1.1 等腰三角形

学习 目标 1.等腰三角形及其相关概念 。 2.等腰三角形的性质 。 3.等腰三角形的概念及性质的应用 。

创设情境

创设情境 下载图片 共同特点

等腰三角形 创设情境 你知道什么是等腰三角形吗?

如图，△ABC中,AB=AC，那么△ABC就 是等腰三角形。 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 如图，△ABC中,AB=AC，那么△ABC就 是等腰三角形。 相等的两条边AB和AC叫做腰; 另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角∠BAC叫做顶角; 底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫做底角. A B C 腰 底边 底角 顶角 只有等腰三角形才有底角和底边.

如图:在三角形ABC中，AB=AC，且AD=BD，请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰三角形？ △ABC（AB=AC），△ADB（AD=BD） 若将条件改为AB=AC ,AD=BD=BC，则有多少个等腰三角形？ A B C D △ABC（AB=AC） △ADB（AD=BD） △BDC （BD=BC）

心灵手巧 材料: 剪刀、一张矩形纸 方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折； （2）剪去阴影部分； （3）将剩余部分展开。

大胆猜测 请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形 纸片,它除了两腰相等以外,你还能发 现什么? A B C

如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,我们就说这个图形关于这条直线对称,那么这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,我们就说这个图形关于这条直线对称,那么这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴.互相重合的点是对应点,叫做对称点. 返回

猜一猜 A C B D 结论: 等腰三角形是轴对称图形； 等腰三角形性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 设问：你发现了什么现象， A B C D 猜想等腰△ABC有哪些性质？ 结论: 等腰三角形是轴对称图形； → 两个底角相等 → AD为顶角∠BAC的平分线 → AD为底边BC上的高 → AD为底边BC上的中线 角: ① ∠B = ∠C ② ∠BAD=∠CDA ③∠ADC= ∠ADB=900 边: ④BD = CD 等腰三角形性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）

作顶角的平分线 证明：等腰三角形的两个底角相等 已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 1 2 D 证明： 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC ( 已知 ), ∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

作底边中线 已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明：等腰三角形的两个底角相等 A B C 证明： 作底边中线AD. 在△BAD和△CAD中， D AB=AC ( 已知 ), BD=CD ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

作底边的高线 证明：等腰三角形的两个底角相等 已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C 证明： 作底边高线AD. D 在Rt△BAD和△RtCAD中， AB=AC ( 已知 ), AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

例1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80° ，则∠C= ___度，∠A=____度？ 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） ∵∠B=80° （已知） ∴∠C=80° 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） ∴∠A=180°－ ∠B－∠C 　∠A=20° B C A

操练1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠ A=50° ，则∠B=——度，∠C=——度？ 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角）又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） 　∠A=50° （已知） ∴∠B=65° ∠C=65° C B A

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边. 小结归纳 1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”） 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. “三线合一”

练习 1.判断下列语句是否正确。 随堂练习 （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个 内角也为60°. （ ） （3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ） × ×

1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=______ 55° 2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为______度 30 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A．30° B．150° C．30°或150° D．120° C

2. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm？ 随堂练习 2. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm？ ∵ AB=AC ,AD ⊥BC（已知） ∴BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合） 即（等腰三角形三线合一） ∵BD=2cm（已知） ∴CD=2cm C B D A 1 2

随堂练习 ∠B=∠C ∠1=∠2 ∠BDA=∠CDA=90° BD=CD C B D A 1 2 3.已知AD⊥ BC,试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量。 ∠B=∠C ∠1=∠2 ∠BDA=∠CDA=90° BD=CD

中考链接 1．（江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( ) A． 8 B． 7 C． 4 D． 3． 1．（江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( ) A． 8 B． 7 C． 4 D． 3． B 2． (宁波) 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 A

当堂测试 ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 40 ° ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __________________. 70°,40°或55°,55° ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______. 35 °，35 ° 结论:在等腰三角形中, ① 顶角+2×底角=180° ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2

当堂测试 4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. BAD CAD BD CD (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. AD BC BAD CAD (3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____. AD BC CD BD A B C D

当堂测试 A F E B D C 5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。 ┐ A E F B D C 解：相等，理由如下： 连接AD 在△ABC中， ∵AB=AC，D为ＢC中点 ∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF

小结归纳 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 等 腰 三 角 形 性质1：等边对等角 性质2：“三线合一” 2 研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线． 常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数．