第四講 導函數的計算 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

課程內容： 1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式 3. 連鎖法則 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

課程內容： 1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式 3. 連鎖法則 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

因為複雜的代數函數是基本代數函數經由加、減、乘、除、方根或合成運算的結果，因此為了求得複雜函數的導函數，先利用導函數的定義，建立一些基本代數函數的導函數。 如果從函數f到f '過程視為一種函數，通常以Dx(讀作”dee x”，稱為dee符號)表示此函數，即Dx:f→f ' ，或Dxf=f ' ，或Dxf(x)=f '(x)，因此稱Dx為微分運算子。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

(a) 若f(x)=k，k為常數，則f'(x)=0，或Dx(k)=0。 (b)若f(x)=x，則f'(x)=1，或Dx(x)=1。 定理4-1：基本代數函數的導函數 (a) 若f(x)=k，k為常數，則f'(x)=0，或Dx(k)=0。 (b)若f(x)=x，則f'(x)=1，或Dx(x)=1。 (c)若f(x)=xn，n為正整數，則f‘(x)=nxn-1，或Dx(xn)=nxn-1。 證明：直接使用導函數的定義，就可以證得此定理，(a)與(b)留給讀者自行練習，這裡僅證明(c)，其過程如下： 此結果稱為冪法則(power rule)，即Dx(xn)=nxn-1。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

證明：直接使用導函數的定義，就可以證得此定理，(a)與(b)留給讀者自行練習，這裡僅證明(c)，其過程如下： 此結果稱為冪法則(power rule)，即Dx(xn)=nxn-1 。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

若f '(c)存在，則函數f(x)在x=c可微分。若函數f(x)在區間Ⅰ的每一內點可微分，則稱f(x)在區間Ⅰ可微分。 可微分函數的定義： 若f '(c)存在，則函數f(x)在x=c可微分。若函數f(x)在區間Ⅰ的每一內點可微分，則稱f(x)在區間Ⅰ可微分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例1：證明函數f(x)=x2在區間(-∞，∞)可微分。 解：利用定理4-1(c)，得f '(x)=2x且在區間(-∞，∞)存在，故f(x)在區間(-∞，∞)可微分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

解：利用導函數的定義，得 且在區間(0，∞)存在，故f(x)在區間(0，∞)可微分。 例2：證明函數 在區間(0，∞)可微分。 解：利用導函數的定義，得 且在區間(0，∞)存在，故f(x)在區間(0，∞)可微分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例3：證明函數 在區間(-∞，0)與(0，∞)可微分。 例3：證明函數 在區間(-∞，0)與(0，∞)可微分。 解：利用導函數的定義，得 且在區間(-∞，0)與(0，∞)存在，故f(x)在區間(-∞，0)與(0，∞)可微分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例4：決定函數f(x)=|x|在哪裡可微分。 解：利用導函數的定義，求f '(x)，再決定f '(x)的定義域，即可決定函數f(x)可微分的地方，其過程如下： 即 。因此f '(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，∞) ，故函數f(x)在區間(-∞，0)∪(0，∞)可微分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

從幾何意義也可以了解這樣的結果，如下圖(a)，曲線y=|x|在點(0,0)是尖角，所以沒有切線，故f'(0)不存在，當x>0，則曲線y=|x|的切線是y=x，其斜率為1，故f'(x)=1，當x<0，則曲線y=|x|的切線是y=-x，其斜率為-1，故f'(x)=-1，此幾何意義與 的代數意義相同，其圖形如下圖(b)。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

如果曲線上某一點的切線存在，那麼曲線在此點不會有間斷或跳動的情形，下面定理對此事實有明確的陳述。 定理4-2 若f'(c)存在，即函數f在c點可微分，則函數f在c點連續。 證明：必須證明 或 。 考慮 即 ，故證得函數f在c點連續。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

注意：此定理的逆敘述不成立，即函數f在c點連續，不能保證函數在c點可微分，最典型的例子是例4，函數f(x)=|x|在任何實數連續，但是f '(0)不存在，即函數f在0點不可微分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例5：證明函數f(x)=[x]在整數點不可微分。 證明：令c為整數，先考慮右極限 其次考慮左極限 因為左、右極限不相等，所以f '(c)不存在，故函數f(x)=[x]在整數點不可微分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例6：證明函數 在0點不可微分。 證明：直接求f的導函數f'，其過程如下： 因為f'(0)不存在，故 在0點不可微分。 應用統計資訊學系 例6：證明函數 在0點不可微分。 證明：直接求f的導函數f'，其過程如下： 因為f'(0)不存在，故 在0點不可微分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

一般而言，函數在下列情形不可微分：(i) 尖角的地方，如例4，函數f(x)=|x|在x=0處有尖角。(ii) 不連續的地方，如例5，函數f(x)=[x]在整數點不連續。 (iii) 垂直切線的地方，如例6，函數 在原點的切線是y軸，如下圖。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

課程內容： 1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式 3. 連鎖法則 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

所謂微分法，就是求導函數的方法，雖然已經知道從導函數的定義，可以直接求得導函數，但是其過程過費時又枯燥，此處將建立一些微分法的運算公式，如此可省略冗長的計算過程，對於求複雜函數的導函數更為方便，下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

(a) kf可微分且(kf)'(x)=k‧f'(x)，或Dx[k‧f(x)]=k‧Dxf(x)。 定理4-3： 若函數f與g可微分，且k為常數，則 (a) kf可微分且(kf)'(x)=k‧f'(x)，或Dx[k‧f(x)]=k‧Dxf(x)。 (b) f+g可微分且(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，或Dx[f(x)+g(x)]=Dxf(x)+Dxg(x) 。 (c) f-g可微分且(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)，或Dx[f(x)-g(x)]=Dxf(x)-Dxg(x) 。 (d) f‧g可微分且(f‧g)'(x)=f(x)g'(x)+ f'(x)g(x)，或Dx[f(x)g(x)]= f(x)Dxg(x)+ (Dxf(x))g(x)。此結果稱為乘積法則(product rule)。 (e) 可微分且 ，或 ，當g(x)≠0。此結果稱為商法則(quotient rule)。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

證明：直接引用導函數的定義，即可證得，(a)、(b)、(c)部分留給讀者自行練習，這裡僅證明(d)與(e)，其過程如下： 即證明(d)。倒數第二個等號是引用極限運算性質，最後的等號是引用函數f與g可微分的性質。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

即證明(e)。類似地，倒數第二個等號是引用極限運算性質，最後的等號是引用函數f與g可微分的性質。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

利用定理4-1與定理4-3求導函數，可以避免冗長的計算過程，如下面例題，直接引用公式求多項式函數及有理函數的導函數。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例7：若f(x)=x5+2x4-4x3+x2+5x+1，求f'(x)。 解：直接引用定理4-1與定理4-3(a)、(b)、(c)，即可求得f'(x)，其過程如下： f'(x)=Dxf(x)=Dx(x5+2x4-4x3+x2+5x+1) =Dx(x5)+2Dx(x4)-4Dx(x3)+Dx(x2)+5Dx(x)+Dx(1) =5x4+8x3-12x2+2x+5 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

解：直接引用定理4-3(a)、(b)、(e)與定理4-1 ，即可求得f'(x)，其過程如下： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例9：若f(x)=(2x12)(5x8)，求f'(x)。 解：直接引用定理4-3(a)、(d)與定理4-1，即可求得 f'(x)，其過程如下： f'(x)=Dx[(2x12)(5x8)]=(2x12)Dx(5x8)+[Dx(2x12)](5x8) =(2x12)(40x7)+(24x11)(5x8) =80x19+120x19=200x19 另一種方法，先化簡，再引用公式，其過程如下： f'(x)=Dx[(2x12)(5x8)]=Dx[10x20]=200x19 所得的結果跟前面的一樣。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例10：若f(x)=(x5+x4+x3+x2+x+1)(2x2-x-5)，求f'(x)。 解：此種情形直接引用乘積法則比較單純，如果乘開為多項式函數反而複雜，其計算過程如下： f'(x)=Dx[(x5+x4+x3+x2+x+1)(2x2-x-5)] = (x5+x4+x3+x2+x+1)Dx(2x2-x-5) +[Dx(x5+x4+x3+x2+x+1)](2x2-x-5) = (x5+x4+x3+x2+x+1)(4x-1) + (5x4+4x3+3x2+2x+1)(2x2-x-5) 如果需要化簡，才進行化簡，否則此式子就是答案。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

已經知道，對於任意正整數n，Dx(xn)=nxn-1 ，現在考慮n為整數的情形。 雖然例9與例10不需要乘積法則，也可以求得導函數，但是求超越函數(transcendental function，如三角函數，反三角函數，自然指數函數及自然對數函數)乘積的導函數，就必須引用乘積法則，才能夠求得導函數，後面會再詳細討論。 已經知道，對於任意正整數n，Dx(xn)=nxn-1 ，現在考慮n為整數的情形。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

設n是任意整數，則Dx(xn)=nxn-1。 定理4-4 設n是任意整數，則Dx(xn)=nxn-1。 證明：當n大於或等於0的情形，定理4-1已經證明過。現在考慮n是負整數的情形，先將xn寫成分式，再引用商法則，其過程如下： 故得證。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

解：其實直接引用商法則，即可求得y'，或考 慮乘積法則，其過程如下： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

課程內容： 1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式 3. 連鎖法則 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

前一節已經討論過函數四則運算的微分法公式，這一節將討論函數合成運算的導函數公式，也就是合成函數的微分法，此微分法稱為連鎖法則(chain rule)。因為有很多的函數可寫成函數的合成，所以使用連鎖法則求導函數是有必要的。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例如求函數h(x)=(x2+x+1)20的導函數，如果沒有連鎖法則，唯一的方法，就是將函數h(x)展開成四十次多項式函數，再求導函數，此種方法浪費時間，且容易發生錯誤。其實函數h可寫成函數g(x)=x20與函數f(x)=x2+x+1的合成，即h(x)=g(f(x))，因此引用連鎖法則，立即可求得正確的導函數。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

在討論連鎖法則之前，讓我們先瞭解德國數學家萊布尼茲所建立的導函數符號 。到目前為止，已經知道函數y=f(x)的導函數符號有兩種，其一是”prime”符號，如f'，f'(x)，或y'，其二是”dee”符號，如Dxf，Dxf(x)或Dxy，這二種符號本身沒有任何數學意義，僅表示極限 。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

然而萊布尼茲符號不僅是記號，而且具有數學意義，其發展的過程如下：設變數x，從x1改變為x2，則x的改變量x2-x1稱為增量(increment)，記為Δx(讀作”delta x”)，即Δx=x2-x1，注意Δx不是Δ乘x，而是一個記號，且不一定是正值。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

是通過點 (x,f(x))與(x+Δx,f(x+Δx))的割線斜率，當Δx→0，割線斜率逼近切線斜率。 現在考慮函數y=f(x)，如果自變數從x改變為x+h，則其增量Δx=(x+h)-x=h，且應變數從f(x)改變為f(x+h)，其增量Δy=f(x+h)-f(x)，因此 是通過點 (x,f(x))與(x+Δx,f(x+Δx))的割線斜率，當Δx→0，割線斜率逼近切線斜率。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

若以萊布尼茲符號 表示切線斜率，則 ，這裡 是一個記號，且讀作”dee y dee x”，並不是dy除以dx，所以記號 也表示微分算子，即跟Dx的意義相同。因此，前面所介紹的導函數公式仍然有效，唯符號不同。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

解：直接引用定理4-1與定理4-3，其過程如下： 例12：若y=x5-3x3+5x-10，求 。 解：直接引用定理4-1與定理4-3，其過程如下： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例13：求 。 解：直接引用商法則，其過程如下： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

現在，再回到連鎖法則的問題，如果某生產線有兩部機器f與g，原料x經機器f得到產品u，再經機器g得到產品y，即y=g(u)且u=f(x)，因此Dxu是機器f的邊際產量，Duy是機器g的邊際產量，所以Duy與Dxu的乘積應該是整個生產線的邊際產量Dxy，即Dxy=Duy • Dxu，此結果就是連鎖法則的性質。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

g'(f(x))f'(x)，即Dxy=DuyDxu。 定理4-5 令函數g與f的合成函數是y=(g ◦ f )(x)，若f在x點可微分且g在u=f(x)可微分，則g ◦ f在x點可微分且 (g ◦ f )'(x)= g'(f(x))f'(x)，即Dxy=DuyDxu。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

+(f(x+Δx)-f(x)) ε(Δx)，此式子等號兩邊除以Δx，得 證明： 因為g'(u)存在，所以函數 存在且 ，將此函數乘以Δu且整理g(u+Δu)-g(u)=g'(u) Δu+Δu ε(Δu)，將u=f(x)及Δu=f(x+Δx)-f(x)代入，得g(f(x+Δx))-g(f(x))=g'(f(x))(f(x+Δx)-f(x)) +(f(x+Δx)-f(x)) ε(Δx)，此式子等號兩邊除以Δx，得 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

即(g ◦ f )'(x)=g'(f(x))f'(x)，若以dee符號表示之，則得Dxy=DuyDxu，故得證。 此式子等號兩邊取極限，得 即(g ◦ f )'(x)=g'(f(x))f'(x)，若以dee符號表示之，則得Dxy=DuyDxu，故得證。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

注意：如果以萊布尼茲符號表示定理4-5的結果，即 ，此公式比”prime”及 ”dee”符號的公式較容易記得，似乎是等號右邊消去du，即得左邊的式子。雖然此公式不能視為數學上的消去律，但是可以幫助記憶，且容易推廣到二個函數以上的連鎖法則，例如y=h(u)，u=g(w)且w=f(x)，則 。現在回到此節一開始提到的例子。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例14：若h(x)=(x2+x+1)20 ，求h'(x)。 解：先分解函數h，令y=g(u)=u20且u=f(x)=x2+x+1，則y=g(f(x))=h(x)，再引用連鎖法則，其過程如下： 注意，最後一定要將u變數還原為x變數。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例15：若r(x)=[(x2+2)10+5(x2+2)]6，求r'(x)。 解：先分解函數r，令y=h(u)=u6，u=g(w)= w10+5w及w=f(x)=x2+2，則y=h(g(f(x)))= r(x)，再引用連鎖法則，其過程如下： 最後三個步驟將u與w變數還原為x變數。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

下面定理是應用連鎖法則將冪法則推廣到有理指數(exponent)。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

設r是任意有理數，則Dx(xr)=rxr-1，這裡x不是函數xr定義域中區間的端點。 定理4-6 設r是任意有理數，則Dx(xr)=rxr-1，這裡x不是函數xr定義域中區間的端點。 證明：因為r是有理數，所以 ，這裡p與q為互質的兩個整數，且p是正整數。首先，證明 ，直接引用定義，其推導過程如下： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

再引用連鎖法則，證明 ，其過程如下： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講

例16：若 ，求f'(x)。 解：首先將函數f寫成冪函數形式，即 ，再引用定理4-6，其過程如下： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講