第5章 三相交流电路分析 5.1 三相电源 5.2 三相负载的星形( Y 形)连接 5.3 三相负载的三角形（ D 形）连接 第5章 三相交流电路分析 5.1 三相电源 5.2 三相负载的星形( Y 形)连接 5.3 三相负载的三角形（ D 形）连接 5.4 三相电路的功率

1、对称三相电动势定义：对称三相电动势, 指的是幅值相等、频率相同、相位互差120°的三个电动势。 5.1 三相电源 5.1.1 对称三相电动势的产生 1、对称三相电动势定义：对称三相电动势, 指的是幅值相等、频率相同、相位互差120°的三个电动势。 2、对称三相电动势产生：对称三相电动势一般是由三相交流发电机产生的。 如图5-1-1(a)所示是三相交流发电机的结构示意图。 图 5-1-1

当转子磁极以角频率ω匀速旋转时，定子每相绕组的导体就切割磁力线，在三相绕组中产生随时间按正弦规律变化的感应电动势，这三个感应电动势的幅值相等、 频率相同、 相位互差120°，相当于三个独立的交流电压源，如图5-1-1(b)所示。这三个电动势即为对称三相电动势。规定对称三相电动势的方向是从绕组的末端指向始端。

◆ 三相对称电动势的瞬时值表达式为： ◆波形图： 如图5-1-2所示

◆相量表达式为： ◆对应的相量图：如图3所示 很明显，根据KVL，对称三相电动势的瞬时值或相量之和为零， 即：

三相交流电依次达到正最大值（或相应零值）的顺序称为相序（phase sequence）。上述对称三相电动势的相序是U→V→W。把U→V→W的相序称为顺相序（positive sequence），通常都是采用顺相序。  在三相绕组中，把哪一个绕组当作U相绕组是无关紧要的，但U相绕组确定后，电动势比 eU滞后120°的绕组就是V相，电动势比eU滞后240°（超前120°）的那个绕组则为W相。

三相电源绕组的连接通常有星形（Y形）连接和三角形（D形）连接两种方式。 5.1.2 三相电源的连接方式 三相电源的每相绕组都可以作为一个单独电源供电，而每相需要两根输电线，三相共需六根输电线。这样就构成了彼此相互独立， 互不关联的三个单相交流供电系统, 但这很不经济，也不能体现出三相供电系统的优点。  三相电源绕组的连接通常有星形（Y形）连接和三角形（D形）连接两种方式。

1．三相电源的星形（Y形）连接 把端线与中线之间的电压uU、uV、uW称为相电压。 图5-1-3是三相电源的Y形连接。 规定相电压的参考方向是从端线指向中线， 如图5-1-3所示。 很显然， 如果不考虑输电线上的压降和三相绕组的内阻抗， 相电压uU 、uV、uW就分别等于eU 、e V 、 eW ， 即 uU = eU uV = e V uW = eW 图5-1-3是三相电源的Y形连接。 图 5-1-3

相电压uU 、uV、uW是三相对称电压，相应的相量表达式为：  （5-1-4） （Up 是相电压有效值） 端线与端线之间的电压UUV 、UVW、 UWU 称为线电压。 （5-1-5）

将式(5-1-4)代入式(5-1-5)， 按相量法计算， 就可以得到线电压和相电压之间数值和相位关系： 同理可推得：

线电压和相电压的相量图： 如图5-1-4 图5-1-4 由以上分析可知，若相电压是对称的，则线电压也是对称的，而且线电压的有效值（幅值）是相电压的有效值（幅值）的 倍， 若线电压有效值用Ul表示，则 (5-1-6)

2．三相电源的三角形（D形）连接 如图5-1-5所示，将三相绕组的始端和末端依次连接，构成一个闭合回路，再从三个连接点引出三根端线，这种连接方式称为三相电源的D形连接，这种连接方式属于三相三线制。 图 5-1-5

在三相电源的D形连接时， 闭合回路中的总电压为0，即 ： 如果将某一相绕组接反，闭合回路中就有大于相电压的电压在作用，由于三相电源绕组本身内阻抗很小，故在闭合回路中产生很大的电流，会烧坏三相电源绕组。通常三相发电机的三相绕组均作 Y形连接，很少作D 形连接，而三相变压器则两种接法都有使用。 

小结 1. 对称三相电动势是指幅值相等，频率相同， 相位互差120°的三个电动势。三相交流电源的电动势是对称三相电动势。  2. 三相电源有两种接法即Y形和D形。三相电源Y形连接时输出两种电压：相电压和线电压，并且 。 三相电源作 D 形连接时输出一种电压。

5.2 三相负载的星形( Y 形)连接 把在三相电路中的三组单相用电器和三相用电器通称为三相负载。 三相负载有对称和不对称两种情况，如果接在三相电路的三个负载阻抗相等，把这样的三相负载称为对称三相负载，三相电动机就是对称三相负载。 对称的三相电源和对称的三相负载连接， 称为对称的三相电路。 一般三相电源都是对称的， 所以三相电路是否对称， 取决于三相负载是否对称。

由上图可知：每相负载的电压等于电源相电压，即有： 如图5-2-1，三相负载作星形连接时，三个负载的一端分别接于端线U、V、W，另三个端点连在一起，称为负载的中点N′，并将N′与电源的中点N相连。 图5-2-1 由上图可知：每相负载的电压等于电源相电压，即有：

◆相电流：把每相负载的电流。相电流的参考方向与负载电压参考方向关联。 ◆ 相电流表达式： ◆ 线电流：流过各端线的电流。线电流的参考方向是从电源端指向负载端。 从右图5-2-1可得： 对应的线电流和相电流相等. 图5-2-1

线电流表达式： （5-2-2）

若负载为对称三相负载， 即ZU =ZV =ZW =Z=|Z|∠φ时，则： (5-2-3) 图5-2-2 上式表明，由于负载是对称的，所以各相电流也是对称的， 其相量图如图5-2-2所示。

◆中线电流：流过中线的电流。参考方向是从负载中点 N′流向电源中点N 。 根据 KCL ，由图5-2-1可得： (5-2-4) 若三相负载为对称三相负载， 则： (5-2-5)

如图5-2-3所示是负载星形连接的实际电路举例， 可以看到中线不能接开关和熔断器。  图 5-2-3

例5-2-1 一台三相交流电动机，额定电压为220V，阻抗为Z=6＋j8 Ω ，三相电源的线电压为uUV=380sin(ωt+30°) V ，要求： （1） 回答三相交流电动机定子绕组如何连接。 （2） 求线电流iU 、 iV 、 iW 及中线电流iN 。  （3） 作相量图。 解 （1） 由于电动机的额定电压为220 V ，与电源的相电压相等，因此电动机定子绕组作星形连接。 （2） 线电压UUV 的相量：  =380∠30° V  根据三相电源Y形连接时线电压和相电压的关系可知 线电流相量表达式为：

其瞬时傎表达式为：iU =22sin (ωt-53.13°) A  由于iU 、iV 、iW 为三相对称电流，因此根据对称关系， 得 iV =22sin (ωt-53.13°-120°) =22sin (ωt-173.13°) A iW =22sin (ωt-53.13°+120°) =22sin (ωt+66.87°) A 根据三相负载对称得：iN =0 A 。 （3） 相量图： 如图5-2-4。 图5-2-4

例5-2-2 如图5-2-5所示三相电路，电源电压对称，且相电压有效值Up =220V，电灯组负载的电阻为RU =5 例5-2-2 如图5-2-5所示三相电路，电源电压对称，且相电压有效值Up =220V，电灯组负载的电阻为RU =5.5Ω、RV =22 Ω、RW =10 Ω，电灯额定电压为220V。求三相电路的线电流的有效值IU、IV 、I W 及中线电流的有效值IN 。  图 5-2-5

解：由于三相负载不对称，所以，各线电流不对称，中线电流不为零。设以 为参考相量, 得： 解：由于三相负载不对称，所以，各线电流不对称，中线电流不为零。设以 为参考相量, 得： 中线电流为： 各电流的有效值：IU =40A ,IV =10A ,IW =22A ,IN =26 A 

例5-2-3： 分析图5-2-5所示电路在下面几种故障情况下会发生什么现象：(1) U相断路；(2) 中线断开；(3) 中线断开， U相断路。  解 ：（1） U 相断路： IU =0，但因中线存在，V、 W 两相负载在事故发生后不受影响，仍正常工作。  （2） 中线断开：因负载不对称，负载中点 N′和电源中点N 之间产生电位差， 由弥尔曼定理可求得 代入数据得：

各相负载电压： 可见，负载电压与电源相电压已不相等。U相电灯不能正常发光，V和W 相电灯有可能因电压超过额定电压而损坏。 （3）中线断开、U相断路：此时，V、W 两相负载成为串联关系，共同承受线电压 ， 通过同一电流，V、W 相负载的电压取决于其阻抗的数值大小。 

小 结 1．三相负载作三相四线制星形连接时，负载的电压为电源对称的相电压。  小 结 1．三相负载作三相四线制星形连接时，负载的电压为电源对称的相电压。  2．三相负载作星形连接时，各项负载的相电流等于对应的线电流。若三相负载为对称三相负载，相电流和线电流也为三相对称电流。  3．中线电流 ，若负载对称，则 ； 若负载不对称，则 。 因此，对称负载作星形连接时，中线可以不接，即可以采用三相三线制，不对称负载作星形连接时，应采用三相四线制。 中线的作用是：保证每相负载的电压为电源的相电压， 保证负载电压对称，不会因负载不对称而引起负载电压发生变化，保证三相负载正常工作。 

5.3 三相负载的三角形（ D 形）连接 当负载的额定电压等于电源的线电压时，负载应分别接在三条端线之间，这时负载是按三角形方式连接的，如图5-3-1所示。 1、负载的相电压 若忽略端线的阻抗， 每相负载承受的电压（即负载的相电压）等于对应电源的线电压， 即 图 5-3-1

若负载对称，即ZUV =ZVW =ZWU =Z=|Z|∠φ， 则： 2、负载的相电流： 若负载对称，即ZUV =ZVW =ZWU =Z=|Z|∠φ， 则： 总结：若三相负载对称，则相电流也是对称的。 （Ip =Ul /|Z|为相电流有效值）

3、负载相电压、相电流相量图：  图 5-3-2

3、线电流： (5-3-3) 若负载对称，将式（5-3-2）代入式（5-3-3)得： 同理可以推得：

4、线电流、相电流的相位关系： 图 5-3-3 对称三相负载作三角形连接时线电流和相电流的相量图如图5-3-3 。 结论：在对称条件下，线电流有效值是相电流有效值的 倍，即： (5-3-4)

例5-3-1 对称三相负载的每相阻抗Z=30＋ j40 Ω 。电源电压为380 V ，电路如图5-3-1 所示。要求：（1） 求电路的相电流和线电流；（2） 分析U-V相负载断开和U 线断开两种故障状态下电路的工作情况。  解： （1）负载作三角形连接时，负载的相电压就是电源的线电压。因为负载对称，正常工作时电路是对称电路， 故可归结到一相来计算，其相电流为： 根据式（5-3-4），得线电流为 

（2） U-V 相负载断开： 此时， 且V-W相和W-U 相负载的相电压仍为电源的线电压， 如果接在这两相上的是单相负载， 它们仍能正常工作。  U线断开： V-W相负载不受影响， 但UV相和WU相负载形成串联，并且接在V、W 相两端线之间，其负载的电压和相电流均减小。如果|ZUV |≠|ZWU|，则两相负载的电压也不相等。  

小 结 1．三相负载作三角形连接时，负载的相电压为三相电源的线电压。只要线电压对称，无论负载是否对称，负载相电压也对称。  2．线电流和相电流的关系为： 3．对称负载作三角形连接时，线电流为相电流的 倍， 即Il= I p ， 且线电流比相应的相电流滞后30°。

5.4 三相电路的功率 1、三相电路的有功功率： 不论三相负载是否对称，三相电路的有功功率等于各相的有功功率之和， 即： 5.4 三相电路的功率 1、三相电路的有功功率： 不论三相负载是否对称，三相电路的有功功率等于各相的有功功率之和， 即： P =PU ＋PV ＋PW (5-4-1) 如果负载作星形连接， 则有： P=UUIU cosφU +UVIVcosφV+UWIWcosφW (5-4-2)（φU 、φV 、φW 分别是各相负载相电压与相电流的相位差）

在对称三相电路中， 各相负载的有功功率相等， 所以总的有功功率是一相有功功率的三倍。 即 P=3UpIpcosφ 又因为对称三相负载作星形连接时，Up=  ， I p =Il ，所以： 如果负载作三角形连接，则有： P=UUVIuvcosφuv +UVWIvwcosφvw +UWUIwucos φwu (5-4-3)  在对称三相电路中有： P=3UlI p cos φ 又因为对称三相负载作三角形连接时， 所以

观察星形连接和三角形连接有功功率的表示式有： (5-4-4) 因此，只要是在对称电路中，无论负载是作星形连接还是作三角形连接，三相电路的总有功功率均可由式（5-4-4）计算。这个公式在计算三相电路功率时具有普遍的实用意义。因为三相电路中线电压和线电流的数值比较容易测量出来，实际的三相电气设备铭牌标出的额定电压和额定电流通常都是线电压和线电流的额定值。 

2、三相电路的无功功率 三相电路的无功功率等于各相负载无功功率之和， 即： Q =QU＋QV＋QW (5-4-5) 负载作星形连接时有： Q=UUIUsinφU+UVIVsinφV+UWIWsinφW (5-4-6) 负载作三角形连接时有 Q=UUVIuvsinφuv+UVWIvwsinφvw +UWUIwusinφwu (5-4-7) 在对称电路中有： （5-4-8）

注意：在不对称三相电路中，视在功率不等于各相负载的视在功率之和，即S≠SU＋S V ＋SW ；复功率等于各相复功率之和。 3、三相电路的视在功率： (5-4-9) 注意：在不对称三相电路中，视在功率不等于各相负载的视在功率之和，即S≠SU＋S V ＋SW ；复功率等于各相复功率之和。 三相电路的功率因数：

在对称电路中， 三相电路的功率因数就是一相负载的功率因数，其视在功率为： (5-4-10)

例5-4-1 三相电阻炉每相电阻R=8.68Ω，求： （1） 三相电阻炉作星形连接，接在Ul=380 V 的三相电源上，电阻炉从电网吸收的功率; （2） 三相电阻炉作三角形连接，接在Ul=380V的三相电源上， 求电阻炉从电网吸收的功率。 解： （1） 三相电阻炉作星形连接， 则线电流： 根据式（5-4-3）吸收功率：

(2) 三相电阻炉作三角形连接时，相电流： 则线电流：  吸收功率：

小 结 1． 对于对称三相电路， 无论三相负载连接方式如何都可用下列公式计算功率： P= UlIl cos φ, 小 结 1． 对于对称三相电路， 无论三相负载连接方式如何都可用下列公式计算功率： P= UlIl cos φ, Q= UlIl sin φ, S= = UlIl 2． 对于不对称三相电路，有 P =PU ＋PV ＋PW ，Q =QU ＋QV ＋QW， 若三相负载作 Y 形连接， 则 P=UU IU cosφU +UVIVcosφV +UWIWcosφ Q=UUIUsinφU +UVIV sinφV +UWIW sinΦw

若三相负载作 D 形连接， 则 P=UUVIuvcosφuv+UVWIvwcosφvw +UWUIwucosφwu Q=UUVIuvsinφuv +UVWIvwsinφvw+UWUIwu sin φ wu