授課內容： 簡單線性迴歸模型：非線性模型、 異質變異、自我相關 政治大學行政管理碩士學程共同必修課 課程名稱：社會科學研究方法（量化分析） 授課老師：黃智聰 授課內容： 簡單線性迴歸模型：非線性模型、 異質變異、自我相關 參考書目：Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons 日期：20011年12月12日

非線性模型 第一類模型: 變數為非線性的，但未知參數是線性的。 Y=αLβK γ lnY=δ+βln(L)+γln(K)

多項式和互動變數 迴歸模型中的斜率為連續性的變化。 TC=α1+α2Q+α3Q2+α4Q3+e PIZZA=β1+β2AGE+β3Y+e = β2 :在某一個所得水準之下，預期比薩的支出會隨著年齡增加一歲而變動 β2 的量。 PIZZA AGE

= β3 :在某一年齡之下，所得每增加＄1預期比薩支出會增加β3。 例: 隨著一個人年齡的增長，他們對於比薩的邊際偏好會減少。 PIZZA = β3 :在某一年齡之下，所得每增加＄1預期比薩支出會增加β3。 例: 隨著一個人年齡的增長，他們對於比薩的邊際偏好會減少。 這是一個所得的影響決定於年齡的例子 AGE × Y PIZZA=β1+β2AGE+β3Y+β4(AGE×Y) +e Y

受到所得影響下預期比薩的支出，則決定於AGE。 =β2+β4 Y AGE的影響取決於所得。 =β3+β4 Age 受到所得影響下預期比薩的支出，則決定於AGE。 E(PIZZA) AGE E(PIZZA) Y

下列兩條式子有何不同 Pizza=342.8848***-7.5756***AGE+0.0024***Y Pizza=161.4654-2.9774AGE+0.0091**Y-0.00016**(Y×AGE) AGE 本身不再是個顯著的解釋因素。 這表示AGE會透過與所得的互動來影響比薩的支出---也就是它會影響比薩的邊際支出傾向 估計 AGE 的邊際影響

異質變異（Heteroskedasticity） 問題: 放寬這個假設: 然後我們稱這樣的情形為異質變異 在使用橫斷面換資料（cross-sectional data）時常會遇到變異數不同或質變異性，這樣的情形也同樣會發生在時間序列資料（time-series data）。

異質變異對最小平方估計式的影響 最小平方估計式仍然是線性且不偏的估計式，但它不再是最佳線性不偏估計式(BLUE)。 通常以最小平方估計式所計算出的標準誤是不正確的。使用這些不正確的標準誤會誤導假設檢定。

檢測異質變異性 1.殘差圖（Residual Plots） 如果誤差是同質變異的，在殘差裡不應該會有任何種類的類型（patterns）。 然而，當我們有一個以上的解釋變數時 ，估計的最小平方函數不容易被畫在一張圖上。 我們可以做的是畫出最小平方殘差相對於各解釋變數的圖。

2. The Goldfeld-Quandt 檢定 H0: homoskedasticity a. 將樣本分為大小大約相等的兩個子樣本。 若我們相信變異數與 Xt 有關，則應根據Xt 大小將觀察值分為兩類。 b. 計算每個子樣本的估計誤差變異數 及 。若兩個樣本之變異數相同的虛無假設不是真的, 那麼預期 會很大。

c. 計算 GQ= 若 GQ＞Fc (T1-K, T2-K) 拒絕變異數相同的虛無假設 若樣本一分為二, 則T1=T2=T /2。

經由模型轉換的一般化最小平方 一般化最小平方 (1) i=1,…,13 i=14,…,26 (2) , for i=1,…13

其中 σj 不是 σ1 就是 σ2 , 決定於選取的那一半觀察值。 ∴ 估計 LSE (1)(2) 可得到 , 然後計算 , , 其中 σj 不是 σ1 就是 σ2 , 決定於選取的那一半觀察值。 然後應用最小平方在轉換整個變數 檢定變異數假設

自我相關（ Autocorrelation） 橫斷面資料（Cross-section data）:隨機樣本 誤差項彼此間互不相關。 時間序列資料（Time-series data）: 相鄰發生的誤差是有可能會彼此相關。 當相鄰發生的誤差項互為相關時， 稱為自我相關（autocorrelation）。

從課本的表和圖中可知:負的殘差值傾向於跟隨負的殘差值，而正的殘差值則傾向於跟隨正的殘差值。 for t≠ s 自我相關 but if for t≠ s 例: R2=0.706 (0.169) (0.111) (SE) 從課本的表和圖中可知:負的殘差值傾向於跟隨負的殘差值，而正的殘差值則傾向於跟隨正的殘差值。

一階自我迴歸誤差 一階自我迴歸模型 AR(1) 若ρ 由前一期帶到下一期的影響越大，衝擊擴散的速度也越慢。 AR(1) 誤差的統計性質 for t≠ s 若ρ 由前一期帶到下一期的影響越大，衝擊擴散的速度也越慢。 AR(1) 誤差的統計性質 (1)-1＜ρ＜1，若 ＞1 Then will ∞ , as t ∞ (2)E(et )=0 et 也是同質變異的，因為σe2不隨時間而改變。 (3)

(4) k＞0 因為 ＜ 1 ∴ As t ∞

對最小平方估計式的影響 一個具有自我相關的方程式，若是忽略或沒有察覺到這一點，就會發生下列情形： 最小平方估計式仍然是線性不偏估計式，但它不再是最佳的。 最小平方估計式的標準誤不再是正確的 使用這些標準誤會誤導假設檢定。

一般化最小平方（GLS）會比最小平方提供給我們一個更窄、可透露多資訊的信賴區間。

只計算 (T-1)個變數，忽略第一個觀察值≠>不偏 估計 ρ 轉換第一個觀察值 先估 然後重新估計 β0,β1 => 在考慮 AR下。

自我相關的檢定 Durbin Watson 檢定 The Bound Test H0: ρ= 0，H1:ρ> 0 dLc < d < dUc 若 d < dLc 拒絕 H0: ρ= 0 ，接受 H1:ρ> 0 若 d > dUc 無法拒絕 H0: ρ= 0 若 dLc < d < dUc 這個檢定是不具決定性的。 T=34 (觀察值個數) K=2(參數個數) β0、β1

(Lagrange Mulitipler Test) H0: ρ= 0 ， H1:ρ≠0 若 DW 檢定與 LM 檢定不一致時？ DW 檢定導致型I錯誤。 LM 檢定導致型II錯誤。

注意: 1.Yt=β0+β1X1+ρet-1+νt，但 t=1,……,T e0=? (1)設定 e0=0 (2)忽略 e0 2.DW 檢定在有限樣本的情況下較精確。 LM 檢定適用在近似於大樣本的情況下。 3.若其中一個解釋變數為延遲變數Yt-1，則不適合用DW檢定。但LW檢定仍然可以用在這種情形之下。 4.在越多時間延遲的情況下，更適合用LM檢定。

用AR(1)誤差做預測 YT+1=β0+β1XT+1+eT+1 YT+1=β0+β1XT+1+ρeT+νT+1 若我們假設 XT+h=value 則我們就可以預測 h 期!