特殊的平行四边形复习

一、特殊的平行四边形的关系图 矩 形 一组邻边相等 一角为90° 两组对边分别平行 四边形 正方形 平行四边形 一组邻边相等 一角为90° 矩 形 一组邻边相等 一角为90° 四边形 两组对边分别平行 正方形 一角为直角且一组邻边相等 平行四边形 一组邻边相等 一角为90° 菱 形

一、特殊的平行四边形的关系图 四边形 平行四边形 正方形 菱形 矩形

二、几种特殊平行四边形的性质 边 角 对 角 线 对称性 平行 四边形 对角相等， 邻角互补 对边平行 且相等 中心对称图形 对角线互相平分 对 角 线 对称性 平行 四边形 对角相等， 邻角互补 对边平行 且相等 中心对称图形 对角线互相平分 对边平行 且相等 轴对称图形、中心对称图形 四个角 都是直角 对角线相等且互相平分 矩 形 对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 菱 形 对边平行，四边相等 对角相等, 邻角互补 轴对称图形、 中心对称图形 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对边平行， 四条边 都相等 四个角 都是直角 轴对称图形、 中心对称图形 正方形

三、特殊平行四边形的常用判定方法 (1)两组对边分别平行； (2)两组对边分别相等； 平行 四边形 (3)一组对边平行且相等 (4)对角线互相平分； （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； 矩 形 （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 菱 形 （2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 (1)有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 正方形 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形。

四、探究开放题 1.已知：AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________________________________________________________________________________________________________. AB∥CD（AD=BC、∠A+∠D=180°、 ∠B+∠C=180°、∠A=∠C、∠B=∠D）

2.若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件_________________使得四边形ABCD为菱形. AB=BC 或AC⊥BD A D B C A D B C

3.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC， 若对角线 AC=6cm，则你能求什么？ 角？ 边？ 周长？ 面积？

4.如图，菱形ABCD的边长为8㎝，∠BAD=120°，你可以求什么？ (1)菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半. (2)当菱形有一个内角为60°时，以等边三角形为突破口.

5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为 菱形 ，并说明理由。 解：添加的条件 __________ AC＝BD 我想到： 三角形中位线定理

5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为 矩形 ，并说明理由。 解：添加的条件 __________ AC⊥BD 我想到： 三角形中位线定理

5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为 正方形 ，并说明理由。 解：添加的条件 __________ AC＝BD 且AC⊥BD 我想到： 三角形中位线定理

我发现： (1)顺次连接对角线既不相等也不垂直的四边形各边中点得 (2)顺次连接对角线相等但不垂直的四边形各边中点得 平行四边形； (3)顺次连接对角线互相垂直但不相等的四边形各边中点得 (4)顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点得 平行四边形； 菱形； 矩形； 正方形.

6.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 . 2.5 我想到： 平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等.

7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形状. 　∴CO=DO ∴四边形CODP是菱形

如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？ 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC， 连结CP，试判断四边形CODP的形状. A B D C O P 如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？ 如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？ P C D O B A 图二 图一 A O D P B C

解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。 AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。 8.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形. （1）当∠BAC等于 时，四边形ADFE是矩形； （2）当∠BAC等于 时，平行四边形ADFE不存在； （3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形. 150° 60° 解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。 AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。 B C A E F D 60°

如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD于点F （1）求证OE=OF （2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 A A D D O O E F M M C B C F B E

1.已知△ABC中,D是AB的中点,E是AC上的点,且∠ABE=∠BAC,EF∥AB,DF∥BE,请猜想DF与AE有怎样的特殊关系,并说明理由. 若要使AE⊥DF,点E还应满足什么条件?

2.已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求证：MN∥BC. 提示:证明△ABQ和 △CAR是等腰三角形 F E N M C B R Q

3. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，点E、F在对角线AC上，试问：当BE、DF满足什么条件时，EF与BD互相平分？并说明理由．