第一章：高斯信道的信号检测 1.1 问题描述 1.2 Bayes检测 1.3 二元实高斯信号检测 1.4 高斯分布充分统计量时的PEP一般计算公式 1.5 二元复高斯信号检测 1.6 多元复高斯信号检测

1.1 问题描述(problem formulation) 信号模型 r=x+n x: 输入信号，取自有限大小的信号星座（如PSK/QAM), i.e., r: 输出信号， n: 高斯噪声 问题描述： 1）根据y和噪声方差，按照最大似然（ML）准则确定x为有限大小信号星座中的哪一点 2）采用ML检测的误符号率 Recall 《通原》上的结果 方法：贝叶斯（Bayes）检测 ML检测是Bayes检测的一个特例 《通原》上直接给出了计算方法和结果，这里我们解决什么这么做并且将之进行推广的问题。

1.2 Bayes检测 建模 平均代价定义 Bayes判决规则 Bayes检测性能 派生Bayes检测

建模 二元检测模型 信源（信号空间） 概率转移机构（噪声空间） 观测空间 判决规则 信源的输出称为假设;BPSK={+1，-1｝； 将信源的输出(假设)以一定的概率关系映射到整个观察空间中;r=x+n 观测空间 接收端所有可能观测量的集合; r 判决规则 将观察空间进行合理划分,使每个观测量对应一个假设判断的方法; x=-1 if r<0, and x=+1, otherwise

观测空间划分

判决 假设 二元信号判决结果 判决 假设 二元信号判决概率

平均代价 不同的事件赋予不同的代价（Hi|Hj）cij 一般的，c10>c00, c01>c11, 平均代价表示式

Problem Formulation 目标函数：C 已知条件：P(Hj), cij, 问题：如何对观测空间R进行划分（即确定R0、R1）使得目标函数C最小（贝叶斯准则），即 需要将C表示为P(Hj), cij,R0,R1, 的函数 因此首先将 表示为

Solution Min C将所有f(ri)<0的ri均放入判决区R0，且R0不包括任何f(ri)>0的ri 反证法证明 存在某个满足f(rk)<0 的rk属于R1，将其放入R0后的代价C’=C+ f(rk)Δrk<C 存在某个满足f(rk)>0 的rk属于R0，将其放入R1后的代价C’=C- f(rk)Δrk<C

最佳判决区域划分

判决规则

判决规则 似然比函数 似然比检测门限

性能评价 贝叶斯准则min C，得到的判决规则性能如何，需考察 需要计算 需要首先获得

派生贝叶斯准则 最小平均错误概率（MAEP）准则 c00=c11=0, c10=c01=1时的Bayes准则 似然比检测门限 判决准则 平均代价 min C min Pe

派生贝叶斯准则 最大似然（ML）准则 c00=c11=0, c10=c01=1，且先验等概（即P(H0)=P(H1)=1/2）时的Bayes准则 似然比检测门限 判决准则

派生贝叶斯准则 最大后验概率（MAP）准则 c10-c00=c01-c11时的Bayes准则 似然比检测门限 判决准则

ML:c00=c11=0, c10=c01=1， P(H0)=P(H1)=1/2 派生贝叶斯准则 ML:c00=c11=0, c10=c01=1， P(H0)=P(H1)=1/2 MAEP: c00=c11=0, c10=c01=1 MAP: c10-c00=c01-c11

1.3二元实高斯信号检测 BPSK On-Off Keying Binary Orthogonal Modulation

BPSK over real AWGN AWGN信道上BPSK调制的ML检测性能

OOK 在OOK二元数字通信系统，接收端N次独立采样值为 若已知似然比检测门限 ，计算判决概率

独立采样

(l|Hj)：高斯变量的线性变换仍然服从高斯分布

高斯 Q函数

Binary OM over real AWGN 如右图所示的二元正交调制。当其他条件均相同时，计算ML检测性能 并和BPSK进行比较分析

作业 证明： 比较BPSK，OOK(N=1)，BOM三种调制方式 (提示：从传输速率和误码率考虑)

实高斯信道二阶信号星座性能 频谱效率(bpcu) 平均符号能量Es 误码率 平均比特能量Eb BPSK (-A, A) 1 A2 Es OOK (0, A) A2/2 BOM (A0, 0A) 0.5 2Es

1.4高斯分布充分统计量时的PEP一般计算公式 1.一般高斯分布的联合概率密度函数 若一个N维随机矢量 的各分量是联合高斯分布 是N维高斯随机变量。 则称

一般高斯信号的统计检测 2.一般高斯二元信号的统计检测 对信号进行N次观察，得到 假设 是N维高斯随机变量。 在H0为真的条件下，有

一般高斯信号的统计检测 对信号进行N次观察，得到 假设 是N维高斯随机变量。 在H1为真的条件下，有

一般高斯信号的统计检测 根据贝叶斯检测准则 可得到

一般高斯信号的统计检测

一般高斯信号的统计检测

等协方差矩阵的情况

等协方差矩阵的情况

等协方差矩阵的情况 检测性能分析

等协方差矩阵的情况

等协方差矩阵的情况

作业 用偏移系数公式比较分析BPSK、OOK和BOM在实高斯信道上的性能 BPSK信号星座{-a,+a}与{b-a,b+a}(b≠0)误码性能有差别吗？

1.5 二元复高斯信号检测 复信号检测（OOK） BPSK BOM

复信号检测 1 复随机变量的概率密度函数 假设 为一高斯复随机变量，实部和虚部相互统计独立

复信号的统计检测 2 确知二元复信号（OOK）的统计检测 是确知的复信号； 是均值为零，方差为 的复高斯噪声 不同观察次数之间是相互独立的。

复信号的统计检测 根据贝叶斯检测准则，可得 由 取对数，化简

复信号的统计检测 因此，贝叶斯检测为

复信号的统计检测 3 确知二元复信号的统计检测的性能分析 令

复信号的统计检测 3 确知二元复信号的统计检测的性能分析 令

复信号的统计检测 3 确知二元复信号的统计检测的性能分析 令

BPSK的ML检测性能 BPSK调制 计算采用ML检测的误码率

BPSK解调性能

BPSK解调性能

二元正交调制性能 如图所示的二元正交调制和BPSK相比，具有相同的谱效率。当其他条件均相同时，计算 并和BPSK进行比较分析

二元正交调制解调性能

二元正交调制解调性能

二元正交调制解调性能 Recall BPSK Performance loss: 3dB

Alternative Solution

Alternative Solution

1.6多元复高斯信号检测 建模 Bayes判决规则 ML检测 M-PAM M-QAM

定义 BPSK调制：每符号携带1比特信息 高速无线通信高谱效率高阶调制（如64-QAM，每符号携带log264=6比特信息）如何检测？ 多元信号检测：

Problem Formulation 平均代价： 问题：如何对观测空间R进行划分（即确定R0,R1,…, RM-1）使得目标函数C最小（贝叶斯准则），即

Solution

Solution Min C将使Ii (r)最小的r均放入判决区Ri，i.e. 如，H0成立的判决域R0为右式的解

M=2

ML准则 正确判决代价为0，错误判决代价为1，且信源的假设先验等概

M-PAM性能 M-PAM (M为偶数）调制 计算信号平均能量Eav，ML检测的平均错误概率Pe

M-PAM

M-PAM

M-PAM

M-PAM

M-QAM 计算采用ML检测的M-QAM平均错误概率Pe （M=22k，k>0的正整数）

M-QAM

M-QAM

第一章大作业 在同一张图中，给出BPSK, QPSK, 16-QAM在高斯信道上的BER（不同于SER）性能曲线（包括理论和Monte Carlo仿真曲线，横坐标为E_b/N_0）。 提示：

Monte Carlo 仿真结构 int main(int argc, char *argv[]) { double EbN0, BER; char *filename, defaultFilename[] = {"sweep.opt"}; FILE *fp;   if (argc > 1) filename = argv[1]; else filename = defaultFilename; ReadSweepFile(filename,SweepFile); fp = OpenOutFile(); EbN0 = EbN0_Start; for (int i = 0; i < simnum; i++) { BER = Simulation(EbN0, errornum); fprintf(stderr,"EbN0=%ledB\tBER=%le\n",10*log10(EbN0),BER); EbN0 += EbN0_Step; }

Monte Carlo 仿真结构 double Simulation(double snr, int errorNum) { int totalLength = 0; double en = 0.0, SNRindB = 10*log10(snr); while ((en<errorNum || totalLength<20000) && totalLength<1.0e+8) { Sourcer(RawData); Mod_Demod(Estimate, RawData, snr); en += CounteErrors(Estimate, RawData, DataLength); totalLength += DataLength; fprintf(stderr,"BER=%4e #k=%d\n", en/totalLength, totalLength); } return (en/totalLength);}

Q function 证明： 证1：

Q function 证2：for

思考题 一般的M-PSK(M>4)和cross型M-QAM（M=32, 128, 512,…)在AWGN信道上的ML检测符号错误概率的推导。 (hint:大家可以先试着自己做下，然后google下相关文献，看看计算方法和你想的是否一样）。

Cross QAM M=22k+1, 6*6 square block array with the 4 corner blocks deleted, each block with M/32 uniform distributed points. Example, M=128