2019年1月16日9时17分 概率论 Probability 江西财经大学 2017年 2019年1月16日9时17分

1.2.3 古典概型 假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分析, 我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 , 比任一其它结果, 例如 , 更有优势, 则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会, 即1/N的出现机会。 2019年1月16日9时17分

试验结果 你认为哪个 结果出现的 可能性大？ 常常把这样的试验结果称为“等可能的”。 2019年1月16日9时17分

例如, 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。将球编号为1－10 例如, 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。将球编号为1－10. 把球搅匀, 蒙上眼睛, 从中任取一球。 10个球中的任一个被取出的机会是相等的, 均为1/10。 8 5 9 6 1 4 2 3 10 7 2019年1月16日9时17分

定义 若某实验E满足 (1) 有限性: 样本空间 (2) 等可能性: 则称E为古典概型, 也叫等可能概型。 一 古典概型的定义 一 古典概型的定义 定义 若某实验E满足 (1) 有限性: 样本空间 (2) 等可能性: 则称E为古典概型, 也叫等可能概型。 2019年1月16日9时17分

. Ω2 中样本点（二正一反)是(三正)的三倍。 注 意 抛一枚硬币三次  抛三枚硬币一次 Ω1={正正正, 正正反, 正反正, 反正正, 正反反, 反正反, 反反正, 反反反} 此样本空间中的样本点等可能。 Ω2={三正, 二正一反, 二反一正, 三反} 此样本空间中的样本点不等可能。 . Ω2 中样本点（二正一反)是(三正)的三倍。 2019年1月16日9时17分

定义： 设实验E是古典概型, 其样本空间Ω由个样本点组成, 事件A由 个样本点组成。则定义事件A的概率为: 2019年1月16日9时17分 定义： 设实验E是古典概型, 其样本空间Ω由个样本点组成, 事件A由 个样本点组成。则定义事件A的概率为: A包含的样本点数 P(A)= = Ω中的样本点总数 称此概率为古典概率，这种确定概率的方法称为古典方法。 这样就把求概率问题转化为计数问题。 2019年1月16日9时17分

解 ：用一个 “ 颜色对 ” 表示所取出的两个球。 例1 从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率:（1）不放回抽样的场合；（2）有放回抽样的场合。 解 ：用一个 “ 颜色对 ” 表示所取出的两个球。 记 A——取到一个红球和一个白球。 （1）不放回抽样的场合 〔方法一〕考虑取球的顺序 ={（红，白），（红，黑），（白，红）， （白，黑），（黑，红），（黑，白）}， A ={（红，白），（白，红）}， 2019年1月16日9时17分

例1 从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率。（1）不放回抽样的场合 例1 从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率。（1）不放回抽样的场合 〔方法一〕考虑取球的顺序 〔方法二〕不考虑取球的顺序  ={（红，白），（红，黑），（白，黑）}， A ={（红，白）}， 这两种方法的不同点主要在于所选取的样本空间不同。虽然使用了不同的方法，却可以得到相同的结果，说明对同一问题，可以用不同的方法来解决，只要所使用的方法正确，所得到的结果是一致的。 2019年1月16日9时17分

={（红，红)，（红，白）,（红，黑),（白，红), (白，白), （白，黑), （黑，红),（黑，白）， （黑，黑）}， 例1 从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率； （1）不放回抽样的场合（2）有放回抽样的场合。 ={（红，红)，（红，白）,（红，黑),（白，红), (白，白), （白，黑), （黑，红),（黑，白）， （黑，黑）}， A ={（红，白），（白，红）}， 2019年1月16日9时17分

注：加法原理与乘法原理的区别是：前者经过一步，就可以完成一件工作；而后者必须经过 k 步之后，才能完成一件工作。 二 计数方法 1、加法原理（分类计数） 完成一件工作有 k 种方式，第一种方式有 n1 种 方法，第二种方式有 n 2 种方法，…，第 k 种方式有 n k 种方法。无论通过哪一种方法，都可以完成这件工作，则完成这件工作的方法总数为：n1 + n 2 + … + n k 。 2、乘法原理（分步计数） 方法相加 完成一件工作有 k 个步骤，第一步有 n 1 种方法，第二步有 n 2 种方法，…，第 k 步有 n k 种方法。必须经过每一个步骤，才算完成这件工作，则完成这件工作的方法总数为：n1  n 2  …  n k 。 2019年1月16日9时17分 方法相乘

从 n 个不同的元素中，有放回地取出 k 个元素，按照所取元素的顺序进行排列，这种排列称为可重复排列。 3、排列 从含有 n 个不同元素的总体中取出 k 个元素进行排列，既要考虑到取出的元素，又要顾及到取元素的顺序。 （1）可重复排列 有放回抽样 从 n 个不同的元素中，有放回地取出 k 个元素，按照所取元素的顺序进行排列，这种排列称为可重复排列。 由于每次选取一个元素时，都是在全体 n 个元素中进行的，都有 n 种取法。根据乘法原理，可重复排列的不同排列种数为：n  n  …  n = n k 。 2019年1月16日9时17分

由于每选出一个元素以后，元素的总数就减少一个。根据乘法原理，选排列的不同排列种数记作： （2）选排列 不放回抽样 从 n 个不同的元素中，不放回地取出 k 个元素（ k  n），按照所取元素的顺序进行排列，这种排列称为从 n 个不同元素中取出 k 个元素的选排列。 由于每选出一个元素以后，元素的总数就减少一个。根据乘法原理，选排列的不同排列种数记作： 2019年1月16日9时17分

10 =104 =5040 10 9 8 7 分析:分4步完成 0943665 所以可能情况有：4×4×4＝ （种）。 例、电话号码是0943665××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码? 分析:分4步完成 n个球随机地放入N个盒中,共有 种放法？ 0943665 10 × =104 =5040 10 9 8 7 × 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码? 又例如，4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？ （1）第一项冠军有4种可能； 解：完成这件事情可分三步： （2）第二项冠军有4种可能； 所以可能情况有：4×4×4＝ （种）。 （3）第三项冠军有4种可能。 2019年1月16日9时17分

例、 五名学生报名参加四项体育比赛，(1)每人限报一项，报名方法的种数有多少？(2)又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ n个球随机地放入N个盒中,共有 种放法？ 解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 种 。 （2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有5×５×５×５= 种 。 2019年1月16日9时17分

注：排列与组合的区别是：前者与次序有关，而后者与次序无关。 不放回抽样 4、组合 从 n 个不同的元素中，不放回地取出 k 个元素（ k  n）,不考虑元素取出的顺序，而将它们并成一组，称为从 n 个不同元素中取出 k 个的组合，不同的组合种数记作： 注：排列与组合的区别是：前者与次序有关，而后者与次序无关。 2019年1月16日9时17分

三 排列组合问题的解题策略 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法，排列中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。 2019年1月16日9时17分

一. 特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的 五位奇数。 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排这两个位置. （1）先排末位共有___ （2）然后排首位共有___ （3）最后排其它位置共有___ 由分步计数原理得 =288 2019年1月16日9时17分

解：可（1）先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，（2）同时丙丁也看成一个 复合元素，（3）再与其它元素进行排列， 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可（1）先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，（2）同时丙丁也看成一个 复合元素，（3）再与其它元素进行排列， （4）同时对相邻元素内部进行自排。 甲 乙 丙 丁 由分步计数原理可得共有 种不同的排法。 =480 2019年1月16日9时17分

解:分两步进行：第一步排2个相声和3个独唱共 有 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行：第一步排2个相声和3个独唱共 有 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排 好的5个元素中间包含首尾两个空位共有 种 不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有 种 相 独 独 独 相 2019年1月16日9时17分

上任意排列有____种,则共有_________种. 四.多排问题直排策略 例4. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有____种,再排后4个位置上的 特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置 上任意排列有____种,则共有_________种. 前排 后排 2019年1月16日9时17分

四 分配问题举例 （1）6本不同的书分给5名同学，每 人一本，有多少种不同分法？ 例1. （1）6本不同的书分给5名同学，每 人一本，有多少种不同分法？ （2）5本相同的书分给6名同学，每人至多一本，有多少种不同的分法？ （3）6本不同的书全部分给5名 同学每人至少一本，有多 少种不同的分法？ 2019年1月16日9时17分

分配问题 例1 （4）6本不同的书分给3名同学，甲1本、乙2 本、丙3本，有多少种不同的分法？ （5）6本不同的书分给甲、乙、丙3名同学， 每人两本，有多少种不同分法？ 2019年1月16日9时17分

隔板法 分配问题 （1）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的方法？ 解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份 例2： 2019年1月16日9时17分

隔板法 分配问题 （2）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？ 例2： （2）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？ 解：将7个小球用3块隔板分成4份，但盒子又不能空。 2019年1月16日9时17分

五 古典概型计算举例 2019年1月16日9时17分

例2 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率。 解 : 令A={恰有k件次品} 正品 N-M件 次品 M件 上式即为超几何分布的概率公式。 …… 2019年1月16日9时17分

例3 （分组问题）将一幅52张的扑克牌平均地分给四个人， 分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率 各为多少？ 解：令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌} 2019年1月16日9时17分

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2 1 1 2 设A=每一节车厢内至少有一个旅客 第一步 选n人 第二步 选剩余n-k人 元素流动 情形一 1车厢 重复！！！ 情形二 解：下列解法是错误的 设A=每一节车厢内至少有一个旅客 第一步 选n人 第二步 选剩余n-k人 元素流动 情形一 1车厢 2 1 重复！！！ 1 情形二 1车厢 2 2019年1月16日9时17分

例7 第一步 第二步 情形1 情形2 情形3 重复了！！！！ 从52张扑克牌中任取13张，求至少有两种4张同号的概率。 2019年1月16日9时17分

√ 例8 掷两枚均匀的骰子，求出现的点数之和等于 3 的概率。 [ 错解 ] 考虑两枚骰子掷出的点数之和。 = { 3 } ， 例8 掷两枚均匀的骰子，求出现的点数之和等于 3 的概率。 [ 错解 ] 考虑两枚骰子掷出的点数之和。 记 A —— 出现的点数之和等于 3 ， = { 3 } ， 则 = { 2 , 3 , … , 12 } ； √ [ 错因] 在样本空间  = { 2 , 3 , … , 12 } 中，各样本点出现的可能性是不一定相同的。 例如，数值 2 只有当掷出的点数分别为 ( 1 , 1 ) 时才会出现，而数值 3 在掷出的点数分别为 ( 1 , 2 ) 和 ( 2 , 1 ) 时都会出现，其出现的可能性时 2 / 36 。因而数值 2 和 3 出现的可能性是不同的。 2019年1月16日9时17分

如果突破古典概型的第一个限制，而保留其第二个限制，就是几何概型。 1.2.4 几何概型 在计算古典概率时，必须满足两个基本条件： （1）样本空间  有限; （2）每个可能的结果出现的可能性相同。 如果突破古典概型的第一个限制，而保留其第二个限制，就是几何概型。 例如，从区间 [0，1]中随机地取出一个数  ，则这个随机试验的样本空间  =：01= [0，1]。它是由无限个样本点组成的，而数  是从闭区间[0，1] 中“等可能”地抽取的，所以它是一个几何概型的随机试验。 2019年1月16日9时17分

定义 如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域Ω任取一点，而所取的点落在Ω中任意两个度量（长度、面积、体积）相等的子区域内的可能性是一样的，则称此试验模型为几何概型，对于任意有度量的子区域， ，定义事件“任取一点落在区域A内”发生的概率为 2019年1月16日9时17分

例 1 (会面问题)甲乙两人约定于9时到10时之间在某地会面, 先到的等20分钟, 过时离去 例 1 (会面问题)甲乙两人约定于9时到10时之间在某地会面, 先到的等20分钟, 过时离去. 假定每个人在指定的1小时内的任一时刻到达是等可能的, 求这两人能会面的概率. 解 设X、Y分别表示甲乙两人的到达时刻, 从9时算起, 单位取分钟, 则 两人会面的条件是 y 60 A 20 Ω 20 60 x 2019年1月16日9时17分

设 x ——针的中心点 M 到最近的一条平行线的距离，  ——针与此平行线的交角， 例2 （投针问题）平面上有一簇平行线，它们之间的距离都等于 a (a>0) ，向此平面任意投一长度为 l（l < a）的针，试求此针与任一平行线相交的概率。 解 记 A ——针与一条平行线相交。 设 x ——针的中心点 M 到最近的一条平行线的距离，  ——针与此平行线的交角， 则针在平面中的位置可以用数对( ，x) 来表示。 于是  = {（  ，x）： 0    ，0  x  }。 如果事件 A 发生，即针与一条平行线相交，则针的中点 M 到最近的一条平行线的距离 x 必须满足：0  x  sin ，  x a l 2019年1月16日9时17分

 = {（  ，x）： 0    ，0  x  }。 于是，A = {（ ，x ）：0    ，0  x  sin  。  0  / 2  A  x= sin  x 1  x a l x 2019年1月16日9时17分

应用 —— 计算圆周率 k可以用计算机模拟，这种方法称为蒙特-卡洛法 设投了 N 次中有 k 次与平行线相交，则由频率的稳定性，知：当 N 充分大时， 且 N 越大，近似的程度就越高。 k可以用计算机模拟，这种方法称为蒙特-卡洛法 2019年1月16日9时17分

但是，A  。 例3 如果 A = ，则 P ( A ) = 0。反之不然。 反例 考虑下面的几何概型问题。 反例 考虑下面的几何概型问题。 从区间 [ 0，1 ] 中随机地取出一的数，求这个数恰好是 的概率。 记事件 A —— 取到的数恰好是 ， 样本空间  = [ 0，1 ] ， μ (  ) = 1； 事件 A = { } （即 A 是一个单点集），μ ( A ) = 0 。 但是，A  。 同样，概率为“1”的事件，也并不一定是必然事件。 2019年1月16日9时17分

概率为“1”的事件，也并不一定是必然事件。 下列解法是否正确？ 2019年1月16日9时17分