第二章 点、直线、平面的投影

第二章 点、直线、平面的投影 第一节 投影法概述 第二节 点的投影 第三节 直线的投影 第四节 平面的投影

第一节 投影法概述 投影法概念的引入 一、投影法 任何一个物体经光线照射后，总会在预定的平面上产生影象，人们将这一自然现象称为投影。 H A B b a S 科学工作者对这种现象进行抽象，总结出了利用投影来表达空间形体的形状和大小，并将在指定投影面上作出形体投影的方法称为——投影法。

投影的定义 ab —空间曲线的投影 S—光源点 投射中心 SAa,SBb—发自光源点的射线,投射线 S AB— 空间的曲线（形体） A H A B b a AB— 空间的曲线（形体） 预定的平面H —投影面 ab —空间曲线的投影

二、投影法的分类 1. 中心投影法 投射中心距投影面有限远，所有的投射线都交于一点。 投射线 投射中心 S C A 投影面P B c a

2.平行投影法 投射中心距投影面无限远，所有的投射线都互相平行。 a.斜投影法 投射线与投影面倾斜 C A B Aa,Bb,Cc投影线 △abc投影 投影方向S倾斜投影面P Aa,Bb,Cc投影线 投影面 a b c A B C P

b.正投影法 投射线与投影面垂直。 Aa,Bb,Cc投影线 正投影法是工程图样绘制的理论基础。 投影方向垂直投影面 △abc正投影 投影面 P 投影方向垂直投影面 △abc正投影 投影面

三、 工程上常用的投影图 结论: 一个投影不能确定空间物体的形状。 V

1.多面正投影图 V W H X Z Y 多面正投影图立体图 多面正投影立体图是在三个互相垂直的投影面上作形体的三面正投影图，该图样可以唯一确定形体的形状和大小。

多面正投影展开 将三面正投影立体图展开后得到下图： 多面正投影图 O 实际工程图样绘制时不画投影面边界及投影轴。 Z X YW H W V YH 实际工程图样绘制时不画投影面边界及投影轴。

3. 标高投影图 用正投影法将物体表面的一系列等高线投射到水平的投影面上，并标注出各等高线的高程数值的单面正投影。 A I J K L B i j k l b20.7 a19.7 19 20 21 22 23 19.8 20.2 20.3 20.6 标高投影图用于不规则曲面的表达。

4.透视投影图 用中心投影法将形体投射在单一投影面上所得到的图形称为透视投影图，简称透视图。 特点：透视图直观性强，但度量性差，作图复杂，一般用在绘画和建筑设计中。 透视图

第二节 点 的 投 影 一、点在三投影面体系中的投影 二、点的直角坐标表示法 三、两点的相对位置 四、重影点及可见性 J F G L E A 第二节 点 的 投 影 一、点在三投影面体系中的投影 二、点的直角坐标表示法 三、两点的相对位置 四、重影点及可见性 A J L H G F E D C B

立体的构成 点 直线 平面 点、直线和平面称为构成立体的几何元素。 点是构成立体的最基本元素。 研究点的正投影规律也是用图示方法表示直线、平面和立体的基础。 点 直线 平面

一、点在三投影面体系中的投影 Z V W X H 1. 三投影面体系的建立 水平投影面—简称H面 正面投影面—简称V面 侧立投影面—简称W面 投影轴 —相邻两投影 面的交线 OX、OY、OZ 原点：O— 三个投影轴的交点 Z V W X O H Y

2. 点在三投影面体系中的投影 结论： 规定： A点的水平投影 —a A点的正面投影 —a' A点的侧面投影 —a" 根据正投影的概念，求点在三投影面体系中的投影方法，既过空间点分别向三个投影面作垂线，所得到的垂足，既是点在三投影面的投影。 规定： 空间点用大写字母表示，如A、B、C…等。 投影用对应的小写字母表示。而且正面投影在小写字母右上角带一撇； a' 侧面投影带两撇；a" 水平投影不带撇。 a (1) 求空间点A的三面投影 H V X O Z Y W a' A a" a A点的水平投影 —a A点的正面投影 —a' A点的侧面投影 —a"

(2)点的三面投影图 保持V面不动，将H面绕OX轴向下转90°，W面绕OZ轴向后转90°，使V，H，W三个投影面处于同一个平面上。 H V Y W a' a a" A H a' a a" V W X O Z YW YH 保持V面不动，将H面绕OX轴向下转90°，W面绕OZ轴向后转90°，使V，H，W三个投影面处于同一个平面上。

(3)点的三面投影图作图方法 规定： a'a a）点的三面投影图中，不画投影面界线; Z b）投影点画细实线的小圆圈。 a" a' 投影连线 ——细实线 a' a a" X O Z YH YW a'a 、a’a" 称为投影连线 投影轴 ——细实线

3.点的三面投影规律（1） H V X O Z Y W a' a a" A az ay ax H a' a a" V W X O Z YW YH az ax ayw ayh （1）点的相邻投影的连线垂直于相应的投影轴； 既a'a⊥OX; a'a”⊥OZ ；a”ayw ⊥OYw ; aayh⊥OYH

3.点的三面投影规律（2） H V X O Z Y W a' a a" A az ay ax H a' a a" V W X O Z YW YH az ax ayw ayh (2) 点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离。 既：a’ax=a’’ayw=Aa ; aax=a’’az=Aa’; aayw=a’az=Aa”;

点的投影规律应用 例2-1 已知点B的正面投影和水平投影，求其侧面投影。 Z 作图步骤： （1）过原点O作一条45°辅助线； （2）过b’向右作直线与OZ轴垂直； （3）过b向右作直线与OYH轴垂直,并延长与45°辅助线相交， （4）再过该交点向上作竖直线与过b’的直线相交，其交点既是所要求的点B的侧面投影。 b' b" O X YW b YH

二、点的直角坐标表示法 Z V a' a" W X a H Y A(x,y,z) Z (x,z) (x,z) a" a' (y,z) O Z YH YW H V X O Z Y W a' a a" (x,z) A(x,y,z) (y,z) (x,y) 1.点A到W面的距离等于点A的X坐标，即AW=XA； 2.点A到V面的距离等于点A的Y坐标， 即AV=YA； 3.点A到H面的距离等于点A的Z坐标， 即AH=ZA；

点的投影规律应用 例2-2 已知点C的直角坐标(20,15,20),求其三面投影。 作图步骤： Z （1）在X轴上确定一点，使其距原点O的X坐标为20； （2）过该点向上作垂直线；量取Z坐标为20，即 点C的正面投影; （3）过该点向下作垂直线；量取Y坐标为15，即点C的水平投影； （4）分别过c’、c向右作水平线，利用45°辅助线，得到点C的侧面投影。 c' c" 20 20 O X YW 15 c YH

X Y 三、两点的相对位置 Z A B 两点的相对位置是指空间两点上下、前后、左右的位置关系。 上-下 Z a" a' a' b' b" YW YH O a' a" a b' b b" X O Z Y a" a' a A b" b' b B 后-前 左-右 后-前 后-前

四、重影点及可见性 1. 什么是重影点？ 当空间两个点到两个投影面的距离相等，即有两个坐标值相等，此时，该两点处于对某个投影面的同一条射线上，这两点在该投影面上的投影将重合为一点，将空间这样的两点称为重影点。

V H a’b’ a (b) (c’)d’ cd X O O X c (c')d' d a(b) a' b' A B C D YA=YB,XA=XB 对V面重影点 ZC=ZD,XC=XD V H c (c')d' d a’b’ a (b) a(b) a' b' (c’)d’ cd A B C D X O O X 对H面重影点

2. 重影点的可见性判别 a’b’ a (b) (c’)d’ cd X O 判别可见性的方法： ZA>ZB 利用坐标值不相等的一对投影判定，坐标值大的点投影可见，另外一个点的投影则为不可见。 规定： 不可见点的投影在投影符号上加一圆括号表示。 ZA>ZB a’b’ a (b) (c’)d’ cd X O 点C正面投影 不可见 点B水平投影 不可见 YD>YC

第三节 直线的投影 一、直线的分类 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 四、两直线的相对位置

直线的一般概念 规定：直线的投影画粗实线。 直线一般用直线段来表示，即用直线的两个端点表示。 直线的投影一般情况下仍然是直线，特殊情况下积聚为一点。 讨论直线的投影，实质上是讨论直线的两个端点的投影。 规定：直线的投影画粗实线。 a’ a a” b’ b” b X YH Z O YW (e’) e” e A J I H G F E D C B

一、直线的分类 V H W O X Y Z A B V H W O X Y Z A B V H O X A B 1. 投影面平行线 平行于一个投影面，与另外两个投影面倾斜 。 2. 投影面垂直线 垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行。 3. 一般位置直线 直线与三个投影面都倾斜 V H W O X Y Z A B a a a b (b) b V H O X A B a b a b

二、各种位置直线的投影特性 1. 投影面平行线 正平线—平行V面，倾斜H、W面的直线 水平线—平行H面，倾斜V、W面的直线 侧平线—平行W面，倾斜V、H面的直线 投影特点 1）在直线所平行的投影面上的投影反映实长； 2）另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

（1）水平线的投影特性 A B a b 投影特性 1.a'b'//OX，a"b"//OY 2. ab=AB o x z yH yW V H

（2）正平线的投影特性 投影特性： 1. a‘b’=AB； 2. ab//OX ，a“b”//OZ；

（3）侧平线的投影特性 投影特性： 1.a”b”=AB； 2. a‘b’//OZ ， ab//OY；

2. 投影面垂直线 正垂线—垂直V面，平行H、W面的直线 铅垂线—垂直H面，平行V、W面的直线 侧垂线—垂直W面，平行V、H面的直线 投影特点 1）在直线所垂直的投影面上的投影积聚为一点； 2）另外两个投影面上的投影等于实长，且平行于相应的投影面。

z yW o x yH (1)铅垂线的投影特性 V H W O X Y Z b a(b) a b b a A B a(b) a 投影特性： 1. ab积聚成一点； 2. a’b’OX; a’’b’’OY; 3. a’b’= a’’b’’=AB

2. ab OX; a”b’’OZ；3. ab = a’’b’’=AB。 (2)正垂线的投影特性 投影特性： 1.a’b’ 积聚 成一点； 2. ab OX; a”b’’OZ；3. ab = a’’b’’=AB。

(3)侧垂线的投影特性 投影特性： 1. a”b”积聚成一点；2.ab OY; a’b’OZ 3. ab = a’b’=AB。 H W

3. 一般位置直线 z o x a a A b b YW a a b b YH 投影特点 a. 三个投影都小于实长；

A C B 三、直线上点的投影 结论：点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上。 a a a b b b Z a b b X O YW YH b a a c c c c c C c 结论：点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上。

四、两直线的相对位置 1.两直线平行 2.两直线相交 3.两直线交叉

V B D A X O C H 1. 平行两直线 若空间两直线平行，则他们各同面投影仍然平行。 a a X Z O YW YH b c

过点C作已知直线AB的平行线。 Z b b c a a X O YW b c a YH

2. 相交两直线 V B K D C X O A H 若空间两直线相交，则他们各同面投影也相交，且交点的投影符合点的投影规律。 a a X Z O YW YH b c d b c d a b c d k k k V H X A D a a C B b c d b c d O K k k

作直线AB与已知直线CD相交。 Z d d b a c X O c YW c a d YH

3. 交叉两直线 ——既不平行又不相交的两直线 交叉两直线的投影可能有一、两个投影平行或相交，但是第三个投影不可能平行，且交点的投影也不符合点的投影规律。 b b X O a a c d c d 1 2 1(2 ) V H X A D a a C B b c d b c d O 1 2 1(2 ) Ⅰ Ⅱ

第四节 平面的投影 一、平面的种类 二、各种位置平面的投影特性 三、平面内的点和直线

一、平面的种类 V H W O X Y Z V H W O X Y Z V H W O X Y Z 1. 投影面垂直面 与一个投影面垂直，与另外两个投影面倾斜的平面 2. 投影面平行面 与一个投影面平行，与另外两个投影面垂直的平面 3. 一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面。 V H W O X Y Z V H W O X Y Z V H W O X Y Z

二、各种位置平面的投影特性 1. 投影面平行面 正平面—平行V面，垂直H、W面的平面 水平面—平行H面，垂直V、W面的平面 侧平面—平行W面，垂直V、H面的平面 投影特点 1）在平面所平行的投影面上的投影反映实形； 2）另外两个投影面上的投影积聚为直线，且平行于相应的投影轴。

o 1.水平面—∥H，V、W面。 c a’ b’ b’’ b a a’’ c’ c’’ 投影特点： Z c YW X a’ b’ b’’ b a o a’’ c’ c’’ YH 投影特点： 1）abc 、abc 积聚为一条直线，具有积聚性。 2）水平投影abc反映 ABC实形。

o 2. 正平面— ∥V面；H、W面 投影特性： c’’ a’’ b’’ b’ a’ c’ b c a Y a’’ b’’ b’ o a’ c’ b c a X Z 投影特性： 1）abc 、abc 积聚为一条直线，具有积聚性。 2）正面投影abc 反映 ABC实形 。

3. 侧平面—∥W面、H、V面 投影特性： 1）abc、abc 积聚为一条直线，具有积聚性。

2. 投影面垂直面 正垂面—垂直V面，倾斜H、W面的平面 铅垂面—垂直H面，倾斜V、W面的平面 侧垂面—垂直W面，倾斜V、H面的平面 投影特点 1）在平面所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线； 2）另外两个投影面上的投影为空间平面的类似形。

o x z 1.正垂面—垂直于V面,倾斜于H,W面 Z c a b 投影特性：1) abc 积聚为一条线。 Y Z o x z YH YW b a c b c a A B C b” c” a” c a b 投影特性：1) abc 积聚为一条线。 2) abc, abc为 ABC的类似形。

2.铅垂面—垂直于H面,倾斜于V,W面 a a c b 投影特性：1) abc积聚为一条线。 Z z V c c C A a W b b o X Y Z o x z YH YW b c a b c a A B C b c a b c a 投影特性：1) abc积聚为一条线。 2)abc , abc为ABC的类似形。

z o x 3.侧垂面—垂直于W面,倾斜于H,V面 YW YH Z V a A a c b W c C O X b B H Y 投影特性： 1) abc 积聚为一条线。 2 ) abc , abc为 ABC的类似形。

3. 一般位置平面 空间位置：与三个投影面均倾斜的平面 投影特点： 三个投影都没有积聚性，且都是原平面图形的类似形，另外三投影均小于实形。

P 三、平面内的点和直线 1. 平面内作点的投影 点在平面内，点在平面内的任一已知直线上。 g g b d c B a G D O 三、平面内的点和直线 1. 平面内作点的投影 点在平面内，点在平面内的任一已知直线上。 X O a b a b c c P C A B G D g d d g

P 2. 平面内作直线的投影 e 1)直线通过平面上两个点； 2)直线通过平面内一个点，且平行于平面内任一直线； X O a b a b c c P e e d d C A B f f D E F