宜都市一中 张祥进 宜都市一中 张祥进 宜都市一中 张祥进 宜都市一中 张祥进 宜都市一中 张祥进

|MF1|+|MF2|=2a 用符号语言描述: ______________(其中__为动点, F1,F2为定点,___为定长) M 2a

椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ________________ 图 形 焦点坐标 _____________ 图　形 焦点坐标 _____________ a,b,c的 关系 ________ (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) a2=b2+c2

当a>b>0时,方程 表示焦点在x轴上的椭圆,方 程 表示焦点在y轴上的椭圆,即焦点在哪个 轴上相应的那个项的分母就大.

【预习小测】 1.平面内一动点M到两定点F1,F2距离之和为常数2a,则点M的轨迹为　(　　) A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹

【解析】选D.当2a>|F1F2|时,轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段;当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.

【解析】由题意可知a2=169,b2=25,所以c= =12. 又焦点在y轴上,所以焦点坐标为(0,±12). 答案:(0,±12) 2.椭圆 的焦点坐标是　　　　　　. 【解析】由题意可知a2=169,b2=25,所以c= =12. 又焦点在y轴上,所以焦点坐标为(0,±12). 答案:(0,±12)

3.若椭圆的焦点在x轴上,焦距为2,且经过( ,0),则 椭圆的标准方程为________. 【解析】由题意知,椭圆的焦点在x轴上,c=1,a= , 所以b2=4,故椭圆的方程为 =1. 答案: =1

4.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=_____. 因为其中一个焦点为(0,2),所以焦点在y轴上,且c=2, 即 =2,解得k=1. 答案:1

5.已知 =1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为__________. 【解析】由题意知0<m2<16,即0<m<4或-4<m<0. 答案:(-4,0)∪(0,4)

6.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意 一点P到两焦点的距离之和等于10. (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经 过点 .(仿照教材P34例1的解析过程)

【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上, 所以设椭圆的标准方程为 (a>b>0). 因为2a=10,所以a=5,又因为c=4. 所以b2=a2-c2=52-42=9. 故所求椭圆的标准方程为 =1.

（2）由椭圆的定义知,2a= 所以a= . 又因为c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6. 故所求椭圆的标准方程为 =1.

类型一:椭圆的定义 【典例1】(1)下列说法正确的是　(　　) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和大于8 的点的轨迹是椭圆

B.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆

(2)在椭圆 上求一点P使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍,则P点坐标为________.

【典例2】已知△ABC的顶点B,C在椭圆 +y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是________.

【解析】设A为椭圆左焦点,而BC边过右焦点F,如图. 可知|AB|+|BF|=2a, |CA|+|CF|=2a,两式相加得 |AB|+|BF|+|CA|+|CF|=|AB|+ |CA|+|BC|=4a,而椭圆标准方程为 +y2=1,因此a=2,故4a=8. 答案:8

【典例3】 椭圆 上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于________.

【解析】设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知|MF2|=10-2=8. 又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点, 所以|ON|= |MF2|=4. 答案:4

类型二:定义法求椭圆的标准方程 【典例1】已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.

【解题指南】根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10,根据A,B点的坐标,可以判定点P的轨迹方程是以A,B为焦点的椭圆,这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2,b2的问题.

【解析】设圆P的半径为r,

又圆P过点B,所以|PB|=r, 又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10. 所以两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|). 所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.

所以2a=10,2c=|AB|=6, 所以a=5,c=3. 所以b2=a2-c2=25-9=16. 即点P的轨迹方程为 .

【延伸探究】(变换条件)典例中条件改为已知圆A: (x+3)2+y2=100,圆B:(x-3)2+y2=4,圆P与圆A内切,与圆B外切,求圆心P的轨迹方程.

【解析】设圆P的半径为r,则 所以|PA|+|PB|=12>6=|AB|, 故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且 所以a=6,b2=27, 所以点P的轨迹方程是 =1.

【规律总结】定义法求椭圆的标准方程 (1)先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两定点间的距离. (2)若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.

【巩固训练】如图,圆C:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,求点M的轨迹方程.

【解析】由垂直平分线性质可知|MQ|=|MA|, 所以|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|.所以|CM|+|MA|=4. 又因为|AC|=2,所以M点轨迹为椭圆. 由椭圆的定义知:a=2,c=1, 所以b2=a2-c2=3. 所以所求轨迹方程为: =1.

类型三:待定系数法求椭圆的标准方程 【典例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0). (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0). (3)经过点A( ,-2)和点B(-2 ,1).

【解析】(1)由于椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为 (a>b>0). 因为2a= =10,所以a=5. 又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为 .

(2)由于椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为 (a>b>0). 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0), 所以 故所求椭圆的标准方程为 +x2=1.

(3)方法一:①当焦点在x轴上时, 设椭圆的标准方程为 (a>b>0). 依题意有 故所求椭圆的标准方程为

②当焦点在y轴上时, 设椭圆的标准方程为 (a>b>0). 依题意有 因为a>b>0,所以无解. 所以所求椭圆的标准方程为

方法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0, 所以所求椭圆的标准方程为

【训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,且a=4,c=2. (2)经过点A(0,2)和B

【解析】(1)a2=16,c2=4,所以b2=16-4=12, 且焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为

(2)设所求椭圆的标准方程为Mx2+Ny2=1 (M>0,N>0,M≠N). 因为椭圆经过A(0,2)和B 两点, 所以 所以所求椭圆方程为x2+ =1.

【方法技巧】用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤

拓展类型:椭圆定义的应用 【典例4】如图所示,已知椭圆的方程为 =1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°, 求△PF1F2的面积.

【解题指南】求△PF1F2的面积需要用 = |PF1|·|F1F2|·sin 120°;椭圆可以提供|PF1|和|PF2|的等量关系;求解本题可由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程,解方程组求得|PF1|,再用面积公式求解.

【解析】由已知得a=2,b= , 所以c= ,|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2中,由余弦定理,得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos 120°, 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①

由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|= . 所以 = |PF1|·|F1F2|·sin 120°= 即△PF1F2的面积是 .

在例题题设条件不变的情况下,求点P的坐标. 解：点P的坐标为

【规律总结】 1.椭圆定义的应用 (1)实现两个焦点半径之间的相互转化. (2)将两个焦点半径之和看成一个整体,求解定值问题.

2.椭圆定义解题的团体思想 对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的△F1PF2, 求三角形的面积时注意整体思想的应用,如已知 ∠F1PF2,可利用S= absinC把|PF1|·|PF2|看成一个

整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,而无需单独求出|PF1|和|PF2|,这样可以减少运算量.

【拓展延伸】椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.

【巩固训练】（1）设P是椭圆 =1上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. （2）已知 中， , 有一个椭圆C以P为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A,B.试建立适当的坐标系，求出椭圆方程。

【解析】(1)由椭圆方程知,a2=25,b2= ,所以c2= ,所 以c= ,2c=5. 在△PF1F2中, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°, 即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,

即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② 所以 = |PF1|·|PF2|·sin60°= . (2)

类型四：椭圆的轨迹问题

例7，已知 中， 成等差数列，且 (1）求顶点C的轨迹方程； （2）求 重心G的轨迹方程。

解：（1） （2）

谢谢