材料力学 Mechanics of Materials 第八章 组 合 变 形 Chapter8 Combined deformation

(Eccentric loads &the kern of a section) §8-3 偏心拉（压）• 截面核心 (Eccentric loads &the kern of a section)

(Eccentric loads &the kern of a section) §8-3 偏心拉（压）• 截面核心 (Eccentric loads &the kern of a section) 一、偏心拉（压） (Eccentric loads） 1、定义（Definition) 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时， 将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。 O1 y z F A(yF,zF)

2、以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例 (1) 将外力向截面形心简化，使每个力(或力偶)只产生一种 基本变形形式 力偶矩 m = F e， 轴向拉力 F 将 m 向y轴和z轴分解 O1 y z A(yF,zF) F x F e F z y Fe

F 使杆发生拉伸变形 z F My Mz My 使杆发生 xz 平面内的 弯曲变形（y 为中性轴） Mz 使杆发生 xy 平面内的 O1 F x My Mz My 使杆发生 xz 平面内的 弯曲变形（y 为中性轴） Mz 使杆发生 xy 平面内的 弯曲变形（z 为中性轴）

force on any cross section n-n) 二、任意横截面n-n上的内力分析（Analysis of internal force on any cross section n-n) 弯矩 轴力 FN= F F y O1 My Mz n y z My Mz FN

(Stress analysis at point c on cross section n-n) 三、任意横截面 n-n 上 C 点的应力分析 (Stress analysis at point c on cross section n-n) y z My Mz FN 由 F产生的正应力 (y,z) 由 My 产生的正应力 由 Mz 产生的正应力

Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩; 由于 C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知, 均为拉应力 y z My Mz FN 由叠加原理，得 C点处的正应力为 (y,z) 式中 A为横截面面积; Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩; ( zF，yF ) 为力 F 作用点的坐标; ( z，y) 为所求应力点的坐标.

四、中性轴的位置（The location of neutral axis) 上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按线性规 律变化。应力平面与横截面的交线（直线  = 0）就是中 性轴。

令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标，即得中性轴方程 讨论 O z 中性轴 y (1) 在偏心拉伸 (压缩) 情 况下， 中性轴是一条不通过截面形心的直线

(2) 用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距，则有 (3) 中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧 中性轴 z (yF , zF ) O y ay az

（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 y z y z 中性轴 中性轴 外力作用点 D1(y1,z1) D2(y2,z2) （4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两切点

(5) 对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处， 并可根据杆件的变形来确定 y z z z My FzF/Wy FyF/Wz Mz y y (a) (b) (c) N (5) 对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处， 并可根据杆件的变形来确定

五、强度条件 (Strength condition) 最大拉应力 tmax 和最大压应力 cmin 分别在截面的棱角 D1 D2 处 . 无需先确定中性轴的位置 ,直接观察确定危险点的位置 即可 五、强度条件 (Strength condition) y z D1 D2 中性轴 由于危险点处仍为单向应力状态，因此， 求得最大正应力后，建立的强度条件为

六、截面核心（The kern of a section) z (yF,zF) 中性轴 （yF，zF）为外力作用点的坐标 y ay，az为中性轴在y轴和z轴上的截距 当中性轴与图形相切或远离图形时，整 个图形上将只有拉应力或只有压应力

z z (yF,zF) 中性轴 (yF,zF) y y z 中性轴 (yF,zF) 中性轴 y

1、定义(Definition) 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力 ），这个区域就称为截面核心 (The kern of a section) z y 截面核心

2、截面核心的确定(Determine the kern of a section) z 当外力作用在截面核心的边界 上时，与此相应的中性轴正好 与截面的周边相切。截面核心 的边界就由此关系确定。 (yF,zF) y 截面核心 中性轴

作切线  为中性轴 ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为 例5 求圆形截面的截面核心 1 作切线  为中性轴 ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为 y z O d  A 圆截面的惯性半径 1 d/8 由于圆截面对于圆心O是对称的,因而,截面核心的边界对于 圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以O为圆心,以 d/8为半径的圆 2

例6 求矩形截面的截面核心(The kern of a rectangle section) 作切线  为中性轴，得两截距分别为 1  h b A B C D y z O 1 矩形截面的

直线  绕顶点 B 旋转到直线  时，将得到一系列通过 B点 但斜率不同的中性轴，而 B点坐标 yB , zB 是这一系列中性轴 同理,分别作切线 、 、 ， 可求得对应的核心边界上点的坐标 依次为 2 h b A B C D y z    2 1 3 4  矩形截面核心形状分析 3 直线  绕顶点 B 旋转到直线  时，将得到一系列通过 B点 但斜率不同的中性轴，而 B点坐标 yB , zB 是这一系列中性轴 上所共有的。

h b A B C D y z     2 3 4 1 这些中性轴方程为

上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程 。 这些中性轴方程为 上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程 。 故外力作用点移动的轨迹是直线。 h b A B C D y z    2 1 3 4 

(1) 对于具有棱角的截面，均可按上述方法确 定截面核心 4、讨论 (Discussion) (1) 对于具有棱角的截面，均可按上述方法确 定截面核心 (2) 对于周边有凹进 部分的截面（如T字形截 面），不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴，因为这种直线穿过 横截面。

(Combined bending and torsion) §8-4 扭转与弯曲的组合 (Combined bending and torsion)

(Combined bending and torsion) §8-4 扭转与弯曲的组合 (Combined bending and torsion) 研究对象(Research object) 圆截面杆(circular bars) 受力特点(Character of external force) 杆件同时承受转矩和横向力作用 变形特点(Character of deformation) 发生扭转和弯曲两种基本变形 L a A B C F

(Analysis of internal force) 一、 内力分析 (Analysis of internal force) l a A B C F 设一直径为 d 的等直圆杆 AB , B 端具有与 AB 成直角的刚臂。 研究AB杆的内力。 将力 F 向 AB 杆右端截面的 形心B简化得： B A F m x 横向力 F （引起平面弯曲） 力偶矩 m = Fa （引起扭转） AB 杆为弯、扭组合变形

画内力图确定危险截面 A F A m m Fl 固定端A截面为危险截面

二、应力分析(Stress analysis) C1  危险截面上的最大弯曲 正应力 发生在C1 、C2 处。 C3 C4 C2 最大扭转切应力  发生在截面 周边上的各点处。  C3 C4 C2 C1 T 危险截面上的危险点为C1 和 C2 点

 对于许用拉、压应力相等的 塑性材料制成的杆，这两点的 危险程度是相同的。 可取任 意点C1 来研究。  C1 点处于平面应力状态,  A截面 T  C3 C4 C2 C1 C3 C4  C2 C1 对于许用拉、压应力相等的 塑性材料制成的杆，这两点的 危险程度是相同的。 可取任 意点C1 来研究。 C1 点处于平面应力状态, 该点的单元体如图示 C1  

(Analysis of strength condition) 三、强度分析 (Analysis of strength condition) C1  1、主应力计算 (Calculating principal stress)   2、相当应力计算(Calculating equal stress) 第三强度理论,计算相当力 第四强度理论,计算相当应力

3、强度校核（Check the strength)  

讨 论 1    该公式适用于图示的平面应力状态。 是危险点的正应力， 是危险点的切应力。 讨 论 C1  1   该公式适用于图示的平面应力状态。 是危险点的正应力， 是危险点的切应力。 该公式适用于 弯，扭 组合变形；拉（压）与扭转的组合 变形;以及 拉（压），扭转 与 弯曲的组合变形

弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为 对于圆形截面杆有 C1 2   弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为 式中W为杆的抗弯截面系数。M，T分别为危险截面的弯矩和扭矩. 以上两式只适用于 弯，扭 组合变形下的圆截面杆。

例题8 传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩m=1kN·m，皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，L=200mm，轴的许用应力[]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径。 z F1 F2 x y A B l/2 m

z F1 F2 x y A B l/2 m 解：将力向轴的形心简化 m F=3F2 轴产生扭转和垂直纵向 对称面内的平面弯曲

m F=3F2 中间截面为危险截面 + T=1kN·m 1kN·m +

例题10 F1=0.5kN ，F2=1kN ，[]=160MPa。 （1）用第三强度理论计算 AB 的直径 （2）若AB杆的直径 d = 40mm，并在 B 端加一水平力 F3 = 20kN，校核AB杆的强度。 F1 F2 A B C D 400

解: 将 F2 向AB杆的轴线简化得 F1 AB 为弯、扭组合变形 固定端截面是危险截面 F2 F2 F1 A B C D 400 400 m B A F2 C F1

(2) 在 B 端加拉力 F3 F3 AB 为弯，扭与拉伸组合变形 固定端截面是危险截面 F1 F2 F3 F2 F1 A B C D 400 (2) 在 B 端加拉力 F3 F3 AB 为弯，扭与拉伸组合变形 固定端截面是危险截面 400 400 m F3 B A F2 C F1

固定端截面最大的正应力为 F3 F1 最大切应力为 F2 由第三强度理论 F3 F2 F1 A B C D 400 400 400 m B

作业： 8.10、8.16、8.18、8.21

本章完！ 祝大家学习愉快!