方阵的特征值与特征向量
一、基本概念 定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零向量 x 满足 Ax =x， 那么这样的数称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于 特征值的特征向量。
二、基本性质 1、设 n 阶矩阵A 的特征值为l1, l2, …, ln，则 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A| 2、设 l 是方阵 A 的特征值，证明 lk 是 Ak 的特征值； 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值。 3、若l 是方阵 A 的一个特征值，则 是 矩阵多项式 = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
例1 设3 阶方阵 A 的特征值为1, −1, 2，求 A* +3A−2E 的特征值． 解： A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A) 其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ． 则 则 的特征值为-1，-3, 3。
三、求特征值特征向量的步骤 1、计算 的所有根 ，即为A的全部 特征值；
例2 所以，A的特征值为