第4课时 二力合成法与正交 分解法 连接体问题 考点自清 一、二力合成法与正交分解法 1.二力合成法 分解法 连接体问题 考点自清 一、二力合成法与正交分解法 1.二力合成法 运用牛顿定律解题时,如果物体只受两个力作用,若已知其中一个力和另一个力的方向,又知道加速度的方向,即合力的方向,就可以由二力合成的 法则,求出 的大小,另一分力的 平行四边形 合力

以及物体的 .若已知物体的加速度,由牛顿定律求出物体的 ,又已知其中一个分力,可求另一分力的大小和方向. 2.正交分解法 所谓正交分解法是把一个矢量分解在两个互相 的坐标轴上的方法. 正交分解法是一种常用的矢量运算方法,也是解牛顿第二定律题目最基本的方法.物体在受到三个或是三个以上的不在同一直线上的力的作用时一般都采用正交分解法. 大小 加速度 合力 垂 直

二、整体法与隔离法解连接体问题 1.整体法 (1)整体法是指系统内(即连接体内)物体间无相对运动时(具有相同加速度),可以把连接体内所有物体组成的系统作为 考虑,分析其受力情况,对整体列方程求解. (2)整体法可以求系统的 或外界对系统的作用力. 2.隔离法 (1)隔离法是指当我们所研究的问题涉及多个物体组成的系统时,需要求连接体内各部分间的相 整体 加速度

互作用力,从研究方便出发,把某个物体从系统中 出来,作为研究对象,分析受力情况,再列方程求解. (2)隔离法适合求物体系统内各 的相互作用力或各个物体的加速度. 隔离 物体间

热点聚集 热点一 正交分解法的应用 1.正交分解法的基本步骤 热点一 正交分解法的应用 1.正交分解法的基本步骤 第一步,建立正交x、y坐标,这是最重要的一步,x、y坐标的建立,并不一定是水平与竖直方向,可根据问题方便来设定方向,不过x与y的方向一定是相互垂直. 第二步,将题目所给定的矢量和要求的各矢量沿x、y轴方向分解,求出各分量,凡与x、y轴方向一致的为正;凡与x、y轴反向的为负,标以“-”号,凡与轴垂直的矢量,该矢量在该轴上的分量为0.

第三步,根据在各轴方向上的运动状态列方程,这样就把矢量运算转化为标量运算;若各时刻运动状态不同,应根据各时间区间的状态,分阶段来列方程. 第四步,根据各x、y轴的分量,求出该矢量的大小. 2.正交分解法的表示方法 Fx合=F1x+F2x+F3x+…=max Fy合=F1y+F2y+F3y+…=may

3.为了减少矢量的分解,在建立坐标系时确定x轴的正方向一般有两种方法:

热点二 整体法与隔离法选取的原则 系统问题是指在外力作用下几个物体连在一起运动的问题,系统内的物体的加速度可以相同,也可以不相同,对该类问题处理方法如下: 1.隔离法的选取 (1)适应情况:若系统内各物体的加速度不相同,且需要求物体之间的作用力. (2)处理方法:把物体从系统中隔离出来,将内力转化为外力,分析物体的受力情况和运动情况,并分别应用牛顿第二定律列方程求解,隔离法是受力分析的基础,应重点掌握.

2.整体法的选取 (1)适应情况:若系统内各物体具有相同的加速度,且不需要求物体之间的作用力. (2)处理方法:把系统内各物体看成一个整体(当成一个质点)来分析整体受到的外力,应用牛顿第二定律求出加速度(或其他未知量). 3.整体法、隔离法交替运用原则:若系统内各物体具有相同的加速度,且要求物体之间的作用力时,可以先用整体法求出加速度,然后再用隔离法选取合适的研究对象,应用牛顿第二定律求作用力.即“先整体求加速度,后隔离求内力”.

特别提示 运用整体法分析问题时,系统内各物体的加速度的大小和方向均应相同,如果系统内各物体的加速度仅大小相同,如通过滑轮连接的物体,应采用隔离法求解.

题型探究 题型1 二力合成法的应用 如图1所示,动力小车上有一竖杆,杆顶端用细绳拴一质量为m的小球.当小车沿倾角为30°的斜面匀加速向上运动时,绳与杆的夹角为60°,小车的加速度为 ( ) A. B.g C. g D. 图1

解析 该问题中,小球受到两个不在同一直线上的力的作用,分析小球的受力后,画出受力图,用合成法求合力及绳子拉力,再用牛顿第二定律列方程求出加速度. 小球的受力及力的合成如右图所示 由几何关系可得:∠1=∠2=30°,所以 F=mg,由F=ma得a=g 答案 B

方法提炼 对只受两个力作用的物体应用牛顿定律时,二力合成法比较简单.这个方法的关键点是确定加速度的方向,即合力的方向,以及确定两个分力的方向,这是做平行四边形的基础.

变式练习1 一倾角为θ的斜面上放一木块,木块上固定一支架,支架末端用细绳悬挂一小球,木块在斜面上下滑时,小球与滑块相对静止共同运动,当细线(1)沿竖直方向;(2)与斜面方向垂直;(3)沿水平方向,求上述3种情况下滑块下滑的加速度(如图2所示). 图2

解析 (1)如图(a)所示,FT1与mg都是竖直方向,故不可能有加速度.FT1-mg=0,a=0,说明木块沿斜面匀速下滑. (2)如图(b)所示,FT2与mg的合力必为加速度方向,即沿斜面方向,做出平行四边形.可知F合=mgsinθ 由牛顿第二定律知a= =gsinθ 即加速度沿斜面向下,大小为gsinθ.

(3)由于细绳只能产生拉力且沿绳的方向,故小球受力情况如图(c)所示,由图可见F合= 即a= ,方向沿斜面向下. 答案 (1)0 (2)gsinθ沿斜面向下 (3) 沿斜面向下

题型2 正交分解法的应用 如图3所示,图3传送带与地面的夹角θ=37°,从A到B长度16 m,传送带以10 m/s的速率逆时针转动,在传送带上端A无初 速度地放一个质量为m= 0.5 kg的小物体,它与传 送带之间的动摩擦因数为 0.5.求物体从A运动到B所需时间是多少？ (sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2) 做好对物体受力和运动过程的分析,并注意挖掘题目中的隐含条件. 思路点拨

解析 物体放在传送带上后,由于传送带的速度大于物体的速度,物体受沿斜面向下的滑动摩擦力Ff,物体受力如图所示. 由牛顿第二定律得 mgsinθ+μmgcosθ=ma1 解得a1=g(sinθ+μcosθ)=10×(0.6+0.5×0.8) m/s2 =10 m/s2 物体加速至与传送带 速度相等需要的时间 t1= t1时间内物体的位移x1=

因x1<L=16 m,所以物体未滑到B点. 由于μ<tanθ,物体将继续加速下滑,物体受力如图所示. 由牛顿第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma2 解得a2=g(sinθ-μcosθ) =10×(0.6-0.5×0.8) m/s2 =2 m/s2 设后一阶段物体滑至B处所需时间为t2 则L-x1=vt2+ a2t22 解得t2=1 s(t2=-11 s,舍去) 所以物体由A到B的时间t=t1+t2=2 s. 答案 2 s

题型3 整体法与隔离法的应用 如图4所示,一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B,以速度v1=30 m/s进入向下倾斜的直车道.车道每100 m下降2 m.为使汽车的速度在x=200 m的距离内减到v2=10 m/s,驾驶员必须刹车.假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力,且该力的70%作用于拖车B,30%作用于汽车A.已知A的质量m1=2 000 kg,B的质量m2=6 000 kg.求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力.重力加速度g取10 m/s2.

思维导图 解析 汽车沿倾斜车道做匀减速运动,用a表示加速度的大小,有v22-v12=-2ax ① 用F表示刹车时的阻力,根据牛顿第二定律有 F-(m1+m2)gsin α=(m1+m2)a ② 式中sin α= =2×10-2 ③ 图4

设刹车过程中地面作用于汽车的阻力为Ff 根据题意Ff= ④ 方向与汽车前进方向相反:用FN表示拖车作用于汽 车的力,设其方向与汽车前进方向相同.以汽车为研 究对象,由牛顿第二定律有 Ff-FN-m1gsin α=m1a ⑤ 由②④⑤式得 FN= (m1+m2)(a+gsin α)-m1(a+gsin α)⑥ 由以上各式,代入有关数据得FN=880 N 答案 880 N

规律总结 整体法、隔离法交替运用原则:若连接体内各物体具有相同的加速度,且要求物体之间的作用力时,可以先用整体法求加速度,再用隔离法求物体间的相互作用.

变式练习2 小车上固定有一个竖 直方向的细杆,杆上套有质量为M的 小环,环通过细绳与质量为m的小球 连接,当车向右匀加速运动时,环和球与车相对静止,绳与杆之间的夹角为α,如图5所示.求杆对环作用力的大小和方向. 解析 以小环、小球整体为研究对象,设Fx表示水平方向受力,Fy表示竖直方向受力,β表示受力方向与杆之间的夹角,则Fx=(M+m)gtan α,Fy=(M+m)g 所以杆对环作用力的大小为 图5

F= tan β= =tan α,β=α,方向沿右上方与杆间的夹角为α. 答案 方向沿右上方与杆间的夹角为α

题型4 建立匀减速运动模型解题 某电视台娱乐节目组在游乐园举行家庭搬砖比赛活动,比赛规则是:向行驶中的小车上搬放砖块(如图6甲所示),且每次只能将一块砖无初速的放到车上,车停止时立即停止搬运,以车上砖块多少决定胜负.已知每块砖m=0.8 kg,小车上表面光滑且足够长,比赛过程中车始终受恒定牵引力F=25 N作用,未放砖块时车以v0=2.5 m/s匀速前进.某家庭上台比赛时每隔T=1 s搬放一块,图乙中仅画出了比赛开始1 s内车运动的v—t图象.(g取10 m/s2) 求: 【例4】

(1)小车的质量及车与地面间的摩擦因数. (2)车停止时车上有多少块砖？ 解析 (1)开始比赛前车匀速运动,由F=μMg ① 放上第一块砖后车减速运动,加速度大小为a1 由图象得a1= =0.2 m/s2 ② 图6

对小车由牛顿第二定律μmg=Ma1 ③ 由①②③式联立解得M=10 kg ④ μ=0.25 ⑤ (2)放上第一块砖后1 s,车的速度为v1,加速度为a1 v1=v0-a1t ⑥ a1= 放上第二块砖后1 s车的速度为v2 v2=v1-a2t a2= 同理v3=v2-a3t 放第n块砖作用1 s后车速为vn,加速度为an vn=vn-1-ant ⑦ an= ⑧

由以上各式可得 vn=v0-(a1+a2+…+an)t 将a1、a2……an代入得: vn=v0- (1+2+3+…+n) =v0- ⑨ 令vn=0代入⑨式解得n=4.5 故停车前最多可以放5块砖. ⑩ 答案 (1)0.25 (2)5块

评分标准 本题共15分.其中①③⑦⑧⑨每式2分,其余每式1分. 名师导析 本题涉及到两点值得重视的问题:一是物理模型的建立,二是数学知识在物理中的应用.这道试题要求学生能从题目描述中抽象出物理模型,运用牛顿定律分析每段时间内的加速度,确定各段时间内的加速度之间的关系,从而运用数列知识求解.

素能提升 1.如图7所示, 放在粗糙水平面上的物块A、B用轻质弹簧秤相连,两物块与水 平面间的动摩擦因数均为μ. 今对物块A施加一水平向左的恒力F,使A、B一起向左匀加速运动,设A、B的质量分别为m、M,则弹簧秤的示数为 ( ) A. B. C. D. 图7

解析 取AB整体分析:F-μ(M+m)g=(M+m)a ① 取B分析:F′-μMg=Ma ② 由①②解得F′= ,故A项正确. 答案 A

2.如图8所示, 倾斜索道与水平面夹角 为37°,当载人车厢沿钢索匀加速向 上运动时,车厢的人对厢底的压力为 其重量的1.25倍,那么车厢对人的摩 擦力为其体重的 ( ) A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 解析 当车厢沿钢索方向匀加速向上 运动时,人与车厢具有相同的加速度为 a,将a分解为水平方向分量a1和竖直方 向分量a2,如右图所示,则a1=acos 37° = a ① 图8

a2=asin 37°= a ② 对人受力分析如右图所示.对人分别在水平方向和竖直方向应用牛顿第二定律列方程得: 水平:Ff=ma1 ③ 竖直:FN-mg=ma2 ④ 由①③解得:Ff= ma ⑤ 将④式代入数据得: 1.25mg-mg= ma ⑥ 由⑤⑥解得: 答案 B

3.(2008·海南·9)如图9所示,水平地 面上有一楔形物体b,b的斜面上有一小物 块a,a与b之间、b与地面之间均存在摩擦. 已知楔形物体b静止时,a静止在b的斜面 上.现给a和b一个共同的向左的初速度, 与a和b都静止时相比,此时可能 ( ) A.a与b之间的压力减小,且a相对b向下滑动 B.a与b之间的压力增大,且a相对b向上滑动 C.a与b之间的压力增大,且a相对b静止不动 D.b与地面之间的压力不变,且a相对b向上滑动 图9

解析 原来a受力如图 则FNsinθ-Ffcosθ=0 ① FNcosθ=mg-Ffsinθ ② 现给a与b共同向左的初速度后,由于地面的摩擦,b有 向右的加速度,a不可能沿斜面下滑,A错.若a相对b向 上滑动,则a受到向下的摩擦力,则此时FN′cos θ ＞mg+Ff′sin θ,与②式比较得出此时a、b间压力 增大;b与地面的压力也增大,B对,D错. 若a、b相对静止,a有向右的加速度a,则有 FN′sin θ-Ffcos θ=ma与①式比较得出a、b间压 力增大,C对. 答案 BC

4.如图10所示,在光滑的水平面上 放着紧靠在一起的A、B两物体, B的质量是A的2倍,B受到向右的 恒力FB=2 N,A受到的水平力FA= (9-2t) N(t的单位是s). 从t=0开始计时,则 ( ) A.A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的 倍 B.t＞4 s后,B物体做匀加速直线运动 C.t=4.5 s时,A物体的速度为零 D.t＞4.5 s后,A、B的加速度方向相反 图10

解析 对于A、B整体根据牛顿第二定律有 FA+FB=(mA+mB)a,开始时合力为11 N,3秒末合力为5 N, 故A正确.设A、B间的作用力为FN,则对B进行分析, 由牛顿第二定律可得FN+FB=mBa,解得FN=MB -FB = N.当t=4 s时,FN=0,A、B两物体开始分 离,此后B做匀加速直线运动,故B正确;而A做加速 度逐渐减小的加速运动,当t=4.5 s时,A物体 的加速度为零而速度不为零,故C错误.t＞4.5 s后,A 所受合外力反向,即A、B的加速度方向相反,故D正确. 当t＜4 s时,A、B的加速度均为a= 综上所 述,选项A、B、D正确. 答案 ABD

5.如图所示,车厢里悬挂着两个质量不同的小球,上 面的球比下面的球质量大,当车厢向右做匀加速运 动时(空气阻力不计),两个小球稳定后所处的位置 在下列各图中正确的是 ( )

解析 两个小球稳定后与车厢一起向右做 匀加速运动,它们的加速度相同,先使用整 体法求得a=gtanθ,再使用隔离法研究B 物体a=gtanθ,与竖直方向的角度相同, 所以OA与AB在一条直线上,B正确. 答案 B

6.如图11所示,有一辆汽车满载西瓜 在水平路面上向左匀速前进.突然 发现意外情况,紧急刹车做匀减速 运动,加速度大小为a,则中间一质 量为m的西瓜A受到其他西瓜对它的作用力的合力的大小和方向是 ( ) A.ma,水平向左 B.ma,水平向右 C.m ,斜向右上方 D.m ,斜向左上方 图11

解析 设其他西瓜对它的作用力竖直向上的分力为 Fy,水平向右的分力为Fx,由牛顿第二定律知, Fx=ma,Fy=mg,所以其他西瓜对它的作用力的大小 为F= ,方向斜向右上方,故选C. 答案 C

7.如图12所示,物体的质量m=4 kg, 与水平地面间的动摩擦因数为 μ=0.2,在倾角为37°、大小为 10 N的恒力F的作用下,由静止开 始加速运动,(g=10 m/s2,sin 37° =0.6,cos 37°=0.8).试求: (1)物体运动的加速度大小a. (2)若t1=5 s时,撤去恒力F,物体还能继续滑行的 距离和时间. 图12

解析 (1)物体在加速运动时,受力分析如图所示,由 牛顿第二定律得: Fcos 37°-Ff=ma Fsin 37°+FN=mg Ff=μFN 由以上三式可得:a=0.3 m/s2 (2)撤去F时,物体的速度v=at1=1.5 m/s 撤去F后,物体减速的加速度 a′=μg,由0=v-a′t2得:t2=0.75 s 由x2= ·t2得,x2=0.562 5 m. 答案 (1)0.3 m/s2 (2)0.5625 m 0.75 s

8.如图13所示,在倾角为θ=30°的 固定斜面上,跨过定滑轮的轻绳 一端系在小车的前端,另一端被 坐在小车上的人拉住.已知人的 质量为60 kg,小车的质量为10 kg, 绳及滑轮的质量、滑轮与绳间的摩擦均不计,斜面 对小车的摩擦阻力为人和小车总重力的0.1倍,取 重力加速度g=10 m/s2,当人以280 N的力拉绳时, 试求(斜面足够长): (1)人与车一起运动的加速度大小. (2)人所受摩擦力的大小和方向. (3)某时刻人和车沿斜面向上的速度为3 m/s,此时 人松手,则人和车一起滑到最高点所用时间为多 少？ 图13

解析 (1)以人和小车为整体,沿斜面应用牛顿第二 定律得:2F-(M+m)gsinθ-k(M+m)g=(M+m)a 将F=280 N,M=60 kg,m=10 kg k=0.1代入上式得a=2 m/s2 (2)设人受到小车的摩擦力大小为Ff人,方向沿斜面 向下,对人应用牛顿第二定律得: F-Mgsinθ-Ff人=Ma,可得:Ff人=-140 N 因此,人受到的摩擦力大小为140 N,方向沿斜面向上 (3)人松手后,设人和车一起上滑的加速度大小为a1, 方向沿斜面向下,由牛顿第二定律得: (M+m)gsinθ+k(M+m)g=(M+m)a1 则a1=6 m/s2,由v=a1t1,可得t1= =0.5 s

答案 (1)2 m/s2 (2)140 N 方向沿斜面向上 (3)0.5 s

反思总结 返回