振动和波动 (Vibration and wave) 第 6 章 振动学基础 (Vibration) (6)

相(phase) 一般地说,任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为振动。 振动有机械振动、电磁振动、光振动…...。本章着重研究机械振动。 而振动中最简单最基本最有代表性的是简谐振动，这将是我们学习的重点。 学习中的重点和难点是： 相(phase)

x =Acos( t+ ) §6-1 简谐振动的一般概念 一 .简谐振动的运动学方程 一质点沿x轴作直线运动，取平衡位置为坐标原点，若质点对平衡位置的位移(坐标)x随时间t按余弦变化,即 x =Acos( t+ ) (6-3) 则称质点作简谐振动(谐振动)。式(6-3)也称为振动方程。 上式中: A,  ,  为谐振动的三个特征量,均为常量。

m 二 .简谐振动的动力学方程 如图6-1所示,取平衡位置为坐标原点，物体对平衡位置的位移为x时,所受的弹性力为 (6-1) 式中:k为弹簧的倔强(劲度)系数;负号表示力与位移的方向相反。 根据牛顿第二定律，物体在此弹性力的作用下的力学方程是 图6-1 x m k o (平衡位置)

m x 上式就是简谐振动的动力学方程。 这个方程的解为 x =Acos( t+ ) 这正是简谐振动的运动学方程。 (6-2) 上式就是简谐振动的动力学方程。 这个方程的解为 x =Acos( t+ ) 这正是简谐振动的运动学方程。 注意:研究简谐振动时,坐标原点只能取在平衡位置。 平衡位置: o x (原长) m (平衡位置) k 图6-2  图6-2

x =Acos( t+ ) 三 .三个特征量 A —振幅 (对平衡位置最大位移的绝对值)。  —角频率 (6-12) 四.谐振动的特征 等幅振动，A不变； 周期振动，x(t)=x(t+T)。

x =Acos( t+ ) 速度： , m= A (6-5) 加速度： , am= 2A (6-6) 显然，它们都是谐振动。 a = -2x — 运动学特性(动力学方程) — 动力学特性 k=m2 (6-13)

x =Acos( t+ ) 五.质点的振动状态完全由相位确定 显然，它们由相位唯一确定。 ( t+ )=0, x=A,=0 —正最大 ( t+ )在第1象限, x>0,  < 0 ( t+ )=+/2, x=0,  <0 —平衡位置 ( t+ )在第2象限, x<0,  <0 ( t+ )= , x= -A,  =0 —负最大 ( t+ )在第3象限, x<0, >0 ( t+ )= 3/2, x=0,  >0 —平衡位置 ( t+ )在第4象限, x>0,  >0 ( t+ )=2 , x=A, =0 —正最大

 =-  Asin( t+ )=  Acos( t++/2 ) 六 .振动的超前与落后 设有两个同频率的谐振动： x1=A1cos( t+1) x2=A2cos( t+2) >0, 振动x2超前x1(2 -1) ； 相差 =2 -1 =0, 振动x2和x1同相 ； <0, 振动x2落后x1(2 -1) ； =, 振动x2和x1反相 。 例1 x =Acos( t+ )  =-  Asin( t+ )=  Acos( t++/2 ) a =-  2Acos( t+ )=  2Acos( t+ + )=-  2x  超前x /2； a 超前 /2； a与 x反相。

=0.4cos( t ) x2 超前 x1 x1 超前 x2 例2 x1 =0.3cos( t ) x2 =0.4cos( t ) 1 图6-4

x、、a 的位相关系： 图6-5

x =Acos( t+ )  =-  Asin( t+ ) 七.简谐振动的能量 振动势能： (6-9) 振动动能： (6-8) 对弹簧振子(任何一个谐振动也都可以等效为一个弹簧振子)，有 k=m2 =恒量 (6-10) 总能：

势能最大时,动能最小;动能最大时,势能最小。但系统的 总机械能守恒。 =恒量 (1)谐振系统的动能和势能都随时间t作周期性的变化；而且, 动能和势能的周期为其振动周期的二分之一。 势能最大时,动能最小;动能最大时,势能最小。但系统的 总机械能守恒。 (2)平均势能： 平均动能：

m m (3)振动势能与弹性势能一般是不相同的。 振动势能： 其中x是对平衡位置的位移。 弹性势能： 其中x是弹簧的伸长量。 例 x o (原长) (平衡位置) 例 x o (原长) (平衡位置) m

§6-2 简谐振动的描述 ! 1.解析法： x =Acos( t+ ) 角频率 由谐振系统确定。 (6-13) 对弹簧振子： 顺便指出，弹簧的串联和并联公式与电阻的串联和并联公式是相反。 例如:一根倔强系数为k的轻弹簧,减去一半后,倔强系数是多少?

x =Acos( t+ )  =-  Asin( t+ ) xo =Acos o = -  Asin 振幅A和初相由初始条件(即t=0时刻物体的运动状态)来确定： x =Acos( t+ )  =-  Asin( t+ ) 当t=0时， xo =Acos o = -  Asin (6-16) (6-17)

例题6-1 一质点沿x轴作谐振动，周期T=s, t=0时， 求振动方程。 解： + 代入：x =Acos( t+ )

例题6-2 有一轻弹簧，当下端挂一个质量m1=80g的物体而平衡时，伸长量为4 例题6-2 有一轻弹簧，当下端挂一个质量m1=80g的物体而平衡时，伸长量为4.9cm。用这个弹簧和质量m2=40g的物体组成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为x轴的正方向。将m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度o=10cm/s并开始计时，试求振动方程。 x o o xo t=0 图6-6 m 解：由 m1g=k x , 得 t=0时, xo=-2cm, o=10cm/s =2.06cm

x =Acos( t+ ) x =2.06cos(20t+3.38)cm t=0时, xo=-2cm, o=10cm/s = 0.25 图6-6 m  =14.04°=0.24 rad 应取： =0.24 + =3.38 (rad) 把 A=2.06cm,  =20,  =3.38 代入 x =Acos( t+ ) 所求振动方程为 x =2.06cos(20t+3.38)cm

例题6-3 如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m, 物体的质量m=6kg, 静止在平衡位置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体，使之由平衡位置向左运动了s=0.05m, 此时撤去外力F。取物体运动到左方最远处开始计时，求：(1)物体的运动方程; (2)何处Ek=Ep? 解 (1)  = 振动能量来源于外力的功: s m F k x o 图6-7  A=0.204 x =0.204cos(2 t+  )m

(2)何处Ek=Ep? ( A=0.204) s m F k x o 图6-7

例题6-4 在一竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量m=100g的物体,当物体处于平衡状态时,再对物体加一拉力使弹簧伸长,然后从静止状态将物体释放。已知物体在32s内完成48次振动，振幅为5cm。 解 (1) x o m lo (原长) (平衡位置) 图6-8 设物体在平衡位置时弹簧伸长lo，有 mg=klo

m mg=klo , m=100g , A=5cm 加拉力F后将物体静止释放,此时弹簧又伸长多少? 知弹簧此时又伸长x=A =5cm。 (原长) (平衡位置) 图6-8 ? 知弹簧此时又伸长x=A =5cm。 A 加拉力F后的平衡条件： F+mg=k(lo+A) F=kA F mg F =0.444N

m mg=klo , m=100g , A=5cm (2)当物体在平衡位置以下1cm处时，此振动系统的动能和势能各为多少？ 势能: =4.44×10-4J x o m lo (原长) (平衡位置) A 总能: =1.11×10-2J 动能: Ek=E-Ep=1.07×10-2J

oM x =Acos( t+ ) x =Acos( t+ ) oM转一圈,就是谐振动的一个周期T 。 2.旋转矢量法 矢量oM绕o点以角速度作逆时针的匀速转动, 平衡位置(+/2)  图6-9 o x 端点M在x轴上的投影点(p点)的位移： M A p x x =Acos( t+ ) 负最大 () ( t+) 正最大 (0) 显然，p点的运动就是简谐振动。 矢量oM与x轴正方向间的夹角： 平衡位置(-/2) ( t+ ) — 相 x =Acos( t+ ) oM转一圈,就是谐振动的一个周期T 。  =-  Asin( t+ )

xo =Acos 例题6-5 求简谐振动质点的初相 。  。 (1)t=0时，xo=-A,  = 例题6-5 求简谐振动质点的初相 。  o x (1)t=0时，xo=-A,  = 。 (2)t=0时，质点经过平衡位置正向x轴正方向运动, 则  = A 5/4 /3 3/2(或- /2)。 平衡位置 (3)t=0时， xo=A/2，质点正向x轴负方向运动, 则  = /3。 (4)t=0时， 质 点正向x轴正方向运动, 则  = xo =Acos 5/4。

例题6-6 一质量m=9kg质点, 在力 (N) 的作用下沿x轴运动。当t=0，xo=0; t=1s,=-2m/s, 求运动方程。 解 质点受弹性恢复力的作用，故作简谐振动。 由 知 ,T=12s。 要想直接用下述公式求A、是困难的：

我们可利用旋转矢量先求出初相。 已知:t=0，xo=0; t=1s,=-2m/s 由t=0, xo=0， 知 = /2； 又因T=12s, t=1s, =-2<0, 所以 =+ /2。 于是： t=1, 最后得：

例题6-7 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm 。在弹簧的下端悬挂m=4kg的物体并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，求:(1)物体的振动方程;(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力;(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。 解：由 F=k x , 得: =200 x o xo t=0 图6-10 m (1)t=0时, xo=-0.1m, o=0 =0.1m , = 

(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力; 平衡条件: 所以平衡时弹簧的伸长量：lo=0.196m 弹簧对物体的拉力: F=k(lo-0.05) =29.2N (3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。 x o xo t=0 图6-10 m A= 10cm, x t=0 A 2 3 

例题6-8 一质点作简谐振动，T=2s, A=0.12m, t=0时，xo=0.06m, 向x轴正方向运动，求： (1)振动方程； (3)在x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻的速度和加速度; (4)从x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。 解 (1) x=0.12cos( t )m t= 0.5 (2) -0.19(m/s) t= 0.5 -1.03(m/s2)

(3)在x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻的速度和加速度: o  x 关键是找出相位： 将相位代入得： =-0.33(m/s) =0.59(m/s2)。

(4)从x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间： x=0.12cos( t )m 旋转矢量转过的角度： o  x 旋转矢量转动的角速度：  =  旋转矢量转动过程所用的时间： 这就是谐振动质点从x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。

例题6-9 一质点 在x轴上作简谐振动,t=0时该质点正通过A点并向右运动，经过2s质点第一次通过B点，再经过2s质点第二次通过B点，若质点在A、B两点的速率相同，且AB=10cm，求质点的振动方程。  o 解 由于 A、B两点的速率相同，所以坐标原点应在AB的中点，因为只有对坐标原点o对称的两点速率才是相同的。 t=4 B x A . 因t=0时，质点正通过A点并向右运动，所以t=0时的旋转矢量应在第三象限。 t=0 t=2 从t=0开始，经过2s质点第一次通过B点，再经过2s质点第二次通过B点。 由旋转矢量图可知，周期T=8s。

由于周期T=8s，所以从t=0到t=2s，旋转矢量应转过90°。可见， t=0时的旋转矢量与y轴负方向成45°。 B A x t=0 t=2 t=4  C o 由于周期T=8s，所以从t=0到t=2s，旋转矢量应转过90°。可见， t=0时的旋转矢量与y轴负方向成45°。 45° 由图可知，初相 =5/4。 因OA=5cm, 由等腰直角三角形OAC可求出振幅： 振动方程为

3.曲线法 1 x(m) o t(s) 0.8 o  x (t )m t=0

2 x(cm) o t(s) 6 3 o  x /3 6 3 ( )cm ,t=2 t=0

1 x(cm) o t(s) 8 o  x x=8cos( )cm t=0 /4 t=0, ,t=1

x = cos( )m  (m/s)  t(s) 2.4  t=0, m =  A= , A=2.4 o 2 o x 5 6

§6-3 简谐振动周期的确定 前面已指出，角频率和周期T由谐振系统确定。那么，给定谐振系统后又如何确定和T？ 方法是利用谐振动的运动学特性(动力学方程)： 对转动： 若能找出a与x(或与)之间的关系，角频率 就等于上式中x(或)的系数的平方根。而周期

m xo m x 例题6-10 一光滑斜面上的弹簧振子，已知m , k , 证明它作谐振动，并求出周期。 解 (1)找出平衡位置: 解 (1)找出平衡位置: mgsin =kxo ， 建立坐标； (2)将物体m对平衡位置位移x； (3)沿斜面方向应用牛二定律： mgsin -k(x+xo )=ma k 图6-11  m -kx = ma xo o x —是谐振动。 m x 比较： (T与倾角无关)

例题6-11 一正方体形木块在水面上作谐振动，吃水深度为h(水面下的木块高度)，求振动周期T=？ 解 设木块的质量为m、边长为b, 则平衡条件为 mg=水gb2h 建立图示坐标， 令木块位移x, 由牛二定律有 水gb2(h-x)-mg=ma 即 -水gb2x =ma o x x 图6-12 h 比较： a=-2x

例题6-12 求图示圆盘、弹簧系统的振动周期 , 图中k、J、R、m为已知。 解 平衡条件: kxo=mg， 令m位移x, 则 mg-T1= ma 解得： T1 R-T2R =J T2 =k(xo+x) a=R m T1 图6-13 R J k T2 比较： a=-2x o x

例题6-13 角谐振动 刚体在竖直面内作微小振动 , 设刚体的质量为m、转动惯量为J、质心到转轴的距离为hc，求振动周期。 -mghcsin =J 当 很小( <5°)时, sin   , 于是  图6-14 hc o C mg 比较：

如：单摆  l 细棒 o  l • o T=? 当 <5°时，

x= x1+x2= Acos( t+ ) §6-4 简谐振动的合成 一.同频率平行简谐振动的合成 合振动： x= x1+x2=A1cos( t+1 )+ A2cos( t+2 ) 利用三角公式或旋转矢量可求得合振动: x= x1+x2= Acos( t+ ) (1)可见，合振动仍是同频率的谐振动。 (2)合振动的振幅和初相, 用旋转矢量求得:

x= x1+x2= Acos( t+ ) 由余弦定理，合振动的振幅为 (6-25) 合振动的初相： A A2sin2 (6-26) ω A  M A2 图6-15 (2-1) 2 A1cos1 A2cos2 A1sin1 A2sin2 合振动的初相： A2 2 M2 (6-26) (2-1) M1 A1 1 x= x1+x2= Acos( t+ ) x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 ) x o

x= x1+x2= Acos( t+ ) x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 ) (3)合振动的强弱,取决于两分振动的相位差：  =2 -1 =2k , k=0, ±1, ±2, …, A=A1+A2 , 加强 = . . . . . . =(2k+1) , k=0, ±1, ±2, …, A=|A1-A2 |, 减弱

例题6-14 设分振动： x1 =0.3cos( t+ )cm, x2 =0.4cos( t+ )cm， 求合振动方程。 例题6-14 设分振动： x1 =0.3cos( t+ )cm, x2 =0.4cos( t+ )cm， 求合振动方程。 解 合振动方程：x =Acos( t+ ) 方法一:旋转矢量 x A 0.3   0.4  =36.86°=0.64rad  = - =2.5  合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm

x1 =0.3cos( t+ )cm x2 =0.4cos( t+ )cm A 0.3  方法二: 公式法 x 0.4 -36.86° 已知：A1=0.3, A2=0.4,  1= /2,  2=  =0.5  =-36.86°=-0.64rad =-0.64+ =2.5rad  合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm

例题6-15 设分振动： x1 =0.4cos(2 t+/3 )cm, x2 =0.6cos(2 t-2/3 )cm， 例题6-15 设分振动： x1 =0.4cos(2 t+/3 )cm, x2 =0.6cos(2 t-2/3 )cm， 求合振动方程。 解 已知：A1=0.4, A2=0.6,  1= /3,  2=-2/3 =0.2 x x1 /3  =/3 + =5/3=-2/3 x2 -2/3  合振动方程： x =0.2cos(2 t-2/3 ) cm x1与x2是反相的！

例题6-16 t=0时， x1 和 x2的振动曲线如图所示，求合振动方程。 合振幅: A= 0.12- 0.08=0.04; 合振动的初相:  =-/2 (振幅大的分振动的初相) 合振动的角频率：=2/T=  合振动方程： x =0.04cos( t-/2 ) m x2 x(m) t(s) x1 0.12 0.08 o 图6-16 1

例题6-17 两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅A=20cm, 合振动与第一个振动的相差为 /6, A1=17 例题6-17 两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅A=20cm, 合振动与第一个振动的相差为 /6, A1=17.3cm, 求：(1)A2=? (2)两振动的相差(2 -1)=? 解 直接用下述公式是无法求解的： A=20  /6 A2 A2 2 此题宜用旋转矢量法求解。 由图6-17, 用余弦定理得： A1=17.3 1 x o 图6-17 =10cm

用正弦定理有： A=20 因A=20, A2=10, 由上式可求出： 图6-17 A2 (2-1)  /6 2 A1=17.3 1 x o 图6-17 2 (2-1) 因A=20, A2=10, 由上式可求出：

二.不同频率平行简谐振动的合成 分振动：x1 =Acos(1 t+ ) x2 =Acos( 2t+ )， 且1 与2相差很小。 合振动： x= x1+x2= 由于1 与2相差很小,故1 -2比1 +2小得多; 即 比 的周期长得多！ 所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动—拍:

显然，拍频 (振幅Ao的变化频率)为 拍 =2 - 1 (6-31) x t 图6-18

实际的振动不一定是简谐振动，但不管它多么复杂，总可以分解为许多简谐振动的叠加。 三.振动的频谱分析 实际的振动不一定是简谐振动，但不管它多么复杂，总可以分解为许多简谐振动的叠加。 利用傅里叶变换，我们可以求出实际振动的频谱。这是信号分析、处理和数字化的基础。 §6-5 垂直谐振动的合成 一.同频率垂直谐振动的合成 x =A1cos( t+1 ) y =A2cos( t+2 ) 从上两式中消去t, 就得到合振动的轨迹方程为 (6-34) 在一般情况下,这是一个椭圆方程。

(2)当2 -1=时，式(6-34)也退化为一直线： (1)当2 -1=0时，式(6-34)退化为一直线： x y 合振动仍为谐振动: (2)当2 -1=时，式(6-34)也退化为一直线： 合振动仍为谐振动: x y

(6-34) 合振动不再是谐振动。 二.不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形 P224-225(自学) 2 -1=/2 (3)当2 -1=±/2时，式(6-34)为一椭圆： 合振动不再是谐振动。 二.不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形 P224-225(自学) x y 2 -1=/2 2 -1=-/2 右旋 左旋

§6-6 阻尼振动(自学) §6-7 受迫振动 共振 一.受迫振动 系统受力：弹性力 -kx；阻尼力 周期性驱动力 f =Focos t 动力学方程： 令

该微分方程的解为 上式表明,受迫振动可以看成是两个振动合成的。第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后,这一分振动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫振动达到稳定状态时的等幅振动。因此,稳态解为 x =Acos( t+ ) 可以看出,此等幅振动的频率就是驱动力的频率,其振幅和初相为

(6-50) (6-51) x =Acos( t+ ) 稳态时,速度 (6-52) (6-53)

二.共振 1.速度共振 由求极值可知,m有最大值的条件是 此时 不合理,舍去) 驱动力 f =Focos t

由此可见,当驱动力的频率等于振子的固有频率时,驱动力将与振子速度始终保持同相,驱动力始终给振子提供能量,从而使振子获得最大速度速度共振。 2.位移共振 通过对A求极值可知, A有最大值的条件是 (6-54) 因此,仅当驱动力的频率小于振子的固有频率,并满足式(6-54)时,振子的位移振幅才具有最大值位移共振。