時間序列分析 經濟與財務上之應用 二版 第八章 非定態時間序列模型

本章重點 時間趨勢與隨機趨勢之定義 Random Walk 模型 非定態變數在單變數模型估計時的問題 ARIMA(p, d, q) 模型 DF、ADF、PP 與KPSS 單根檢定 Panel 單根檢定

定性趨勢 定性趨勢，是指「可完全預測的變動趨勢」。一般而言，多半是指「時間趨勢」(time trend), 如 yt=a0+a1t(線性趨勢) yt=a0+a1t+a2t2+a3t3+…(多項式時間趨勢) (片斷趨勢)

隨機趨勢 隨機趨勢就是變數中的隨機成份(stochastic component)對該變數具有永久性的影響的現象，如

8.1 從 Random Walk 模型開始 (1) pure random walk 模型 yt=yt-1+et (2) random walk with drift yt=a0+yt-1+et (3) random walk with noise yt=μt+et 且 μt=μt-1+vt

pure random walk 模型 (1)E(yt)=y0 (2)var(yt)=tσ2 (3)cov(yt,yt-s)=(t-s) σ2 ρ(s)=(t-s/t)0.5，當t很大時， ρ(s)≈1，也就是說，這類型的RW模型，其自我相關函數將呈現緩慢遞減的現象，如圖8.1所示

pure random walk 模型(續) 不含截距項的RW 模型 (Pure random walk)

random walk with drift (1)E(yt)=y0+a0t (2)var(yt)=a02+tσ2

random walk with drift(續) 含截距項的RW 模型 (Random walk with drift)

random walk with noise (1)E(yt)= y0 – e0 (2)var(yt)=t σv2 +σ2 (3)cov(yt,yt-s)=(t-s) σv2

random walk with noise(續) 非定態變數在單變數模型估計時的問題 以yt=a1yt-1+et為例，當a1等於或接近1時，用OLS來估計，a1的估計值會出現被低估的偏誤，而將誤判成定態的變數，而使預測的產生很大的問題。 ARIMA(p, d, q) 模型

ARIMA(0,1,1):∆yt=2+et+0.7et-1

ARIMA(0,1,1):∆yt=0.008+et+0.3et-1

8.2 RW 模型所隱含的經濟涵意 1. 任何市場之供需條件未變動，使市場參與者對未來價格的預期可以直接以前一期的價格當做參考，則在此情況下所產生的時間序列價格 (甚至交易量) 資料，其DGP 都可能是不含截距項RW 模型。 即yt=yt-1+et

相關例子 在財務市場上，股價出現「盤整」或「平盤」趨勢， 有經濟變數上，當總合供需有價格僵固，或者勞動市場出現工資僵固現象時， 中央銀行對當期t之貨幣供給的調控沒有動變， 以上都可以用不含截距項RW模型來描述。

8.2 RW 模型所隱含的經濟涵意 2. 當市場之供給因為持續性上升的技術進步與創新，或因為人口(或所得)持續增加的因素，使需求有穩定持續增加的現象，則在此情況下所產生的時間序列價格 (甚至交易量) 資料，其DGP 都可能是含截距項RW 模型。 即yt=a+yt-1+et

8.2 RW 模型所隱含的經濟涵意

相關例子 央行的貨幣政策採取貨幣供給目標不變，但允許隨機誤差，而貨幣供給變動(率)∆mt固定a0的貨幣供給量(率)之改變，即 ∆mt=a0+et 股價的變動在固定報酬的假設下，即 ∆lnpt≈ ∆ pt/pt=r0+et 這正是含有截距項的RW模型

8.2 RW 模型所隱含的經濟涵意 3. 當要素投入、技術進步、與創新是隨機 性，但是其影響性卻有持續、累積性時，則在此情況下所產生的所得或價格時間序列資料，其DGP 可能是含隨機干擾項的RW 模型。 即 yt=μt+et 且 μt=μt-1+vt

相關例子 如已開發國家的人口並沒有一直在增加，而勞動參與率也可能是有周期性；或者技術進步與創新也都可能具有隨機性的成份。這些因素對國民所得的影響都有持續性的現象。

8.3 什麼是單根? 根，其實指的是方程式的「解」；而「單」(unit) 這個字，則是1的意思。所以單根的實際意義，即是方程式的「解」等於1。 若一個時間序列變數具有單根，指的是這個變數DGP之特性根方程式 (characteristic equation) 的「解」，或其中一個「解」等於1。所謂特性根方程式如下面子例 AR(1):(1-a1L)=0 AR(2):(1-a1L-a2L2)=0

8.3 什麼是單根? RW 模型其實就是具有單根性質的DGP，所以若變數有單根，該變數就不符合定態的統計定義 (其變異數和共變數都會隨著時間t變大而愈來愈大)。 因此，特性根是否有單根就可以用來當做一個時間序列變數是否為定態或非定態變數的判斷準則。所以在文獻上經常可以看到這類的文字： 若一個變數是 (1) 定態，則其「所有的特性根必需落在單位圓外」(All characteristic roots lie outside the unit circle) (2) 非定態，則其「所有的特性根將落在單位圓上或單位圓內」(All characteristic roots lie on or within the unit circle)

8.4 Dickey-Fuller 的單根檢定與衍生之檢定 yt=a1yt-1+et，兩邊同減yt-1，可得 ∆yt=(a1-1)yt-1+e t (8.17)， 若令γ=a1-1，則可改寫為 ∆yt= γyt-1+e t (8.18) 因為若直接採用(8.17)式去估計的話，可能會出現a1被低估的偏誤，而造成「過度拒絕虛無假設」H0:a1=1的現象，所以改用(8.18)來進行估計，此時虛無假設為H0:γ=0。

Dickey-Fuller檢定的三個形式 (1)不含截距項與時間趨勢 ∆yt= γyt-1+e t (8.19) (2)含截距項 ∆yt= a0+γμyt-1+e t (8.20) (3)含截距項與時間趨勢 ∆yt= a0+ γτyt-1+bt+e t (8.21) 檢定假設，H0:存在單根，即 H0:γ=0，或H0: γμ =0，或H0: γτ =0。

8.4 Dickey-Fuller 的單根檢定與衍生之檢定 我們利用四種模擬出來的時間序列資料圖，增加判斷的能力。在本書的網站http://yaya.it.cycu.edu.tw/ts/ 中可以找到 ex-ARIMA.wf1 的資料檔。 這四個模擬出來的資料，其真實的DGP 分別是： (1) 無截距項的 RW：Yt = Yt−1+ et (2) 有截距項的RW：YC1t =0.02 + YC1t-1+ et (3) 有截距項和時間趨勢的RW：YCTt = 0.01 + 0.02*t + YCTt-1 + et (4) 有截距項和時間趨勢項的DGP：YTRt=1+0.02t+et 其中的et是常態分配。

8.4 Dickey-Fuller 的單根檢定與衍生之檢定

8.4 Dickey-Fuller 的單根檢定與衍生之檢定

範例:8.1 Dickey-Fuller 單根檢定 1. 首先用Eviews 開啟ex-ARIMA.wf1，並開啟YC1 變數的視窗。 2. 畫出時間序列圖以協助判斷有無時間趨勢。

範例:8.1 Dickey-Fuller 單根檢定 3. 按 [View] 鈕，會出現選單如下圖，點選其中的 [UnitRoot Test]。

範例:8.1 Dickey-Fuller 單根檢定 4. 點選 [Unit Root Test] 會出現要輸入選項的對話視窗。

範例:8.1 Dickey-Fuller 單根檢定 5. 含截距與趨勢項的DF 檢定結果。

範例:8.1 Dickey-Fuller 單根檢定 6.重覆步驟4，這次在「Include in test equation」的選項上，改勾選「Intercept」。結果如下圖。

範例:8.1 Dickey-Fuller 單根檢定 7. 最後再以差分後的變數 (即重覆步驟3，但是在Test for unit root in 的選項上，改選「1st difference」來進行單根檢定。

8.4 Dickey-Fuller 的單根檢定與衍生之檢定 擴充的DF 檢定 (Augmented DF test) ADF 檢定式的殘差是為白噪音問題

範例:8.2 DF 檢定式中的殘差問題 1. 請打開 ex-ARIMA.wf1 的檔案，其中有一個變數名稱是YNS，這個變數是一個定態的變數，其DGP 如下： YNSt= 1.294 YNSt-1−0.2 YNSt-3−0.1 YNSt-4+et 2. 將YNS 變數打開，照例我們先將圖畫出來協助判斷用哪一種形式的DF 檢定，其趨勢圖如下。

範例:8.2 DF 檢定式中的殘差問題 3. 利用範例8.1 的步驟進行單根檢定。

範例:8.2 DF 檢定式中的殘差問題 4. Lag length = 0 的DF 檢定結果如下圖：

範例:8.2 DF 檢定式中的殘差問題 5. Lag length = 1 的ADF 檢定結果如下圖：

範例:8.2 DF 檢定式中的殘差問題 6. Lag length = 2 的ADF 檢定結果如下圖：

範例:8.2 DF 檢定式中的殘差問題 7. Lag length=3和4的ADF 檢定結果如下圖： 檢討與分析：

範例:8.3 手動進行ADF 檢定與檢定殘差 1. 估計 lag length = 1 的 ADF 檢定式。

範例:8.3 手動進行ADF 檢定與檢定殘差 2. 檢查ADF 檢定式的殘差之 Q 和 Q2。

範例:8.3 手動進行ADF 檢定與檢定殘差 3. 估計lag length=2的ADF檢定式與殘差Q 檢定。

8.4 Dickey-Fuller 的單根檢定與衍生之檢定 ADF 檢定式的殘差落後期之自動選擇

8.4 Dickey-Fuller 的單根檢定與衍生之檢定 ADF 檢定時是否含時間趨勢項與截距項之考量步驟 1. 先以含截距和時間趨勢的模型 (8.29) 式進行ADF 檢定。 2. 如果步驟1 的單根虛無假設未被拒絕，則必須檢定的迴歸式中，是否應去掉時間趨勢項。 3. 以不含有趨勢項 (但包含截距項) 的ADF 檢定式 (8.30) 式進行檢定。 4. 以不含截距項和時間趨勢項的ADF 檢定式 (8.31) 估計。

8.4 Dickey-Fuller 的單根檢定與衍生之檢定 Phillips-Perron 單根檢定

8.4 Dickey-Fuller 的單根檢定與衍生之檢定 KPSS 單根檢定

8.5 Panel 單根檢定 LLC 檢定

8.5 Panel 單根檢定 IPS 檢定 Fisher 檢定