第一章

第三章 基礎機率觀念 第三章

本章綜覽 出象空間與事件： 機率的定義：了解機率的基本性質 計次法則：如何計算機率的基礎方法 條件機率：了解條件機率的定義與計算方式 介紹名詞定義 集合的觀念和運算 機率的定義：了解機率的基本性質 計次法則：如何計算機率的基礎方法 條件機率：了解條件機率的定義與計算方式

何謂機率 機率 (probability): 描述事物的不確定性的一種測度。 利用機率的大小，得以刻劃不確定性的高低。

出象空間與事件 -- 名詞定義 隨機試驗 (random experiment): 任何一種結果不確定的事物。 例如: 投擲兩顆骰子。 隨機試驗的特點: 試驗結果無法預知，取決於機會(chance)。 出象 (outcome): 隨機試驗的結果。 出象空間 (outcome space) 或樣本空間 (sample point): 所有可能的出象所形成的集合。 隨機事件 (random event): 不同出象所形成的集合。 若 A 只包含一個出象，則 A 稱作單一事件 (singleton)。 空集合也視為一個隨機事件。

出象空間與事件 -- 實例 投擲一顆骰子可被視為一個隨機試驗。 投擲一顆骰子的結果就是出象。 投擲一顆骰子的出象空間為 {1 點, 2 點, 3 點, 4 點, 5 點, 6 點} {2 點, 3 點}、{1 點, 3 點, 5 點} 、{5 點} 等都算是事件，其中 {5 點} 就是單一事件。

集合的運算 每一事件即為出象空間的子集合，故事件的關係可透過集合的運算表現。 聯集(union)：兩個事件 A 和 B 的聯集是一個新的集合 (事件)，其中的出象屬於 A，或屬於 B，或者同時屬於兩者。 AB = { :  A 或  B}. 交集 (intersection)：兩個事件 A 和 B 的交集也是一個新的集合 (事件)，其中的出象必然同時屬於 A 也屬於 B。 AB = { :  A 且  B}.

常用集合運算的工具 -- 范式圖 以下兩圖為范式圖 (Venn diagram) : A集合 B集合 圓形代表事件。

聯集與交集的運算法則 A、B 和 C 為同一出象空間中的三個事件 交換律 (commutative law) AB = BA, AB= BA 結合律 (associative law) A(BC) = (AB)C, A (BC) = (AB)C 分配律 (distributive law) A(BC) = (AB)(AC), A(BC) = (AB)(AC)

運算法則運用的實例 例 3.5：投擲一顆骰子，事件 A = {1 點, 2 點} ，B = {2 點, 4 點, 6 點}，C = {2 點, 3 點, 4 點}。 交換律： AB = {1 點, 2 點, 4 點, 6 點} = B A 。 結合律： A(BC)= {5點}C = (AB)C 。 A(BC) = {2點} = (AB)C 。 分配律： A(BC) = {2點} = (AB)(AC) 。 A(BC) = {1 點, 2 點, 4 點} = (AB)(AC) 。

互斥事件與補集 互斥事件 (mutually exclusive events): 兩個事件 A 和 B 沒有共同的出象 (兩者交集為空集合) 。 定義事件 A 的補集 Ac (complement) 為不屬於 A 的出象所形成的集合。 A 和 Ac 必為互斥事件 。

= 迪摩根定律 先取補集再作交集 A 和 B 為同一出象空間中的兩個事件，則 (AB)C = ACBC

機率的定義 機率就是用來測度出象空間中各個事件發生的機會。 隨機試驗的機率 P 必須滿足下列的條件： 對任何事件的機率值大於等於 0。 整個出象空間的機率值為 1。 對任一組互斥事件，這些事件的聯集的機率等於個別事件機率值的總和。

機率的性質 根據機率定義中的第一個性質，機率必定不為負數。 當 A 為 B 的子集合時，令 B\A 代表事件 B 中不屬於 A 的出象所成的集合，則根據機率的第三個性質， P(B) = P(A) + P(B\A) 一個集合的機率必然不小於其任何一個子集合的機率。 機率 P(AB) 稱為 A 和 B 的聯合機率 (joint probability) 。 加法法則 (addition rule) : 若 A 和 B 為同一出象空間中的兩個事件，則 P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) 若 A 和 B 為互斥事件，則 P(AB) = P(A) + P(B)

計次法則 若一個出象空間有 n 種可能的出象，且每一個出象的機率都相同，根據機率的第一個性質可以知道每一個出象的機率都是 1/n 。 若一個隨機試驗會產生很多個相同可能的出象，計算這些出象的數目即是計算機率的基礎。 有時出象的數目可能太龐大，列舉所有出象便會變得非常困難而不可行。這時可以使用計次法則 (counting rule) 來計算各種事件出象的總數。

計次法則 -- 乘積法則 一個隨機試驗若包含一系列的步驟 (step) 或試行 (trial)，乘積法則 (product rule) 指出此試驗所有可能的出象總數即可由每一步驟 (或試行) 所可能產生的出象數目相乘而得。 例如：擲一顆骰子 2 次，則每一步驟 (試行) 均有 6 個可能的出象，此試驗於是總共有 6  6 = 36 個可能出象。 例如：對 n 個產品作品管檢查，每一次檢查均有兩個可能的出象。整個檢查共有 2n 種可能的結果。

計次法則 -- 排列 排列 (permutation) : 物件依次放置的方式。 N 個物件作排列有幾種排列方式？ 有 N 個選擇來決定那一個物件置於第一個位置; 一旦第一個位置確定了，只有 N-1 種選擇來決定第二個位置的物件。依此類推，將 n 個物件排列於 m 個位置則共有 nPm 種排法。 不同的順序應視為不同的排列方式。

計次法則 -- 組合 組合 (combination): 不考慮排列順序的物件選取方式。當由 n 個物件中挑選 m 個物件，在此 m 個物件中誰先誰後並沒有意義。 例如: 只選擇一班中的三人而不管其排名先後。 從 n 中取 m 的組合方式為

計次法則 -- 例題3.11 50P3 = 50  49  48 = 117600 種可能的排列方法。 在一個 50 人的班級中，前三名共有 50P3 = 50  49  48 = 117600 種可能的排列方法。 但若不論排名，則共有 50C3 = 50P3 /3! =19600 種組合方式。

條件機率 在一個隨機試驗中，若知道事件 B 已經發生，此時這個試驗可能的出象就不再是整個出象空間，而會縮小到事件 B 的範圍。因此，其他事件發生的機率也可能受到影響。 在已知事件 B 發生的狀態下，事件 A 發生的機率為條件機率 (conditional probability) 表示成 P(A|B)。 若 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)，則 A 和 B 為相互獨立(independent) 的事件。否則這兩事件是相依 (dependent) 的事件。

條件機率 -- 例 3.14 某一隨機試驗有 10 個相同可能的出象，其中事件 A 包含了 4 個出象，事件 B 則有 6 個出象，而 A 和 B 的交集中有 2 個出象。則 P(A) = 4/10 = 0.4 ；P(B) = 6/10 = 0.6。 P(AB) = 2/10 = 0.2。 P(A|B) = 2/6 = 0.33 = P(AB) / P(B) 。 P(B|A) = 2/4 = 0.5 = P(AB) / P(A) 。 也可以得知 A 和 B 不為獨立的事件。

P(AB) = P(A|B)P(B)= P(B|A)P(A) 條件機率 條件機率可由聯合機率與非條件機率相除而得。 乘法法則 (multiplication rule): A 和 B 為同一出象空間中的兩個事件，則 P(AB) = P(A|B)P(B)= P(B|A)P(A) 若 A 和 B 相互獨立，則 P(AB) = P(A)P(B) 當 P(A) 和 P(B) 不為零時，A 和 B 不可能同時為互斥與獨立事件。 第三章

條件機率 簡單貝式定理 (Bayes Theorem): 若 A 和 B 為同一出象空間的兩個事件且 則 第三章