第六章 无套利价格关系式： 期权

本章主要内容： 6.1期权和远期合约 6.2连续变动率 6.3离散现金流 6.4期货期权的无套利关系 6.5市场间的无套利关系

关于无套利定价法： 在不需要期初投资的条件下，交易者在金融资产交易中转移资金，从而赚取无风险利润； 套利的两种常用方法： 1.现在进行净支出为零，在将来产生正的收益； 2.现在产生正的收益，在将来不会产生净支付；

6.1期权和远期合约 两个区别： 远期净持有成本为零，期权需要投资费用； 权利与义务的区别； 多头看涨期权收益： 多头看涨期权利润：

6.1期权和远期合约（续） 看涨期权多头与空头的期末利润：

6.1期权和远期合约（续） 多头看跌期权利润： 看跌期权多头与空头的期末利润：

6.1期权和远期合约（续） 远期多头利润： 综上所述：期权费用c和p是期权多头方权利的价格体现

看涨期权和看跌期权利润与远期合约利润的关系： 远期可由看涨期权多头和看跌期权空头构建； 6.1期权和远期合约（续） 看涨期权和看跌期权利润与远期合约利润的关系： 远期可由看涨期权多头和看跌期权空头构建； 如果： 看涨期权多头与看跌期权空头的净头寸与远期相似， 事实上，远期合约可由看涨期权和看跌期权来构建。

6.1期权和远期合约（续） 所有的衍生合约都可由以下这些基本工具中的任何一个来构建： (1)远期合约和看涨期权； (2)远期合约和看跌期权； (3)看涨期权和看跌期权； 问题：既然所有的衍生合约可由远期和期权来构建，而 远期可由看涨期权和看跌期权来构建，那么任何衍生合 约都可由期权来构建？

6.2连续变动率 利息成本/收益为连续，这与在离散现金流假设下相同；非利息成本/收益亦为连续，这与离散现金流的假设不同； 利息持有成本/收益为r（为无风险利率），非利息持有成本/收益为i（可正可负）； 6.2.1 欧式看涨期权的价格下限

构建组合： 卖出 单位标的资产现价为S 买入c； 买入 无风险债券 6.2.1 欧式看涨期权的价格下限（续） 构建组合： 卖出 单位标的资产现价为S 买入c； 买入 无风险债券

6.2.1 欧式看涨期权的价格下限（续） 无套利原则要求初始时刻的净资产价值小于零： 例6-1：分析欧式看涨期权的价格下限 得到： 　　假设期限３个月、股票指数组合的欧式看涨期权，执行价格为70，市场价格为4.25。假设当前指数水平为75，资产组合的股息收益率为4%，无风险利率为5%。能否进行无成本套利？ 本例中：r = 5% i =4% S=75 c=4.25 代入 得到：

6.2.1 欧式看涨期权的价格下限（续） 该看涨期权的定价低于价格下限，因而可以实现无风险 套利，构建以下组合： 买看涨期权：支付4.25 卖出 单位标的资产：得到收益的现值74.25 买入无风险资产：支付收益的现值69.13 无风险套利利润：-4.25+74.25-69.13=0.87

6.2.2 美式看涨期权的价格下限 证明如下： 买入一份美式看涨期权，若现在立即执行，则所得资金为S-X， 如果C< S-X,可以立刻买入C并立刻执行，实现无成本套利利润 S-X-C>0；

6.2.3美式看涨期权的提早执行 代表看涨期权的最低价格； S-X代表美式看涨期权立即执行时多头方可获取的收益； 时，无提前执行美式看涨期权的合理性 是提前执行C的必要条件

将提前执行的成本和收益分成两部分： 利息收益或成本；非利息收益或成本； 6.2.3美式看涨期权的提早执行（续） 将提前执行的成本和收益分成两部分： 利息收益或成本；非利息收益或成本； 1.若i<0,若提前执行： 则需承担利息成本 同时承担存储成本 结论：当i<0时，美式看涨期权不可能提前执行 2.若i>0,若提前执行： 则需承担利息成本 同时得到非利息收益 结论：当i>0时，美式看涨期权有可能提前执行

构建组合： 买入 单位的资产； 买入看跌期权p； 卖出无风险资产； 6.2.4欧式看跌期权的价格下限 构建组合： 买入 单位的资产； 买入看跌期权p； 卖出无风险资产；

6.2.4欧式看跌期权的价格下限（续） 无套利定价要求资产组合的现值 例6-3: 分析欧式看跌期权的价格下限 因而 例6-3: 分析欧式看跌期权的价格下限 假设期限３个月、股票指数组合的欧式看跌期权，执行价格 为70，市场价格为8.8。假设当前指数水平为61，资产组合的 股息收益率为4%，无风险利率为5%。能否进行无成本套利？ 本例中 r=0.05; i=0.04; p=8.8; S=61； X=70；期限为3/12

若 ，可立刻买入美式看跌期权，并立即执行可获利润X-S-P>0 6.2.5美式看跌期权的价格下限（续） 若 ，可立刻买入美式看跌期权，并立即执行可获利润X-S-P>0

是美式看跌期权的最低价格；X-S是 美式看跌期权立即执行时多头方可获取的收益； 6.2.6美式看跌期权的提前执行 是美式看跌期权的最低价格；X-S是 美式看跌期权立即执行时多头方可获取的收益； 时，美式看跌期权有可能提前执行 即 1.若i<0,若提前执行： 则会得到利息收益 同时不需承担存储成本 结论：i<0时的美式看跌期权一定被提前执行吗？ 考虑到标的资产价格有进一步下跌的可能，美式 看跌期权只能是提前执行。

6.2.6美式看跌期权的提前执行(续) 2.若i>0，若提前执行： 则会得到 同时让渡的非利息收益 结论：美式看跌期权可能被提前执行 美式看涨期权 美式看跌期权 无提前执行合理性 可能提前执行

总结： 美式看跌期权 美式看涨期权 i<=0 无提前执行合理性 可能提前执行 i>0 可能提前执行 可能提前执行

6.2.7欧式看跌-看涨期权平价 构建组合： 买入 单位标的资产: 买入p: 卖出c: c 卖出 无风险债券:

6.2.7欧式看跌-看涨期权平价(续) 无套利原则要求组合的初值 例6-5: 分析欧式期权的看跌-看涨平价 假设期限３个月的看涨和看跌期权，执行价格都是70，市场价格分别为5.00和4.50。假设期权标的资产组合当前的指数水平为70，指数资产组合的股息收益率为3%，无风险利率为5%。能否进行无成本套利？ 本例中：c=5.00; p=4.50; X=70; S=70; r=5%; i=3%; 期限为三个月

6.2.7欧式看跌-看涨期权平价(续) 无风险套利的实现： 买入 单位标的资产； 卖出 无风险资产； 卖出看涨期权c； 买入看跌期权p；

6.2.7欧式看跌-看涨期权平价(续) 例6-6：Russell Sage 卖出无风险资产 买入标的资产 要求借款人抵押股票，最高贷款额为股票现价； 签定协议：授权Sage可以将股票以初始价格卖回给借款人； 借款人须支付一笔现金以购买按股票初始价格买回股票的权利 贷款相当于卖出无风险资产； 要求股票作抵押相当于买入标的资产； 给Sage的授权相当于免费给自己提供一份看跌期权； 卖出了一份看涨期权； 卖出无风险资产 买入标的资产 无费用的“买入”一份“看跌期权” p=0； 卖出看跌期权 c=50

6.2.7欧式看跌-看涨期权平价(续) 期初总投入： 期末时无论股价高于或低于600万，都将总收益600万 r=17.4%

6.2.9美式期权的看涨-看跌平价 (6-12a) (6-12b) 下证（6-12b）中： 构建组合： 卖出 单位标的资产； 卖出P； 卖出 单位标的资产； 卖出P； 买入C； 买入价值为X的无风险债券；

6.2.9美式期权的看跌看涨平价（续） 无套利原则要求 因而有

6.2.9美式期权的看跌看涨平价（续） 下证（6-12b）中 构建组合： 买入标的资产，现价为S； 买入P； 卖出C； 卖出 的无风险资产；

6.2.9美式期权的看跌看涨平价（续）

6.2.9美式期权的看跌看涨平价（续） (6-12a)： 下证 当i<=0时，美式看涨期权无提前执行合理性，于是C=c； 当i<=0时，美式看跌期权有可能提前执行，于是P>=p; 由欧式看涨看跌期权公式：

6.2.9美式期权的看跌看涨平价（续） (6-12a)： 综上，c+X>P+S，加之c=C，因而有 下证： 构建组合： 若美式看跌期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为 ，而组合1的价值为 ，因此 组合1的价值大于组合2的价值； 若美式看跌期权在 时刻提前执行，则在 时刻，组合2 价值为X，而此时组合1的价值大于等于 ，因此组合1 的价值仍大于组合2； 综上，c+X>P+S，加之c=C，因而有

6.2 连续变动率（总结）

第六章 无套利价格关系式 6.3 离散现金流

几点说明 利息成本仍为连续比例（r） 非利息成本/收益为离散现金流(It) It>0,股票的股息红利或债券的息票利息

6.3.1欧式看涨期权的价格下限 假设标的资产在期权有效期内只付一次现金利息 (6-13) 该关系式中， 是将在时刻t收到的承诺利息的现值，其中t<T，套利交易策略为：卖出资产，买入看涨期权，并买入无风险债券。看表6-8 (6-13)

表6-8：支持欧式看涨期权价格下限的套利组合交易，其中，期权标的资产支付离散现金股息， 。

因为资产组合在时刻T必定有非负净值，所以组合当前的净值必须小于或等于0，这意味着 。

6.3.2 美式看涨期权的价格下限 以及在原到期日到期的新看涨期权的价格下限， 对于以股票为标的资产的美式看涨期权，在除息日（股价下降）前或在期权到期日执行，都可能是最优的选择。而从当前到除息日、以及除息日到到期日这两个期间，提早行权都不是最优的选择，因为持有看涨期权要比了结更有价值。 因此，美式看涨期权的价格下限等价于在除息日到期的新看涨期权的价格下限， 以及在原到期日到期的新看涨期权的价格下限， 。将这些结果结合在一起， (6-14)

6.3.3美式看涨期权的提早行权 （6-14）式右边最后两项对于决定是否在除息日前提早执行美式看涨期权具有重要的指导意义。 如果 即 则看涨期权不会被提前执行。他的意思其实也就是说如果除息日前执行合约所获得的现金流（如股息或息票利息）少于推迟执行合约从行权价格上所获得的从除息日到到期日期间的利息现值，美式看涨期权就不会被提早执行。 (6-15)

当然，（6-15）式的逻辑也适用于看涨期权有效期内有多笔已知利息支付的情况。以股票期权为例，如果第i次利息低于推迟行权从行权价格上获得的自本次付息日到下次付息日的利息现值，在第i次付息前提前执行合约不是最优的。即，如果 (6-16)

例6-7: 判断以付息股票为标的资产的美式看涨期权提早行权的可能性 一份美式看涨期权，执行价格为50，还有一年到期，请分析其能否在某次付息日前提早执行。假设股票将在70天、161天、252天和343天支付季度股息0.50。假设无风险利率为5%。 该看涨期权是否提前执行取决于付息金额与推迟行权从行权价格上获得的利息收入的现值两者孰大。对于第一次现金股息，计算表达式（6-16），发现

因此，在第一次股息支付前执行看涨期权不是最优的选择。第二次付息、第三次付息，也是如此，如下表所示。

Quarter——季度；Cash dividend——现金股息；Days to dividend payment——距付息日天数；Years to dividend payment——距付息日的年数；PV of interest income——利息收益的现值。

343天后收到最后一次股息，对于此次股息，条件（6-13）式不成立，即 这意味着在最后一次付息前执行合约可能是最优的。

6.3.4 欧式看跌期权的价格下限 欧式看跌期权的价格下限为 股息支付所导致的资产价格离散型下降会增加期权的价值 。 我们用这个套利交易来说明，即买入看跌期权、买入股票，并卖出 无风险债券。 (6-17)

6.3.5美式看跌期权的价格下限 美式看跌期权的价格下限为 右边第二项是付息日后立刻执行看跌期权可得到的执行资金的现值，该价格下限由上表所列欧式看跌期权的套利交易维持。右边第三项是立刻执行看跌期权可获得的执行资金。如果P<X−S，买入看跌期权和资产，并执行看跌期权，可赚取无成本套利利润，套利利润为X−S−P>0。 (6-18)

6.3.6 美式看跌期权的提早行权 如果(6-18)中第二项超过第三项 ，看跌期权不会在付息日前被执行，因为期权执行资金所获利息小于股息支付所导致的股价下降。 即 必须满足 (6-19)

换句话说，如果付息支付的数额超过立刻执行看跌期权所收到的资金获得的利息，提早执行看跌期权不是最优的。 与看涨期权一样，该分析也可扩展到美式看跌期权有效期内有多笔股息支付的情况。依然以股票期权为例，如果第i次股息大于两次付息期间的利息， 看跌期权不会在付息前执行合约，如下面的例子所述 (6-20)

例6-8: 判断以付息股票为标的资产的美式看跌期权提早行权的可能性 一份美式看跌期权，执行价格为50，还有一年到期，请分析其能否在某次付息日前提早执行。假设股票将在70天、161天、252天和343天支付季度股息0.50。假设无风险利率为5%。 该看跌期权是否提前执行取决于付息金额与立刻行权从行权资金上获得的利息收入两者孰大。对于第一次现金股息，计算表达式（6-20），

即 这意味着70天后第一次付息日前不会执行看跌期权。 第二次股息对应的计算结果为 这意味着第一次付息和第二次付息期间可能会执行看跌期权。第二次付息和第三次付息期间，以及第三次付息和第四次付息期间，情况也如此，如下表所述。

Quarter——季度；Cash dividend——现金股息；Days to dividend payment——距付息日天数；Years to dividend payment——距付息日的年数；PV of interest income——利息收益的现值

6.3.7 欧式期权的看跌-看涨平价 欧式期权看跌-看涨平价关系式为 说明这点，假设（6-21）左边小于右边。这种情况下，卖出资产，卖出看跌期权，买入看涨期权并买入一些无风险债券，就可赚取套利利润。表6-9列出了套利交易详情。在时刻T，资产组合的净值必定为0，时刻t支付股息时也必定如此。 因此，时刻 (6-21)

0的价值 代表套利利润，如果（6-21）式左边小于右边，套利利润为正。因为市场没有处于均衡，所以套利会继续进行直到资产组合价值变为0，此时市场均衡，（6-21）式成立。

表6-9：支持欧式看跌期权-看涨期权平价关系式成立的套利组合交易，其中，期权标的资产支付离散现金股息，

6.3.8 美式期权的看跌-看涨平价 美式期权的看跌-看涨平价关系式为 要理解其原因，我们依次考察（6-22）两边的不等式。买入一份看涨期权，卖出一份看跌期权，卖出股票，并买入 无风险债券，考察该资产组合的价值便可得到左边不等式。表6-10列出了这些交易以及资产组合的净值。 (6-22)

表6-10：支持美式看跌期权-看涨期权平价关系式成立的套利组合交易，其中，期权标的资产支付离散现金股息，。 Trades——交易；Initial investment——初始投资；Ex-day value(t)——除息日价值(t)；Put exercised early, intermediate value——提前执行看跌期权，中间值；Put exercised normally, terminal value——正常执行看跌期权，期末值；Buy call——买入看涨期权；Sell put——卖出看跌期权；Sell asset——卖出资产；Buy risk-free bonds——买入无风险债券；Net portfolio value——组合净价值。

由表6-10我们可以看出，如果所有头寸一直持有至到期，不管资产价格的终值是高于还是低于期权的执行价格，该组合的净值都为正。 如果资产价格终值高于执行价格，看涨期权会被执行，按执行价格X取得的资产部分用于抵补资产空头头寸。 如果资产价格终值低于执行价格，看跌期权就会被执行，执行看跌期权收到的资产可用于抵补股票的空头头寸。 当在时刻τ提前执行看跌期权时，无风险债券上的投资足以支付期权的执行价格，收到对方交付的资产再用以抵补资产空头头寸。另外，看涨期权保持敞口，并具有非负的价值。换句话说，表6-10描述的证券组合未来价值永远不为负。

而且，如果未来价值确定为非负的，初始投资列的加总必定负。在不存在无成本套利机会的情况下，（6-22）左边的不等式必定成立。

用同样的组合验证欧式期权看跌-看涨平价关系，即可得出（6-22）右边的不等式。表6-11列出了套利组合交易。 该种情况下，如果期权头寸持有至到期，则组合在到期时的净值必定为0。如果是美式看涨期权，而且持有人决定提前执行合约，则资产组合持有人需要交付股票，并按执行价格收取现金，然后再用该笔资金偿还借款。此后，组合持有人还有敞口多头看跌期权头寸和 的现金。因为资产组合价值必定为非负余额，所以初始价值必为负，（6-22）右边不等式必定成立。

表6-11：支持美式看跌期权-看涨期权平价关系式成立的套利交易，其中期权标的资产支付离散现金股息， 。

结论 我们以上主要推导了离散现金流下欧式期权和美式期权的无套利关系 看涨期权的价格下限 看跌期权的价格下限 看跌-看涨期权平价关系式 我们将主要结果汇总于表6-12。

表6-12：欧式和美式期权的无套利价格关系式，其中，标的资产支付离散现金股息。 Description——种类；European-style options——欧式期权；American-style options——美式期权；Lower price bound for call——看涨期权的价格下限；Lower price bound for put——看跌期权的价格下限；Put-call parity relation——看跌期权-看涨期权平价关系式。

6.4 期货期权的无套利关系 回忆前面讲的期货净持有成本关系式的现值表达式： ，其中非利息成本被设定为连续比率（即第4章公式（4-5））， 回忆前面讲的期货净持有成本关系式的现值表达式： ，其中非利息成本被设定为连续比率（即第4章公式（4-5））， ，其中非利息成本被设定为离散现金流（即第4章公式（4-7））,

将 代入表6-7中总结的无套利价格关系式中，或将 代入表6-12总结的无套利价格关系式中，即可得到表6-13中期货期权的无套利价格关系式。

表6-13：欧式和美式期货期权的无套利价格关系式。 Description——种类；European-style options——欧式期权；American-style options——美式期权；Lower price bound for call——看涨期权的价格下限；Lower price bound for put——看跌期权的价格下限；Put-call parity relation——看跌期权-看涨期权平价关系式。

6.5 市场间的无套利关系 由于资产期权和期货期权可同时交易 ，资产期权的价格必然与期货期权的价格相互影响。 因此，我们假设期货和期权同时到期，并且期权资产的执行价格和期货期权的相同，可推导相应的无套利价格关系式。以下我们将针对欧式期权和美式期权分别介绍这些关系式。

6.5.1 欧式期权 欧式资产期权的价格等于相应期货期权的价格，即 而其 (6-23a) 原因显而易见，就是到期时资产期权和期货期权的结果相同。为了方便说明，假设期货看涨期权的价格高于资产看涨期权的价格，此时，买入资产看涨期权，卖出期货期权，可赚取无成本套利利润，如下表6-14所示。 (6-23a) (6-23b)

表6-14：套利组合交易表明资产欧式看涨期权和期货欧式看涨期权的价格是相等的， 。 Trades——交易；Initial investment——初始投资；Value on day T——时刻T的价值；Buy call option on asset——买入资产的看涨期权；Sell call option on futures——卖出期货的看涨期权；Net portfolio value——组合净值。

如果到期时资产市场价格sT低于执行价格x，那么资产期权的多头头寸没有价值；如果到期时资产的市场价格高于执行价格，资产期权的多头头寸价值为 。 同时，如果到期时期货合约中的资产市价低于执行价格，期货期权的空头头寸就过期失效；如果期货合约中的资产市价高于执行价格，则该期货期权的空头头寸成本为 。 但是，因为，资产组合的净值必定为0。时刻T价值为0的资产组合当前成本也必定为0，因此，在不存在无成本套利机会的情况下，欧式资产期权和欧式期货期权的价格相同。

6.5.2 美式期权 美式资产期权的价格与对应期货期权价格的关系取决于期货价格是否大于资产价格。如果F>S， 而且 (6-24a) (6-24b)

要理解这一点，考察美式看涨期权。因为期货看涨期权和资产的看涨期权都可能提前执行，我们比较提前行权资金，以确定哪个价值更大。资产看涨期权立刻执行的话，可获得行权资金S−X，而期货看涨期权提前行权可得资金F−X>S−X。因此，只要存在提前行权的可能，期货看涨期权要比资产看涨期权的价值高，而资产看跌期权比期货看跌期权的价值高。 对于期货价格低于资产价格F<S的情况，结果正好相反，即

对于期货价格低于资产价格F<S的情况，结果正好相反，即 而且 结果汇总于表6-15 (6-25a) (6-25b)

表6-15：资产期权价格和期货期权价格之间的无套利关系式 Description——种类；European-style options——欧式期权；American-style options——美式期权；Call——看涨期权；Put——看跌期权。

结论 在市场不存在无成本套利机会的假设下，本章推导了欧式期权和美式期权的无套利价格关系式，标的资产的净持有成本起着非常重要的作用。因此，我们将利息成本设定为不变的连续比率，将非利息成本设定为连续比率或离散现金流，具体设定方式取决于标的资产的特点。 对于股票指数期权、外汇期权以及商品期权，连续比率假设非常适用；而对于股票期权、债权期权以及其他商品期权，离散现金流假设更适合。

在了解了以上假设和净持有成本的概念后，我们又推导了期货期权的无套利关系以及资产期权和期货期权的无套利关系。

谢谢！