可降阶的高阶方程 一、 型的微分方程 二、不显含未知函数的方程 三、不显含自变量的方程
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 一、 型的微分方程 解法 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
例1 解： 3次 连续积分 对方程两边关于 x 得到所求的通解：
c t x , ), ( L y = y x = , 一般形式: 解法: 则可把方程化为 令 若能求得上面方程的通解 即 二、不显含未知函数的微分方程 一般形式: 解法: 则可把方程化为 令 y x k = , ) ( 若能求得上面方程的通解 即 对上式经过k次积分,即可得通解 为任常数 这里 n c t x , ), ( 1 L y =
c t x , ), ( L y = , y x = 解题步骤: 第一步: 则方程化为 令 第二步: 求以上方程的通解 即 第三步: k = 第二步: 求以上方程的通解 即 第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解 为任意常数 这里 n c t x , ), ( 1 L y =
特殊情况： 解法: 令 这是一个一阶微分方程。设其通解为 型的方程： 这是一个 连续积分即可求解。 ，则原方程化为 = x y ) ( t 1 ( ，则原方程化为 令 - = n x y 这是一个一阶微分方程。设其通解为 ) ( 型的方程： 这是一个 t f x n = 连续积分即可求解。
. 1 = - dt x d t 的通解 求方程 例1 解 令 则方程化为 这是一阶方程,其通解为 即有 对上式积分4次, 得原方程的通解为 1 4 5 的通解 求方程 = - dt x d t 例1 解 令 则方程化为 这是一阶方程,其通解为 即有 对上式积分4次, 得原方程的通解为
三、不显含自变量的微分方程 一般形式: 解法: , ' 把 作为新的未知函数 令 x y = 作为新的自变量 而把 x
) ( , n k dx y d dy x £ L 用数学归纳法易得: 来表达 可用 将这些表达式代入可得: 即有新方程 它比原方程降低一阶 1 n k dx y d dy x £ - L 将这些表达式代入可得: 即有新方程 它比原方程降低一阶
, x y = 解题步骤: 第一步: 原方程化为 自变量 为新的 为新的未知函数 并 令 第二步: 求以上方程的通解 第三步: 解方程 ' x y = 第二步: 求以上方程的通解 第三步: 解方程 即得原方程的通解
这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。 特殊情况： 解法: d 。 ，则 令 x y t = ¢ 于是，原方程化为 这是一个一阶微分方程。设其通解为 这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。
. ) ( = - dt dx x d , x y dt dx = 的通解 求方程 例2 令 作为新的自变量 并以 解 则方程化为 从而可得 ) ( 2 的通解 求方程 = - dt dx x d 例2 令 , 作为新的自变量 并以 x y dt dx = 解 则方程化为 从而可得 及 这两方程的全部解是 再代回原来变量得到 所以得原方程的通解为