第2课时　指数函数及其性质的应用

1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题. 1.指数函数单调性在比较大小，解不等式及求最值中的应用．(重点)

1．函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域 是________． 若a>1，则当x＝0时，y__1；当x>0时，y>1；当 x<0时，y__1. 若0<a<1，则当x＝0时，y__1；当x>0时，y<1， 当x<0时，y__1. 2．a>1时，函数y＝ax在R上是_______． 0<a<1时，函数y＝ax在R上是_______． (0，＋∞) ＝ < ＝ > 增函数 减函数

3．若a>b>1，当x>0时，函数y＝ax图象在y＝ bx图象的上方；当x<0时，函数y＝ax图象在y ＝bx图象的下方； 函数y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝a－x(a>0，且a≠1) 的图象关于____对称． y轴

复合函数y＝af(x)单调性的确定： 当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间_____； 当0<a<1时，f(x)的单调增区间是y的单调_____ ___．f(x)的单调减区间是y的单调_______． 相同 减区 间 增区间

解析：　要使函数有意义， 则1－2x≥0，即2x≤1， ∴x≤0.故选A. 答案：　A

答案：　A

3．设23－2x>0.53x－4，则x的取值范围是________．

由题目可获取以下主要信息：①所给函数与指数函数有关；②定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，③值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解.

[题后感悟]　对于y＝af(x)这类函数， (1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围 (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．　

解答本题可以看成关于2x的一个二次函数，故可令t＝2x，利用换元法求值域.

[解题过程]　函数定义域为R. 令2x＝t(t>0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2. ∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，∴y>1， ∴值域为{y|y>1，y∈R}． [题后感悟]　如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的值域？ ①换元，令t＝ax； ②求t的范围，t∈D； ③求二次函数y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域．

如图所示： (1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1个单位得f(x－1)的图象，如下图

(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得－f(x)的图象，如图(1) (3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(－x)的图象，如图(2)

[题后感悟]　利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)(2)；对称需分清对称轴是什么，如(3)(4)．　

利用复合函数的单调规律求之.

[解题过程]　(1)设y＝au，u＝x2＋2x－3. 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数． 根据y＝au的单调性，当a>1时，y关于u为增函数； 当0<a<1时，y关于u为减函数． ∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)．

[题后感悟]　如何判断形如y＝af(x)(a>0且a≠1)的函数的单调性？ 方法一：利用单调性定义比较y1＝af(x1)与y2＝af(x2)时，多用作商后与1比较． 方法二：利用复合函数单调性：当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．　

答案：　A

解析：　(1)由2x－1≠0，得x≠0， ∴函数定义域为{x|x≠0，x∈R}； (2)在定义域内任取x，则－x在定义域内

1．y＝f(ax)型或y＝af(x)型的图象特征 函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝a－x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称，函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－a－x(a>0且a≠1)的图象关于坐标原点对称．

2．y＝φ(ax)型或y＝af(x)型函数的单调规律 研究形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性，可以有如下结论：当a>1时，函数y＝af(x)的单调性与f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y＝af(x)的单调性与f(x)的单调性相反．而对于形如y＝φ(ax)(a>0，且a≠1)的函数单调性的研究，也需结合ax的单调性及φ(t)的单调性进行研究．

复合函数y＝f(φ(x))的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出y＝f(u)与u＝φ(x)两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数，为何有“同增异减”？我们可以抓住“x的变化→u＝φ(x)的变化→y＝f(u)的变化”这样一条思路进行分析．

◎求方程2|x|＋x＝2的实根的个数． 解析：　原方程可化为2|x|＝2－x. 令y1＝2x，y2＝2－x. 在同一坐标系内作出两函数 图象，如图所示． ∵两函数有两个交点， ∴方程2|x|＋x＝2有两个不同的根． [题后感悟]　本题巧妙地构造函数，利用图象交点个数判定方程解的个数，充分体现数形结合的观点．　

课后练习 练规范、练技能、练速度