 (2-1) Mh矩陣為二維影像座標與三維地面座標間的轉換矩陣，其內容可以透過11個參數表示之，如式2-2 (2-2) 將2-2式中的齊次座標轉換到歐氏座標，可得一公式2-3 (2-3) L1~L11代表旋轉矩陣的各項元素，而式2-3就是現在近景測量中所熟知的直接線性轉換模式。(Mikhail et al., 2001)

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

DLT法後方交會解算 空間後方交會可以利用單像或是多像的方式，透過地面控制點與其對應的影像座標值，來計算2-3式所列的11個DLT參數值。將式2-3重新整理安排，可以得到一般常見的DLT空間後方交會觀測方程式如式2-4 (2-4) 其平差模型如式2-6 (2-6)

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

DLT法前方交會解算 空間前方交會則是透過兩張或多張影像的DLT參數值與像片上的共軛觀測點位，來前交計算出對應的地面點位座標，將式2-4重新整理，可得式2-5為一般常見的DLT空間前方交會觀測方程式。 (2-5) 平差模型如式2-7 (2-7)

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

DLT參數與傳統內外方位參數間的轉換

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

嚴密共線式解法後方交會解算 空間後方交會是透過已知的地面控制點及像片座標觀測量來計算像片的方位參數值，如果可以引入地面控制點的精度，還可以將其視為虛擬觀測量(Pseudo Observation)，併入平差解算，其觀測方程式一般定義如下。

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

嚴密共線式解法前方交會解算 空間前方交會則是經由雙片或多片影像，透過已知的像片方位參數及像片座標觀測量來前交計算對應的地面點座標，假設為雙片求解，其觀測方程式一般定義如下。

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

不同觀測量精度的影響分析

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

不同控制點精度的影響分析

射影幾何於空間後方交會及前方交會上之應用

地控點數量及分布的影響分析 模擬五組不同的地控點數量及分布情形如下

地控點數量及分布的影響分析 各組解算成果如下表3-4

不同控制點高程對DLT解算的影響分析

台灣都會地區配置對解算的影響分析 模擬了台灣地區1/6000比例尺的航攝影像對資料如表3-6，比較探討在不同的ω及φ定義下，對DLT解算方位及前交到地面檢核點會造成怎樣的影響，其中焦距定為153.594mm，內方位x0及y0設為0mm

台灣都會地區配置對解算的影響分析

射影幾何於核線影像重建之應用

模擬資料 模擬航攝影像對 航高與地面平均高度相差1000m，像片焦距為305mm，像片比例尺約1:3280

射影幾何於核線影像重建之應用

核線幾何的基本構成(1/2) 透過圖中的m及e點，可定出兩點決定的直線向量 (2-8) 利用左片的核線l來尋找右片的對應核線l’可以透過一個共線關係所定出的矩陣Ae來表示，即l = Ael’，再利用式2-8做簡化動作，可得 (2-9) 假設現在有一個點位m’在第二張相片及其共軛點m第一張相片上，則該點m必定落於核線，所以核線幾何約制可以寫成如式2-10 (2-10) 如內方位(x0, y0, f)已知，則可定 出一個含有內方位資訊的C矩陣 (2-11)

核線幾何的基本構成(2/2) 共面方程式可改寫如式2-12 (2-12) F-Matrix則可表示成式2-13 (2-13) 如內方位參數已知，則所代表的即為求E-Matrix，其表示的方式如式2-14 (2-14) 因此透過式2-12可以列出觀測方程式如下式2-15 (2-15)

Fundamental Matrix解法 F-Matrix擁有七個自由度且rank(F)=2 首先要將F-Matrix定一個固定尺度來取得滿足式2-15的成果，透過模擬實驗測試發現令F32=1時可以得到一個最好的成果，因此先定義F32=1 接著再定義det(F)=0即可求得對應的F-Matrix 先透過其線性解法取得初始值再透過附有參數的條件平差模式，並加入約制條件det(F)=0來解算即可

Essential Matrix解法 E-Matrix這個矩陣僅擁有五個自由度，因此如果只定義det(E)=0及E32=1得到的非為正確的E-Matrix，此矩陣在解算上尚須考慮另一個重要的因子，也就是其兩個非零奇異值(Non-zero Singular Value)必須相等 透過模擬實驗來驗證Huang & Faugeras(1989)、Faugeras(1993)及Nistér & Engels(2004)的解法後發現設定約制條件如式2-16可得兩個非零奇異值最相近的成果 (2-16) E-Matrix的解算又可以分成線性解法及非線性嚴密解法 非線性解法利用附有參數的條件平差模式，加入約制方程式後才能得到正確自由度為5的E-Matrix

射影幾何於核線影像重建之應用

核線影像重建 射影幾何法重建核線影像主要是參閱Hartley(1999)所介紹的方法 首先將某張影像的epipole轉換到無窮遠的位置，經由F-Matrix可以得到右片上對應的核線，透過這些核線的交點可以定義出右像的e’，之後計算一個改正旋轉矩陣R，將epipole轉到(t, 0, 1)或是(0, t, 1)的位置，也就是將e’轉至平行x軸或是平行y軸的直線上，接著再透過一轉換矩陣G將該點轉至無窮遠處，也就是轉到(t, 0, 0)或是(0, t, 0)的位置，於是就可以定義出右像的核線影像重建旋轉矩陣為H’=GR，且透過G(1,1)的定義，可以將此右片影像x座標大小取得與原始影像接近的大小。 將左片的epipole轉換到無窮遠的地帶，透過Huynh(2003)所介紹的方法可利用F-Matrix及右像的H’矩陣得到一H0矩陣將左片的e轉換到無窮遠處 乘上一個旋轉矩陣Aabc來調變其轉換後的x座標，可以得一個H矩陣使其轉換後共軛點對的x與y座標都很接近。

射影幾何於核線影像重建之應用

灰階重新取樣 計算四個角點正常化後座標 將正常化後的角點座標轉回影像座標系 定義影像範圍 影像灰階重新取樣及核線影像展現 採取雙線性內差法來存取新灰階值

射影幾何於核線影像重建之應用

射影幾何於核線影像重建之應用

射影幾何於核線影像重建之應用

射影幾何於核線影像重建之應用

像片觀測量精度對核線影像解算的影響：檢核點到對應核線差比較圖

像片觀測量精度對核線影像解算的影響：正常化y座標差值比較圖

像片觀測量數量對核線影像解算的影響：檢核點到對應核線差比較圖

像片觀測量數量對核線影像解算的影響：正常化y座標差值比較圖

實際航測資料實驗分析 採用中華顧問提供的航攝影像 兩張航照影像對的航高與地面高度約相差895m，像片焦距為153.594mm，因此像片比例尺大約為1:5830，像片像主點改正量都為0mm，原始影像大小約為11800×11800像元，換算到像片座標上假設其可以人眼像片量測可以觀測到次像元，因此像片量測精度大概為0.01mm，會造成地面誤差約為0.06m。 兩張影像外方位參數分別如下表4-1所示

地面控制點數量及分布的影響分析

像片觀測量數量對核線影像解算的影響：檢核點到對應核線差比較圖

像片觀測量數量對核線影像解算的影響：正常化y座標差值比較圖

核線影像重建成果

核線影像重建局部放大圖

結論與建議(1/2) DLT法之定位精度不及嚴密共線模式，尤其在地面控制點數量稀少或點位分佈不均勻的情況下其差異更形顯著 如要維持線性解算模式，可採用三維XY座標平移至原點附近，或是再加上像片及地面控制點座標正常化，以提升DLT解算的穩定性，避免矩陣運算求逆解算接近奇異的情形發生。 將DLT法的參數解作為嚴密共線模式的起始近似值，則對於建立不倚賴外來近似值之嚴密方位求解系統是有正面意義的，並且有助於提昇作業自動化層次。

結論與建議(2/2) 透過E-Matrix解算可提供給嚴密共面式解法當作起始值來運算 解算出來的E-Matrix非常準確，甚至透過模擬實驗可以看到E-Matrix線性+嚴密解法解出來的成果精度較傳統嚴密共面式解法精度好 此法的約制條件定義與實驗模式是可行的 可用E-Matrix法來取代傳統共面式解法，因為E-Matrix解法平差運算上較共面式簡單，尤其是觀測方程式對參數做偏微分的部份，且其直接就有線性解法可以幫助起始近似值的取得，對提升作業的自動化層次是有正面意義的。

Thanks for your Attention 參考文獻 Faugeras, O.D. & Q.T. Luong, 2001, The Geometry of Multiple Images, The MIT Press, Ch5 & Ch7, pp. 258-300 & pp.360-380. Faugeras, O.D., 1993. Three-Dimensional Computer Vision: A Geometric Viewpoint. MIT Press. ISBN: 0-262-06158-9. Hartley, R.I., 1999. Theory and Practice of Projective Rectification, International Journal of Computer Vision, Vol. 35, No. 2, pp. 115-127. Huang, T.S. & O.D. Faugeras, 1989. Some Properties of the E Matrix in Two-View Motion Estimation. IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 11, No. 12, pp.1310-1312. Huynh, D., 2003. A Short tutorial on image rectification, The University of Western Australia, from web: http://www.csse.uwa.edu.au/~du/Tutorials/rectification/ Luong, Q.T., & O.D. Faugeras, 2004. The Fundamental matrix: theory, algorithms, and stability analysis, I.N.R.I.A., 2004 route des Lucioles, B.P. 93. Mikhail, M., S. Bethel, J.C. McGlone, 2001. Introduction to Modern Photogrammetry, Ch4, Ch5 & Ch7, pp.90-93, pp.107-118 and pp.251-256. ISBN: 0-471-30924-9. Mohr, R., & B. Triggs, 1996. Projective Geometry for Image Analysis, A tutorial given by ISPRS, Vienna, Ch5, pp.30-33. Nistér, D. & C. Engels, 2004. Estimating Global Uncertainty in Epipolar Geometry for Vehicle-Mounted Cameras, Center for Visualization and Virtual Environments, University of Kentucky. Schenk, T., 1999. Digital Photogrammetry, The Ohio State University, Ch12, pp.295-307. 康明昌，1984。古希臘幾何三大問題，數學傳播，中央研究院數學研究所發行，第八卷第二期、第八卷第三期。 鄭傑文與趙鍵哲，2005。DLT於攝影測量上的應用探討，第二十四屆測量學術及應用研討會，論文集(1/2)，國立政治大學地政學系，pp. 381-388 Thanks for your Attention