動態幾何教學活動設計 左台益 Tai-Yih Tso  國立台灣師範大學數學系 中　華　民　國 94 年 10 月 13 日

摘 要 我們將從幾何學科的本質、訊息處理學習理論及動態幾何的特色討論應用動態幾何軟體，佈置幾何實驗環境，提供學習者探究幾何概念的教學模式。  

報告內容 幾何結構系統 幾何學習理論 動態學習系統 幾何實驗教學 討論建議結論

源由 科技的進步 數學教育的研究 建立資訊融入數學教學理論 教師使用資訊融入教學

與課程內容專家討論 教學實驗 設計教學活動 環境的特色與功能 教學理論

數位學習活動架構 科技特色 學科本質 學習理論 學習者為中心 生活議題為主軸 多重表徵學習環境 增進學生 深入了解 數學概念 多媒體 動態模擬 網路科技工具 科學探索 活動 科技特色 學科本質 學習理論

數學概念的複雜性 當教師直接以數學嚴密的邏輯語言陳述數學定義、概念或性質時，一般學生並不是很容易地建立此概念系統 數學性質通常隱藏著多重表徵的概念結構，在證明推理過程中，不易掌握。 概念結構

數學概念與解題 一所學校中，一位老師(P)就有二十位學生(S)， 請寫出P和S的函數關係。 已知一角的角平分線通過此角的頂點和此角內切圓的圓心。 給定一角求做此角的內切圓。 想一想

動態教學系統的運作 教學結構可以模式化成一動態平衡系統 幾何是什麼？ 如何學？ 教材 教法 評量 教師 學生 幾何核心主題為何？ 如何教？ 教學活動 局部封閉教學系統

幾何問題探索 某市區有三個消防站，它們的責任區應該如何劃分？勤務中心要設在何處，才會距離三個消防站等距離？ A B C 已知從勤務中心為中心點將市區劃分成三個區域，那麼三個消防站要設在何處，才會使得每一區域正好包含一個消防站而且此區域任何地點距離此消防站都會比到其他兩個消防站近。 勤務中心

幾何本質結構對偶性 Veblen(1934) 直覺事物的物理經驗 公理結構的數學抽象 Freudenthal(1971) 數形關係的空間科學 推理論述的邏輯系統 Farrell(1987) 具體世界的數學化過程 抽象世界的數學性產品 對偶結構 具體事物的圖形表徵 推理論述的符號語言

幾何教學的建議 今天的學習者所處理的，遠非古代發展之初的原始資料，而是一般教科書中經整理、編排的資料系統。…，我們常見的方式直接以定義方式引入，而非先提出例子。對老師而言這可能是最簡潔最精確的方式；對學生而言這是一種不智之舉。」 Skemp(1987) 數學概念通常經由兩種模式學得： 結構的方式從概念定義出發，再以解題練習精煉概念結構，由上而下的演繹推理方式習得數學內容； 操作的方式，從多文化的現象觀察，建構概念心像，再以性質推理，形成概念定義系統，由下而上的歸納歷程。 (Anna Sfard ， 1991) 幾何學習活動中應注重幾何圖形的觀察與操作（Bishop，1983；Grand，1990）。

數學概念定義與心像 概念定義： 概念心像： 形式定義（數學） 操作定義（物理空間） 心智圖像（視網膜空間圖像投射至記憶區的心像） 概念性質（典範案例、屬性特徵、部分全體推理） 何謂三角形？森林？橘子？線對稱？

推理論述的符號語言 形式定義 設a為平面α上一直線。若一定義在平面α上的一變換S，對平面α上任一點P，其對應點Q=S(P)，滿足下列條件：(1)若P在a上，則Q=P； (2) 若P不在a上，則a為線段PQ的垂直評分線。 則稱S是以a對稱軸之一線對稱變換。」 操作定義 摺紙 反射

心像 電話號碼？ 窗戶個數？

訊息處理模式 環境中的刺激 感官收錄 遺忘 輸入 編碼 短期-運作記憶區 第三層次：後設層次 第二層次：認知層次 第一層次：心智表徵 存入 長期記憶區 精緻化處理階段 解碼 輸出

幾何學習的訊息處理模式

environments supporting

視覺化過程 一個數學概念或問題僅以語意表徵呈現，往往是一種抽象形式而不易掌握。 這時使用工具如紙筆、電腦或直接在心智中產生及應用此數學概念或問題的圖形表徵，這樣一個過程就是一種視覺化的過程。 在幾何學習活動中，學習者常需在腦海中作用空間推理的思考，而視覺化可作為瞭解抽象幾何概念和知識的基礎。 (Yakimanskaya，1991)

Hadamard視覺化運作歷程 證明步驟 1.  我考慮所有從2到11的質數，即2,3,5,7,11。 2.  我作出它們的乘積 2×3×5×7×11=N。 3.  我將這個乘積加上1。 4. 此數若不是質數，必定可以被一質數整除，這個數就是所求的質數。 我的心像 看到一堆亂七八糟的數。 N是一個相當大的數，我眼前出現一個點，它遠離那堆亂七八糟的數。 我看見第二個點，稍稍離開第一個點。 我在那一堆數和第二個點中看到一個位置。

Bishop(1980)認為有兩種特別適合數學學習的空間圖形認知能力。 圖形認知的複雜性圖形認知 Bishop(1980)認為有兩種特別適合數學學習的空間圖形認知能力。 第一項是解讀圖像資訊的能力。 第二項是視覺圖形處理的能力。

幾何學習中圖形的四種理解能力。 Duval(1995) 圖形理解的複雜性 幾何學習中圖形的四種理解能力。 Duval(1995) 知覺性理解 操弄性理解 構圖性理解 論述性理解

動態幾何軟體 對於幾何情境，電腦可以提供一個豐富的視覺化效果， 這個觀點已普遍被學者及教師所接受（Osta，1998）。 Dynamic Geometry is to use computers as a ruler and compass replacement. The software can record the way you constructed lines, points and circles and able to quickly redo the construction after you changed some parameter. The first software packages that could be used for Dynamic Geometry were Geometer’s Sketchpad, which first used in 1989, and Cabri Geometre, dating back to 1988 . Today, there are more than 40 packages for Dynamic Geometry. 對於幾何情境，電腦可以提供一個豐富的視覺化效果， 這個觀點已普遍被學者及教師所接受（Osta，1998）。 電腦構圖比紙筆構圖容易與精確，且程序性的構圖交給電腦， 教師可將重點著眼於概念的發展上，因此利用電腦構圖輔助教 學，有助於學生的幾何學習（Clements & Battista，1992）。

動態幾何軟體特色 科技特色 動態幾何軟體The Geometer’s Sketchpad(1993)做為電腦繪圖工具。它具有如下基本功能： 能由簡易尺規作圖構造出複雜幾何圖形。 對固定結構圖形能作連續的變化。 提供動態模擬。 圖形變換時，能作長度、角度、比例、面積等度量功能。 可對結構性作圖形成巨集建構、文字說明，形成簡易操作鈕。

van Hiele學習理論 van Hiele(1984)夫婦將幾何思維發展分成五個層次： 層次1，視覺辨識(visualization)：學生以圖形的外表為發展概念的基礎，依據圖形整體外觀形狀辨認幾何圖形。例如，能從圖形外觀識別，操弄三角形、正方形等圖形，和構成要素(configuration)，但不能情楚地確定圖形性質。 層次2，描述分析(analysis)：學生經由觀察、測量、繪圖和製作模型等建立圖形組成要素與這些圖形間的關係等圖形的性質。例如，能分析出矩形的對角線相等、菱形的四邊相等，但不能清楚地將一些圖形性質之間關係聯系起來。

van Hiele學習理論 層次3，非形式推理(informal deduction)：學生經由非正式的論證，分類圖形結構，比較各類彼此間的關係及幾何圖形的內在屬性以及各個圖形之間包含關係。例如，能說明矩形是平行四邊形的一種，但不會組織一系列性質來證明所觀察到的性質。 層次4，形式演繹(formal deduction)：學生能經由抽象推理、邏輯的詮釋，證明各種幾何性質和定理，且能知道證明的方法不只一種。例如，可經由平行線性質證明三角形的內角和為180度，但尚不能理解公理體系間的關係。 層次5，嚴謹系統(rigor)：學生對數學系統的形式推理相當熟練，能夠分析操作公理和定義的結果。能夠瞭解公理化系統，比較分析不同的公設體系，如非歐幾何。

van Hiele學習理論 層面1：諮詢(inquiry / information) van Hiele五個學習層面認為，許多學生學習幾何之所以產生困難，主要是因為學校的教科書教材內容並未能符合學生思維層次，而造成學生往往靠記憶或背誦來學習以致於學習效果不佳。為了促使學生從一個層次到另一個層次的發展，van Hiele也提出五個關連的學習層面，作為序列的教學活動設計。 層面1：諮詢(inquiry / information) 教師經由觀察發問與學生雙向溝通，瞭解學生如何使用字彙與用辭，讓學生對所學主題有所瞭解，並設立進一步學習步驟。 層面2：導向(guided orientation) 教學宜有計畫的安排活動，依序引導學生認識學習方向，熟悉教材特定結構。此階段，大部份的教材內容是一些簡短課題，學生可以一個步驟即完成的簡短作業。

van Hiele學習理論 層面3：解說(explication) 學生依據以往經驗，在教師引導討論學習的主要內容。學生透過課堂上討論表達他們所觀察到的結構，此時教師應注意學生的習慣用語，幫助學生精練正確合適的詞彙。 層面4：探索(free orientation) 此階段，教材為較複雜且多步驟的內容，作業也可能需要不同方法以解決問題。學生尋找自己方法解決問題以累積經驗。經過一些自我探索過程，對所學課題教材作明確的關連。 層面5：統整(integration) 學生在此階段討論自己的方法，形成整體的概念。教師適時學學生提供整體知識的評述，以促使學生對所習教材、內化為統整的基模。

van Hiele學習理論 van Hiele在觀察學生幾何學習過程亦提出心智內部結構三個因素：符號(symbol)、訊號(signal)及蘊函(implication)。個體在學習幾何時，首先對所觀察、知覺到的圖形、形狀、性質及子圖間關係投影至其心智形成心像。 當個體心像中的圖形性質經由進一步心智分析、討論並說明這些性質關係而形成符號。此時，符號(或已命名)將心像中圖形特質轉化成一些語意表徵，而變成可用來思維操作的符號。而此符號具有圖形的幾何性質作為比較與辨識的功能。例如，一個等腰三角形(此一語意符號以“△”符號表示)具有兩邊相等，兩底角相等及一對稱線這些性質。 經過一段時間的學習，符號表徵指引學生的思維方向而形成解題的訊號而瞭解幾何命題間的蘊函關係。

van Hiele學習理論 提供學生各種幾何經驗是van Hiele理論應用於教材設計的重要觀點。 從生活情境的具體經驗可激發學生視覺辨識及描述分析二層次的思維經驗。在動手作數學的學習活動過程中，提供學生在行動中反思建構非形式推理的思維經驗。經過一段時間，學習經由分析、推理而達成歸納統整的基模。整體教材設計模式以下圖表示。

設計理念 主要理念採取訊息處理的認知發展模式，將數學概念、數學命題、數學方法及數學史故事融於動態幾何學習環境中。 學習者訊息處理活動步驟中，均將牽涉到數學思維的活動，而此活動將受後設認知所監控。

數學學習設計模式

數學實驗學習活動 數學實驗學習環境 基本上，有兩種觀點：(1)演繹產品，(2)歸納歷程，作為數學學習活動設計基礎 。 這兩種方式均須藉助表徵系統作為溝通的工具。學習者在活動中連結多重表徵語言以發展認知結構。數學實驗活動設計即是依歸納歷程觀作現象現察，操作多文化數學以發展數學模式。 數學實驗探索活動

整合電腦的教學策略

範例說明 圓與直線 高等幾何 三角函數 正多面體 線對稱 摺紙飛機 Bezier curve Inversion 3d 木匠作圓 (1) (2) (3) (4) 三罐問題 (1) (2) (3) (4) 4 6 8 12 20 對稱 1 1

結 論 傳統的數學教學偏重演繹、證明的方式宣告數學性質，忽略以觀察、測試、實驗等歸納方式以獲得幾何性質。 數學習的本質應注重啟發式的學習。Schuman(1993)認為幾何的學習應同時注重啟發式教學的兩個方向(1)認知的獲得(歸納法)，(2)認知的發展(演繹法)。 啟發式的數學習活動包含觀察、操作、實驗的歸納探索及邏輯推理的演繹過程。組成概念元素的觀察及元素之間相關性的操作，可使演繹證明過程更行清楚與便利(HershKowitz，1989)。 其實許多數學結果類似自然科學，事先由觀察和歸納所發現，然後再加以證明其真確性。一些研究者曾經討論過以操作活動為基礎的學習的成效性，說明數學習活動中應注重幾何圖形結構的觀察與操作(Bishop，1983；Grande，1990)。 在主題式的科學整合網路學習環境下，設計數學科的情境學習，發展數學實驗的學習活動。