迷茫的旅行商 —— 图的哈密尔顿性 一名旅行商要拜访多个地点时， 如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径？？ 很难吗？ 不信你试试 ！即使就只有33个地方，瞎走的话也许真的要走上至少200年！
(一)、哈密尔顿图的概念 1、背景 1857年， 哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。
哈密尔顿把该游戏以25英镑的价格买给了J.Jacques and Sons公司 (该公司如今以制造国际象棋设备而著名) ，1859年获得专利权。但商业运作失败了。 该游戏促使人们思考点线连接的图的结构特征。这就是图论历史上著名的哈密尔顿问题。 哈密尔顿(1805---1865), 爱尔兰数学家。个人生活很不幸，但兴趣广泛：诗歌、光学、天文学和数学无所不能。他的主要贡献是在代数领域，发现了四元数(第一个非交换代数)，他认为数学是最美丽的花朵。
2、哈密尔顿图与哈密尔顿路 定义1 如果图G的一个圈C含有G的所有顶点，则称C为图G的哈密尔顿圈, 简称哈圈或者H-圈。
定义2 如果图G的一条路P含有G的所有顶点，则称P为图G的哈密尔顿路, 简称哈路或者H-路。 u v
定义3 如果图G含有哈密尔顿圈，则称G为哈密尔顿图 例1、正十二面体是H图。 例2 下图G是非H图。 图G u v
(二)、性质与判定 1、性质 定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任一非空顶点子集S，有： 证明：设C是G的H圈，则对V(G)的任意非空子集S, 容易知道: ω(G)表示 图G所含的连通分支的个数 所以，有：
注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满足时，可断定对应图是非H图。 证明：取S=｛u, v, w｝,则有： 所以由定理1知，G为非H图。
注意：满足定理1不等式的图不一定是H图。 例如：著名的彼德森图是非H图，但它满足定理1的不等式。 彼得森(1839----1910)，丹麦哥本哈根大学数学教授。家境贫寒，因此而辍过学。但19岁就出版了关于对数的专著。他当过中学教师，32岁获哥本哈根大学数学博士学位，然后一直在该大学作数学教授。
彼得森是一位出色的名教师。他讲课遇到推理困难时，总是说：“这是显而易见的”，并让学生自己查阅他的著作。同时，他是一位有经验的作家，论述问题很形象，讲究形式的优雅。 1891年，彼得森发表了一篇奠定他图论历史地位的长达28页的论文。这篇文章被公认是第一篇包含图论基本结论的文章。同时也是第一次在文章中使用“图”术语。 1898年，彼得森又发表了一篇只有3页的论文，在这篇文章中，为举反例构造了著名的彼得森图。
2、判定 图的H性判定是NP-困难问题。到目前为止，有关的定理有300多个，但没有一个是理想的。拓展H图的实用特征仍然被图论领域认为是重大而没有解决的问题。 图的哈密尔顿问题和四色问题被谓为挑战图论领域150年智力极限的总和。三位数学“诺奖”获得者ErdÖs、Whitney 、 Lovász 以及Dirac、Ore等在哈密尔顿问题上有过杰出贡献。 下面，介绍一个著名的定理。
定理2 (充分条件) 对于n≧3的简单图G，如果G中有： 那么G是H图。 证明: 若不然，设G是一个满足定理条件的极大非H简单图。显然G不能是完全图，否则，G是H图。 于是，可以在G中任意取两个不相邻顶点u与v。考虑图G + u v，由G的极大性，G+u v是H图。且G+u v的每一个H圈必然包含边uv。
所以，在G中存在起点为u而终点为v的H路P。 v=vn vn-1 vi+1 vi v3 v2 u=v1 P 令：
对于S与T, 显然， 所以： 另一方面：可以证明： 否则，设 那么，由 由 这样在G中有H圈，与假设矛盾！ vn vn-1 vi+1 vi P 这样在G中有H圈，与假设矛盾！
于是： 这与已知 矛盾！ 注：该定理是数学家 Dirac在1952年得到的。该定理被认为是H问题的划时代奠基性成果。 Dirac曾经是丹麦奥尔胡斯大学知名教授，杰出的数学研究者。其父亲(继父)是在量子力学中做出卓越贡献的物理学家狄拉克，1933年获诺贝尔物理学奖。Dirac发表关于H问题论文39篇。他1952年的定理将永载史册！
1960年，美国耶鲁大学数学家Ore院士考察不相邻两点度和情况，弱化了Dirac条件 ，得到一个著名的结果。 Ore发表关于H问题论文59篇。 定理3 (充分条件) 对于n≧3的单图G，如果G中的任意两个不相邻顶点u与v，有： 那么，G是H图。
注: (1) 该定理证明和定理2完全一致！ (2) 该定理的条件是紧的。例如：设G是由Kk+1的一个顶点和另一个Kk+1的一个顶点重合得到的图，那么对于G的任意两个不相邻顶点u与v，有： 但G是非H图。 k=3时的例子