第十章 含有耦合电感的电路 学习要点  熟练掌握互感的概念；  具有耦合电感电路的计算方法： ①直接列写方程的支路法或回路法。 第十章 含有耦合电感的电路 学习要点  熟练掌握互感的概念；  具有耦合电感电路的计算方法： ①直接列写方程的支路法或回路法。 ②受控源替代法。 ③互感消去法。 掌握空心变压器和理想变压器的应用。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 重点  互感和互感电压的概念及同名端的含义；  含有互感电路的计算； 空心变压器和理想变压器的电路模型。 难点 耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； 含有耦合电感的电路的方程 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。 本章与其它章节的联系 本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中： 收音机、电视机中的中周线圈(中频变压器)、振荡线圈； 用于可控硅中频电源、中频电炉、超音频电源的降压、增流或升压隔离的中频变压器； 整流电源里使用的电源变压器； 电力变压器等； 它们都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法非常必要。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

中周线圈(中频变压器)、振荡线圈 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

10kVA~300kVA的大功率单相、三相电源变压器。 焊接设备使用的主变压器、控制变压器。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

Power Transformer Telecom Transformer Audio Transformer 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

§10-1 互感 1. 互感的概念 一个电感线圈的情况 i1产生的磁通为F11。 i1与F11的参考方向符合右手螺旋法则，为关联的参考方向。 L1 N1 1 1' i1产生的磁通为F11。 F11 i1与F11的参考方向符合右手螺旋法则，为关联的参考方向。 i1 - + u11 F11穿越自身线圈时，产生的自感磁通链用Y11表示： 若u11与i1取关联参考方向 Y11= L1i1 dY11 di1 则 u11 = = L1 dt dt 当i1变化时，将产生自感电压u11。 以上是熟悉的情况。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

耦合线圈中的总磁通链应该是自感磁通链和互感磁通链的代数和： 两个线圈的情况 若L1邻近有一线圈L2， 则F11的 一部分会穿过L2。 L1 N1 1 1' i1 F11 L2 N2 2' 2 F21 F12 F21称为互感磁通。 磁通链为Y21。 同理： F22 i2 i2通过L2时也产生磁通F22 ， F22的一 耦合线圈中的总磁通链应该是自感磁通链和互感磁通链的代数和： Y1=Y11±Y12 Y2=Y22±Y21 部分F12也穿过L2。 载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

存在磁耦合的两个线圈，当一个线圈的磁通发生变化时，就会在另一个线圈上产生感应电压，称为互感电压。 这就是互感现象。 L1 N1 1 1' i1 F11 L2 N2 2' 2 F21 i2 F22 F12 2. 互感系数 Y11=L1i1， Y22=L2 i2， Y12=M12i2，Y21=M21 i1 M12 和M21 称互感系数。 简称互感，单位是 H。 不管是自感磁通 链，还是互感磁 通链，都与它的 施感电流成正比： 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此满足： L1 N1 1 1' i1 F11 L2 N2 2' 2 F21 i2 F22 F12 M12 = M21 =M 磁通链可表示为： Y1 = L1i1±Mi2 Y2 = L2i2±Mi1 自感系数 L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。 正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

通过线圈的绕向、位置和施感电流的参考方向，用右手螺旋法则，就可以判定互感是“增助”还是“削弱” 。 3. 同名端的概念及其判断方法！ 通过线圈的绕向、位置和施感电流的参考方向，用右手螺旋法则，就可以判定互感是“增助”还是“削弱” 。 但实际的互感线圈往往是封闭的，看不出绕向； L1 N1 1 1' i1 F11 L2 N2 2' 2 F21 i2 F22 F12 L1 L2 + - u1 u2 i1 i2 1 1' 2 2' M 在电路图中也无法反映绕向。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

电流分别通入互感线圈时，使磁场相互增强的一对端点称同名端 。 常用同名端表明互感线圈之间的绕向关系。 电流分别通入互感线圈时，使磁场相互增强的一对端点称同名端 。 L1 N1 1 1' i1 F11 L2 N2 2' 2 F21 i2 F22 F12 用 “•” 或 “*”或 “△”等标记。 L1 L2 + - u1 u2 i1 i2 1 1' 2 2' M 无标记的另一对端点也是同名端。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

若能看出绕向，则根据线圈电流和磁通方向判定。 i1 i2 判别方法之一 1 1' 2 2' L1 L2 若能看出绕向，则根据线圈电流和磁通方向判定。 i1 i2 两个线圈分别施加电流 i1、i2 (均>0)， 1 、2 是同名端 1'、2' 也是同名端 若产生的磁通方向 相同，则i1、i2的流入端为同名端。 M L1 L2 + - u1 u2 i1 i2 1 1' 2 2' 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

两个线圈分别施加电流 i1、i2 (均>0)，若产生的磁通方向相 同，则i1、i2的流入端为同名端。 1' 2 2' L1 L2 i2 当有两个以上的电感彼此耦合时，同名端要用不同的符号一对一对标记。 L1 L2 L3 M * i1 i2 M L1 L2 + - u1 u2 1 1' 2 2' 知道了同名端，在列写耦合线圈的VCR时，就不必关心线圈的具体绕向了。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

若两耦合电感线圈的电压、电流都取关联的参考方向，则当电流变化时有： 4. 互感电压 若两耦合电感线圈的电压、电流都取关联的参考方向，则当电流变化时有： M L1 L2 + - u1 u2 i1 i2 1 1' 2 2' dY1 di1 di2 u1 = = L1 ± M + dt dt dt dY2 di2 di1 u2 = = L2 ± M + dt dt dt 同名端与互感电压的参考极性 若i1从L1的同名端流入，则i1在L2中引起的互感电压参考 “+”极在L2的同名端。 同样，若i2从L2的同名端流入，则i2在L1中引起的互感电压参考 “+”极在L1的同名端。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

若施感电流为同频率正弦量，则耦合电感VCR的相量形式为： L1 + - u1 i1 u2 i2 M L2 若施感电流为同频率正弦量，则耦合电感VCR的相量形式为： di1 di2 u1 = L1 - M dt dt di2 di1 . U1 . I1 . I2 u2 = L2 - M = jwL1 - jwM dt dt . U2 . I2 . I1 = jwL2 - jwM L1 + - u1 i1 u2 i2 M L2 相量形式： di1 di2 u1 = L1 + M . U1 . I1 . I2 = jwL1 + jwM dt dt di2 di1 . U2 . I1 . I2 = - jwM - jwL2 u2 = - L2 - M dt dt 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

例如：需要顺向串联的两个互感线圈，若错接成反向串联，则使输入阻抗减小，导致电流增大，可能会烧坏线圈。 Tr 同名端的判别在实践中占据重要地位。 例如：需要顺向串联的两个互感线圈，若错接成反向串联，则使输入阻抗减小，导致电流增大，可能会烧坏线圈。 L1 L2 1 2 4 Tr L3 110V 3 正确连接：无论串还是并，互感应起“增助”作用。 2接3 (串联)后，可将1、4 接在220V的电源上使用。 1接3、2接4(并联)后，可用在110V的电源上。 而在含有互感线圈(变压器耦合)的振荡电路中，若搞错同名端，则电路不起振。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

S闭合瞬间，若表针顺时针偏转，则假设正确。 S闭合后， > 0 dt 故 u2 > 0 否则， 1、4是同名端。 同名端的判别法之二：实验法 M L1 L2 1 2 3 4 + - u1 i1 US S u2 接线图 依据：同名端的互感电压极性相同。 直流电压表的正极 mV + - 直流电压表的负极 设1、3是同名端 说明 u2的实际极性与参考极性相同。 di1 则 u2 = M 因此 dt di1 S闭合瞬间，若表针顺时针偏转，则假设正确。 S闭合后， > 0 dt 故 u2 > 0 否则， 1、4是同名端。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

· 5. 耦合因数 k i1 一般情况下，一个线圈中的电流所产生的磁通只有一部分与邻近线圈交链，另一部分称为漏磁通。 F11 =F21+F1s 1 1' 2 2' L1 L2 i1 F21 一般情况下，一个线圈中的电流所产生的磁通只有一部分与邻近线圈交链，另一部分称为漏磁通。 漏磁通 F1s 漏磁通越少，互感线圈之间的耦合程度越紧密。工程上常用耦合因数k表示其紧密程度： del Y12  Y21  k · Y11 Y22 k 的大小与两线圈的结构、相对位置和周围的磁介质有关。 代入Y11=L1i1，Y22=L2 i2 Y12=Mi2，Y21=M i1 M k=1为紧耦合。 得 0 ≤ k = ≤ 1 L1 L2 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

与一般电路相比，在列写互感电路方程时，必须考虑互感电压，并注意极性。 对互感电路的正弦稳态分析，用相量形式。 §10-2 含有耦合电感电路的计算 方法1：直接列写方程法 与一般电路相比，在列写互感电路方程时，必须考虑互感电压，并注意极性。 对互感电路的正弦稳态分析，用相量形式。 方法2：互感消去法(去耦等效法) 通过列写、变换互感电路的VCR方程，可以得到一个无感等效电路。 分析计算时，用无感等效电路替代互感电路即可。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

可以用相量形式的CCVS替代互感电压，从而将互感电压明确地画在电路中。 控制量为相邻电感的 施感电流。 被控量为 互感电压， 极性根据 方法3：受控源替代法 可以用相量形式的CCVS替代互感电压，从而将互感电压明确地画在电路中。 控制量为相邻电感的 施感电流。 被控量为 互感电压， 极性根据 同名端确定。 1 1' L1 + - u1 i1 M 2 2' L2 u2 i2 重复前面的话： 若 i1从L1的同名端流入，则 i1在L2中引起的互感电压参考 “+”极在L2的同名端。 . U2 I2 jwL1 jwM I1 1 1' + - jwL2 2 2' U1 - + - + 若 i2从L2的同名端流 入，则 i2在L1中引起 的互感电压参考 “+”极在L1的同名端。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

1. 耦合电感的串联 (1) L1、L2 反向串联时， 互感起“削弱”作用。 由KVL(注意互感)得： di di u1 = R1i + - u i u2 M L2 R1 R2 u1 1. 耦合电感的串联 (1) L1、L2 反向串联时， 互感起“削弱”作用。 由KVL(注意互感)得： di di u1 = R1i + L1 - M dt dt di 无感等效电路如下 = R1i + (L1- M) dt L1-M R1 i + + u1 - + di di u2= R2i + L2 - M R2 dt dt u u2 di = R2i + (L2- M) L2-M dt - - 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + jw (L1 + L2-2M) u1= R1i + (L1- M) dt di u2= R2i + (L2- M) 相量形式： jw (L1-M) + - R1 R2 . U U1 .U2 I jw (L2-M) . U1 . I . I . I = R1 + jw (L1- M) = Z1 式中 Z1 = R1+ jw (L1- M) . U2 . I . I . I = R2 + jw (L2- M) = Z2 式中 Z2 = R2+ jw (L2- M) . U = . U1 + . U2 . I . I 由KVL： = (Z1+ Z2) = Z Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + jw (L1 + L2-2M) 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + jw (L1 + L2-2M) jw (L1-M) + - R1 R2 . U U1 .U2 I jw (L2-M) 友情提示： 互感的“削弱”作用类似于“容性”效应。 由于耦合因数k≤1，所以 (L1+ L2-2M)≥0。电路仍呈感性。 (L1-M)和(L2-M)有可能一个为负，但不会都为负。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

综上：两个串联的耦合电感可以用一个等效电感L来替代： jwL1 + - jwM R1 R2 . I U U1 U2 jwL2 (2) 顺向串联 用同样的方法可得出： Z1 = R1+ jw (L1+M) Z2 = R2+ jw (L2+M) Z = (R1+ R2) +jw(L1+L2+2M) 去耦等效电路为 综上：两个串联的耦合电感可以用一个等效电感L来替代： jw(L1+M) + - R1 R2 . U U1 .U2 I jw(L2+M) L = L1+ L2±2M 顺接取“+”，反接取“-”。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

解题指导：电路如图，L1=0.01H，L2=0.02H R1=R2=10W，C=20mF， M=0.01H， U=6V。 + - L2 R1 R2 . U I U1 U2 C M w =1000rad/s 求 I、U1、U2。 . L1-M + - L2-M R1 R2 . U I U1 U2 C w =1000rad/s 解：耦合线圈为反向串联 L1改为L1-M L2改为L2-M 代入数据求得： 去耦等效电路如图。 Z=20-j40 = 44.7 -63.4o W 等效复阻抗为： 1 Z=(R1+R2) +j w(L1+L2-2M ) - wC 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

Z=20-j40 = 44.7 -63.4o W . U 设 = 6 0o V . U 0o . I = 6 则： = Z 44.7 L1 + - L2 R1 R2 . U I U1 U2 C M w =1000rad/s Z=20-j40 = 44.7 -63.4o W . U 设 = 6 0o V L1-M + - L2-M R1 R2 . U I U1 U2 C w =1000rad/s . U 0o . I = 6 则： = Z 44.7 -63.4o = 0.134 63.4o A . U1= [ R1+jw(L1-M )] . I = 1.34 63.4o V . U2= [ R2+jw(L2-M )] . I = 1.90 108.4o V 可进一步分析功率、串联谐振等问题。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

2. 耦合电感的并联 (1)同侧并联 同名端接在同一结点上。 . U . I1 . I2 = jwL1 + jwM …… (1) . U . ① jwL2 jwL1 . U I1 I2 + - I3 ② jwM (1)同侧并联 同名端接在同一结点上。 . U . I1 . I2 = jwL1 + jwM …… (1) . U . I1 . I2 = jwM + jwL2 …… (2) . I3 = . I1 + . I2 ……………… (3) . U . I1 . I3 - . I1 把(3)代入(1)得 = jwL1 + jwM ( ) . I1 . I3 = jw (L1-M) + jwM . U . I3 - . I2 . I2 把(3)代入(2)得 = jwM ( ) + jwL2 . I3 . I2 = jwM + jw (L2-M) 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

. U = jw(L1-M) I1 + jwM I3 = jwM + jw (L2-M) I2 由以上两个方程得到 (2) 异侧并联 ① jwL2 jwL1 . U I1 I2 + - I3 ② jwM . U = jw(L1-M) I1 + jwM I3 = jwM + jw (L2-M) I2 由以上两个方程得到 . I3 jwM ① 1' . I1 . I2 ① jwL2 jwL1 . U I1 I2 + - I3 ② jwM + . U jw(L1-M) jw(L2-M) - ② (2) 异侧并联 去耦等效电路的推演过程从略。 异名端连接在同一个结点上。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

使用条件：两个耦合电感必须有一侧联在一起，或经电阻联在一起。 对去耦方法归纳如下： L2-M L1-M M 3 1 2 同正异负 L2 L1 M 3 1 2 使用条件：两个耦合电感必须有一侧联在一起，或经电阻联在一起。 同减异加 L2+M L1+M -M 3 1 2 L2 L1 M 3 1 2 * R1 R2 R1 R2 另一侧可任意联接。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

例：求图示电路的开路电压。 解法1：列方程求解。 由于L2中无电流，故L1与L3为反向串联。 US . I1= 所以电流 M12 + * - . Uoc US I1 L3 △ M31 M23 R 例：求图示电路的开路电压。 解法1：列方程求解。 由于L2中无电流，故L1与L3为反向串联。 . US . I1= 所以电流 R + jw(L1+ L3 -2M31) 开路电压为(注意互感电压) . UOC =jwM12 . I1 . I1 . I1 . I1 - jwM23 - jwM31 + jwL3 将电流表达式代入得 . US jw(M12-M23-M31+L3) . UOC = R + jw(L1+ L3 -2M31) 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

例：求图示电路的开路电压。 解法2：互感消法。 作去耦等效电路，一对一对地消去互感。 L2 L1 M12 + * - Uoc US I1 . Uoc US I1 L3 △ M31 M23 R 例：求图示电路的开路电压。 解法2：互感消法。 作去耦等效电路，一对一对地消去互感。 L1-M12 + * - . Uoc US I1 L3+M12 △ M31 M23 R L2-M12 L1-M12 + - . Uoc US I1 L3+M12 △ M31 R L2-M12 +M23 -M23 -M23 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

例：求图示电路的开路电压。 解法2：互感消法。 作去耦等效电路，一对一对地消去互感。 L2 L1 M12 + * - Uoc US I1 . Uoc US I1 L3 △ M31 M23 R 例：求图示电路的开路电压。 解法2：互感消法。 作去耦等效电路，一对一对地消去互感。 L1-M12 + - . Uoc US I1 L3+M12 △ M31 R L2-M12 +M23 -M23 L1-M12+M23 + - . Uoc US I1 L3+M12-M23 R L2-M12-M23 -M31 +M31 -M31 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

例：求图示电路的开路电压。 解法2：互感消法。 由无互感电路得开路电压 jw(L3+M12-M23-M31) US UOC = * - . Uoc US I1 L3 △ M31 M23 R 例：求图示电路的开路电压。 解法2：互感消法。 L1-M12+M23 + - . Uoc US I1 L3+M12-M23 R L2-M12-M23 -M31 +M31 由无互感电路得开路电压 . US jw(L3+M12-M23-M31) . UOC = R + jw(L1+ L3 -2M31) 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

在含有耦合电感的电路中，两个耦合的电感之间无功功率相等，有功功率或者均为零，或者通过磁耦合等量地进行传输，彼此平衡。 §10-3 耦合电感的功率 在含有耦合电感的电路中，两个耦合的电感之间无功功率相等，有功功率或者均为零，或者通过磁耦合等量地进行传输，彼此平衡。 电源提供的有功功率，在通过耦合电感的电磁场传递过程中，全部消耗在电路中所有的电阻(包括耦合电感线圈自身电阻)上。 互感M是一个非耗能的储能参数，兼有L和C的特性： 同向耦合时，储能特性与电感相同，使L中磁能增加； 反向耦合时，储能特性与电容相同，与L中的磁能互补(容性效应)。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

例10-6：R1=3W， R2=5W， wL1=7.5W，wL2=12.5W，wM=8W，US=50V。求电路的复功率，并说明互感在功率转换和传递中的作用。 jwL1 R1 R2 + - . US I1 jwL2 jwM S I2 . US 解： 设 = 50 0o V . I2 = 5.24 168.87o A 回路方程为： . US . I1* . I1 . I2 . US = (R1+jwL1) + jwM = SS . I1 . I2 ≈(233+j582)+(137-j343) VA jwM + (R2+jwL2) = 0 . I1 . I2* 代入数据解得： S2 = jwM + (R2+jwL2) I22 . I1 ≈(-137-j343)+(137+j343)VA = 8.81 - 32.93o A 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

互感电压发出无功功率补偿L1、L2中的无功功率。 jwL1 R1 R2 + - . US I1 jwL2 jwM S I2 = SS . US I1* ≈(233+j582)+(137-j343)VA S2 jwM I1 + (R2+jwL2) I2* I22 ≈(-137-j343)+(137+j343)VA (R1+jwL1) I12 + jwM I2 完全补偿 L1中的无功功率为582乏。 不能完全补偿，需电源提供无功功率239乏。 互感电压发出无功功率补偿L1、L2中的无功功率。 线圈1吸收137W功率， 传递给线圈2， 供R2消耗。 两耦合电感之间等量地传输有功功率，两者恰好平衡，其和为零。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

电源提供的有功功率P=USI1cos32.93o=370W jwL1 R1 R2 + - . US I1 jwL2 jwM S I2 . I2 = 5.24 168.87o A US = 50 0o V I1 = 8.81 - 32.93o A R1=3W， R2=5W 电源提供的有功功率P=USI1cos32.93o=370W R1消耗I12 R1=233W，R2消耗I22 R2=137W，平衡。 电源提供的无功功率Q=USI1sin32.93o=239Var， 互感电压发出无功功率343Var， L1吸收的无功 功率为582Var。也平衡。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

§10-4 变压器原理 1. 常识 变压器是电工、电子技术中常用的电气设备。 有单相、三相之分。 有便于调压的自耦变压器。 §10-4 变压器原理 1. 常识 变压器是电工、电子技术中常用的电气设备。 有单相、三相之分。 有便于调压的自耦变压器。 220V 0～250V 在低频电路中使用的变压器，如电力变压器、电源变压器、音频变压器、仪用互感器等，采用高导磁率的铁磁材料制成心子(作为磁路)。 在高频电路中使用的变压器，如振荡线圈、中周变压器等，则用铁氧体材料作为心子。 频率很高时，用空(气)心。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

从原理上说，变压器由绕在一个共同心子上的两个(或更多的)耦合线圈组成。 + - . U1 U2 N1 N2 I1 I2 Tr 从原理上说，变压器由绕在一个共同心子上的两个(或更多的)耦合线圈组成。 + - . US ZL 一个线圈(N1)作为输入，称初级绕组，或原边绕组，或原方绕组，或一次侧绕组等。 变压器的图形符号与文字符号 初级绕组接电源。 所形成的回路称初级回路或原边回路等。 另一个线圈(N2)为输出，称次级绕组，或副边绕组，或副方绕组，或二次侧绕组等。 次级绕组接负载。 所形成的回路称次级回路或副边回路等。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

2. 空心(非铁磁材料)变压器的模型与分析方法 jwL2 jwL1 R1 . I1 I2 - + 1' 1 U1 2' 2 R2 ZL U2 jwM 选绕行方向与电流参考方向一致，列一、二次回路方程分析： . I1 . I2 = . U1 (R1+jwL1) +jwM . I1 . I2 jwM + (R2+jwL2+ZL) = 0 一次侧和二次侧两个回路通过互感的耦合联列在一起。 称为二次回路的阻抗。 ZM= jwM 称为互感抗。 则方程具有更简明的形式 令 Z11= R1+jwL1 . I1 . I2 . U1 Z11 + ZM = (一次侧) 称为一次回路的阻抗。 . I1 . I2 + Z22 = 0 (二次侧) Z22= R2+jwL2+ZL ZM 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

它是二次回路阻抗和互感抗通过互感反映到一次侧的等效阻抗。 感性变容性， 容性变感性。 jwL2 jwL1 R1 . I1 I2 - + 1' 1 U1 2' 2 R2 ZL U2 jwM 解方程可得 . U1 . I1 = Z11-ZM Y22 2 . U1 = Z11+ (wM)2 Y22 Zi . U1 所以又称反映阻抗。 Zi = = Z11+ (wM)2Y22 . I1 1 (wM)2Y22=(wM)2 -j 为一次侧输入阻抗。 |Z22| (wM)2Y22 称引入阻抗。 反映阻抗的性质与Z22相反 它是二次回路阻抗和互感抗通过互感反映到一次侧的等效阻抗。 感性变容性， 容性变感性。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

从等效电路看出，变压器输入端口的工作状态隐含了二次端口的工作状态。 ZM ZL . U2 = -ZL . I2 . I1 = Z22 Z11+ (wM)2 Y22 U1 jwL2 jwL1 R1 . I1 I2 - + 1' 1 U1 2' 2 R2 ZL U2 jwM 根据 可得一次侧等效电路 Z11 . I1 - + 1' 1 U1 (wM)2Y22 Z11 . I1 + ZM I2 = U1 ZM + Z22 = 0 由变压器方程 ZM . I2= - . I1 得 Z22 从等效电路看出，变压器输入端口的工作状态隐含了二次端口的工作状态。 ZM ZL . U2 = -ZL . I2 . I1 = Z22 用 I1 表示了U2。 . 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

也可以用二次等效电路研究一、二次侧的关系 jwL2 jwL1 R1 . I1 I2 - + 1' 1 U1 2' 2 R2 ZL U2 jwM 也可以用二次等效电路研究一、二次侧的关系 . Uoc + - 现用戴维宁定理分析如下(注意方法)： . I2 = 0， 一次侧无互感电压。 . U1 jwL2 jwL1 R1 . I1 I 1' 1 2' 2 R2 + - U jwM . I1 = . U1 = Y11 Z11 . Uoc为 . I1 在次级回路 产生的互感电压： . Uoc= jwM . I1 . U1 = jwM Y11 列回路电流方程 (注意互感) 再求等效阻抗 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

. Uoc= jwM Y11 U1 列回路方程 . I1 . I Z11 + jwM = 0 . I . I1 = . U jwL2 jwL1 R1 . I1 I 1' 1 2' 2 R2 + - U jwM . Uoc= jwM Y11 U1 列回路方程 . I1 . I Z11 + jwM = 0 . I . I1 = . U (R2+jwL2) + jwM . I1 消去 Zeq . I2 - + 2' 2 jwMY11 U1 ZL U2 . I . I ) = . U (R2+ jwL2) + jwM (-jwMY11 . U Zeq = = (R2+jwL2) + (wM)2Y11 . I . U1 一次回路反映到二次回路的阻抗。 jwM Y11 . I2 = - Zeq+ ZL 二次等效电路 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

 空心变压器电路分析方法  方程分析法 Z11 . I1 + ZM I2 = U1 ZM + Z22 = 0 等效电路分析法 jwL2 jwL1 R1 . I1 I2 - + 1' 1 U1 2' 2 R2 ZL U2 jwM  空心变压器电路分析方法  方程分析法 Z11 . I1 + ZM I2 = U1 ZM + Z22 = 0 等效电路分析法 Z11 . I1 - + 1' 1 U1 (wM)2Y22 Zeq . I2 - + 2' 2 jwMY11 U1 ZL U2 基于方程分析法得到。→ 还有去耦等效分析法，略。 一次等效电路 二次等效电路 T型、或G型等效电路。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

3. 例题分析： u1=100cos(10t) V L1=5H，L2=1.2H，M=2H， ZL=3W。求 i1、i2。 - + . U1 M U2 L1 L2 I1 I2 ZL 3. 例题分析： L1=5H，L2=1.2H，M=2H， ZL=3W。求 i1、i2。 u1=100cos(10t) V 思路1：利用等效电路。 一次 Z11 . I1 - + 1' 1 U1 (wM)2Y22 Z11=jwL1= j50W Z22=jwL2+ZL=3+j12 W jwM= j20W， ZL =3W， Zeq=jwL2+(wM)2Y11=- j28 W Zeq . I2 - + 2' 2 jwMY11 U1 ZL U2 二次 由上述数据得(化为瞬时值) i1= 4.95cos(10t-67.2o) A i2= 8cos(10t+126.84o) A 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

3. 例题分析： L1=5H，L2=1.2H，M=2H， ZL=3W。求 i1、i2。 u1=100cos(10t) V - + . U1 M U2 L1 L2 I1 I2 ZL 3. 例题分析： L1=5H，L2=1.2H，M=2H， ZL=3W。求 i1、i2。 u1=100cos(10t) V 思路2：方程分析法。 . I1m . I2m . U1 Z11 + jwM = 代入得 . I1m . I2m jwM + Z22 = 0 . I1m . I2m j50 + j20 = 100 方程中： 解之 . I1m . I2m j20 + (3+j12) = 0 jwM = j20W . I1m = 4.95 -67.2o A Z11=jwL1= j50W . I2m Z22=jwL2+ZL=3+j12 W = 8 126.84o A . U1m 化为瞬时值即可。 =100 0o V 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。 §10-5 理想变压器 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。 1. 三个理想化条件 (1)线圈无电阻，无损耗，芯子的磁导率无限大。 (2)全耦合，即耦合因数 k=1。 L1 N1 (3)参数L1、L2 、 M 为无限大，但满足 = = n L2 N2 2. 图形符号和主要性能 N2 N1 - + u1 u2 n : 1 i1 i2 (1)变压关系 u1和u2的参考“+”都在同名端时： N1 u1 = = n 电压与匝数成正比。 N2 u2 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

Zeq是二次侧阻抗ZL折算到一次侧的等效阻抗。 理想变压器的阻抗变换性质是只改变阻抗的 大小，不改变阻抗的性质。 或者 u1 = N2 N1 u2 = nu2 N2 N1 - + u1 u2 n : 1 i1 i2 (2)变流关系 i1和i2都从同名端流入(或流出)时： N2 1 i1 = i2 = - i2 电流与匝数成反比。 N1 n N2 N1 - + u1 u2 n : 1 i1 i2 ZL (3)变阻抗关系 . U1 . U2 . U2 n Zeq= = = n2 - = n2ZL . I1 1 . I2 . I2 - Zeq n Zeq是二次侧阻抗ZL折算到一次侧的等效阻抗。 理想变压器的阻抗变换性质是只改变阻抗的 大小，不改变阻抗的性质。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

   3. 功率性质 由理想变压器的变压、变流关系可得一次侧端口与二次侧端口吸收的功率之和： 1 u1i1 + u2i2 N2 N1 - + u1 u2 n : 1 i1 i2 由理想变压器的变压、变流关系可得一次侧端口与二次侧端口吸收的功率之和： 1 u1i1 + u2i2 = u1i1+ u1(-ni1) = 0 - + u1 u2 n 1 i2 i1 用受控表示的模型 n  理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。  理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。 实际的铁心变压器与理想变压器特性相近。在实用中，能根据需要完成不同的变换。  理想变压器仅一个参数 n。 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

求图示电路负载电阻上的电压 U2。 解法 1 ： 列方程求解。 解法2 ： 应用阻抗变换得一次侧等效电路 一次回路： . I1 U1 1× - + 1 : 10 50W . U2 U1 1W 10 0o V I1 I2 求图示电路负载电阻上的电压 . U2。 解法 1 ： 列方程求解。 解法2 ： 应用阻抗变换得一次侧等效电路 一次回路： . I1 . U1 1× + = 10 0o - + . U1 1W 10 0oV ×50 1 2 I1 二次回路： . I2 . U2 50 + = 0 理想变压器的特性方程 . U1 1 . U2 . I1 = -10 . I2 10 0o 10 = . U1= ×0.5 = 0o V 10 1+ 0.5 3 . U2 = 33.33 解得 0o V . U2 =10 . U1= 33.33 0o V 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

解法3 ：应用戴维南定理。 . I2 =0，→ . I1 =0 Uoc=10 U1 =100 0o V U2 Req= =102×1 - + 1 : 10 . Uoc U1 1W 10 0o V I1 I2 解法3 ：应用戴维南定理。 . I2 =0，→ . I1 =0 . Uoc=10 . U1 =100 0o V . U2 - + 1 : 10 . U2 U1 1W I1 I2 Req Req= =102×1 =100 W . I2 . Uoc . U2 = ×50 Req+ 50 100 0o - + . U2 I2 Uoc Req 50W = 100 + 50 = 33.33 0o V 2018年12月1日星期六2018年12月1日星期六

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