第3讲 专题 电磁感应的综合应用 一、电磁感应电路问题的理解和分类 第3讲 专题 电磁感应的综合应用 一、电磁感应电路问题的理解和分类 1．对电源的理解：电源是将其他形式的能转化为电能的装置．在电磁感应现象里，通过导体切割磁感线和线圈磁通量的变化而将其他形式的能转化为电能． 2．对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成．

3．问题分类： (1)确定等效电源的正负极，感应电流的方向，电势高低，电容器极板带电性质等问题． (2)根据闭合电路求解电路中的总电阻，路端电压，电功率的问题． (3)根据电磁感应的平均感应电动势求解电路中通过的电荷量：

(1)判断感应电流和电动势的方向，都是利用“相当于电源”的部分根据右手定则 或楞次定律判定的．实际问题中应注意外电路电流由高电势流向低电势，而内电 路则相反． (2)在闭合电路中，“相当于电源”的导体两端的电压与真实的电源两端的电压一 样，等于路端电压，而不等于感应电动势．

1．(2009·广东汕头六都中学质检)如图9－3－1所示，在磁感应强度B＝0 1．(2009·广东汕头六都中学质检)如图9－3－1所示，在磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场中，有一等边三角形ABC的固定裸导体框架，框架平面与磁感线方向垂直，裸导体DE能沿着导体框架滑动，且滑动时一直能与框架保持良好的接触．已知三角形的边长为0.2 m，且三角形框架和导体DE的材料、横截面积相同，它们单位长度的电阻均为每米10 Ω，当导体DE以v＝4.2 m/s的速度(速度方向与DE垂直)下滑至AB、AC的中点M、N时，求： (1)M、N两点间感应电动势的大小； (2)流过导体框底边BC的电流多大？方向如何？

解析：导体棒在滑动过程中切割磁感线产生感应电动势，MN相当于电源，给外 电路供电；外电路由两个支路组成，一是支路MAN，二是支路MBCN. (1)N、M两点间感应电动势E＝BLMNv＝0.5×0.1×4.2 V＝0.21 V. (2)支路MAN的电阻R1＝0.2×10 Ω＝2 Ω 支路MBCN的电阻R2＝0.4×10 Ω＝4 Ω 导体棒MN之间的电阻r＝0.1×10 Ω＝1 Ω 外电路的总电阻 干路中的电流 MN相当于电源，M为电源的正极，所以通过导体框底边BC的电流方向是B→C 答案：（1）0.21V （2）0.03AB→C

二、求解电磁感应与力学综合题的思路 思路有两种：一种是力的观点，另一种是能量的观点． 1．力的观点 力的观点是指应用牛顿第二定律和运动学公式解决问题的方法．即先对 研究对象进行受力分析，根据受力变化应用牛顿第二定律判断加速度变 化情况，最后找出求解问题的方法． 2．能量观点 动能定理、能量转化守恒定律在电磁感应中同样适用．

三、电磁感应综合题中的两部分研究对象 电磁感应中的综合题有两种基本类型．一是电磁感应与电路、电场的综合；二是电磁感应与磁场、导体的受力和运动的综合；或是这两种基本类型的复合题，题中电磁现象、力现象相互联系、相互影响和制约． 这类题综合程度高，涉及的知识面广，解题时可将问题分解为两部分：电学部分和力学部分． 1．电学部分思路：将产生感应电动势的那部分电路等效为电源．如果在一个电路中切割磁感线的是几部分但又互相联系，可等效成电源的串、并联．分析内外电路结构，应用闭合电路欧姆定律和部分电路欧姆定律理顺电学量之间的关系． 2．力学部分思路：分析通电导体的受力情况及力的效果，应用牛顿定律、动量定理、动量守恒、动能定理、能量守恒等规律理顺力学量之间的关系．

3．两部分研究对象的网络结构图如下： 从上面可看出电流I和速度v是联系这两个研究对象的纽带．

2．如图9－3－2甲所示为两根平行放置的相距L＝0. 5 m且足够长的固定金属直角导轨，一部分水平，另一部分竖直．质量均为m＝0 2．如图9－3－2甲所示为两根平行放置的相距L＝0.5 m且足够长的固定金属直角导轨，一部分水平，另一部分竖直．质量均为m＝0.5 kg的金属细杆ab、cd始终与导轨垂直且接触良好形成闭合回路，水平导轨与ab杆之间的动摩擦因数为μ，竖直导轨光滑．ab与cd之间用一根足够长的绝缘细线跨过定滑轮相连，每根杆的电阻均为R＝1 Ω，其他电阻不计． ．整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，现用一平行于水平导轨的恒定拉力F作用于ab杆，使之从静止开始向右运动， ab杆最终将做匀速运动，且在运动过程中，

cd杆始终在竖直导轨上运动．当改变拉力F的大小时，ab杆相对应的匀速运动的速度v的大小也随之改变，F与v的关系图线如图9－3－2乙所示．不计细线与滑轮之间的摩擦和空气阻力，g取10 m/s2.求： (2)若ab杆在F＝9 N的恒力作用下从静止开始向右运动8 m后达到匀速状态，则在这一过程中整个回路产生的焦耳热为多少？

解析：(1)设ab杆匀速运动时的速度为v，则回路中产生的感应电动势E＝BLv① 回路中的感应电流 ab杆所受到的安培力 以T表示细线的拉力，对ab杆有F＝F安＋T＋μmg④

对cd杆有T＝mg⑤ 联立③④⑤式，解得： 由图乙可知：当F1＝9 N时，v1＝4 m/s；当F2＝11 N时，v2＝8 m/s 将数据代入⑥式，解得：μ＝0.4，B＝2 T．⑦ (2)ab杆从静止开始向右运动直到匀速运动的过程中，设回路产生的焦耳热为Q，对ab、cd组成的系统，由能量守恒定律有 解得：Q＝8 J．⑨ 答案：(1)0.4　2 T　(2)8 J

(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量 四、研究电磁感应中的图象问题 图象类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图象，即B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象(2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随线圈位移x变化的图象，即E－x图象和I－x图象 问题类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量 应用知识 左手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律、相关数学知识等

(1)在图象问题中，经常利用类比法，即每一个物理规律在确定研究某两个量的关系后，都能类比成数学函数方程进行分析和研究，如一次函数、二次函数、三角函数等． (2)求解图象问题应注意 ①明确图象所描述的物理意义； ②必须明确各种“＋”、“－”的含义； ③必须明确斜率的含义； ④必须建立图象和电磁感应过程之间的对应关系．

3 .（2010·黄冈质检）如图9-3-3所示，在坐标系xOy中，有边长为a的正方形金属线框abcd,其一条对角线ac和y轴重合、顶点a位于坐标原点O处.在y轴的右侧的Ⅰ、Ⅳ象限内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的上边界与线框的ab边刚好完全重合，左边界与y轴重合，右边界与y轴平行，t=0时刻，线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场上边界的方向穿过磁场区域.取沿a→b→c→d→a的感应电流方向为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流i随时间t变化的图线是下图中的

解析：在d点运动到O点过程中，ab边切割磁感线，根据右手定则可以确定线框中电流方向为逆时针方向，即正方向，D错误；t＝0时刻，ab边切割磁感线的有效长度最大，然后逐渐减小，故感应电动势和感应电流逐渐减小，C错误；当cd边与磁场边界重合后继续运动，cd边切割磁感线，根据右手定则可知线框中电流方向为顺时针方向，即负方向，B错误，A正确． 答案：A

【例1】如图9－3－4所示，两条平行的光滑水平导轨上，用套环连着一质量为0 【例1】如图9－3－4所示，两条平行的光滑水平导轨上，用套环连着一质量为0.2 kg、电阻为2 Ω的导体杆ab，导轨间匀强磁场的方向垂直纸面向里．已知R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，电压表的量程为0～10 V，电流表的量程为0～3 A(导轨的电阻不计)．求：

(1)将R调到30 Ω时，用垂直于杆ab的力F＝40 N，使杆ab沿着导轨向右移动且达到最大速度时，两表中有一表的示数恰好满量程，另一表又能安全使用，则杆ab的速度多大？ (3)在第(1)小题的条件下，当杆ab运动达到最大速度时突然撤去拉力，则电阻R1上还能产生多少热量？

解析：(1)当R＝30 Ω时，R与R2并联， 设电流表满偏，则I＝3 A，电压表的示数为U＝IR并＝15 V>10 V 与题意不符，故应是电压表满偏，U1＝10 V，此时电路中的电流为 设导体杆ab电阻为r，则电路中的总电阻R总为R总＝r＋R并＋R1＝10 Ω 当ab杆具有最大速度时有F＝BLI1＝40 N 所以BL＝20 N/A，由闭合电路欧姆定律，得 (2)当R＝3 Ω时，R与R2的并联电阻值为R并′，

设电流表满偏I2＝3 A，则电压表的示数U2＝I2R并′＝6 V<10 V，故满偏电表为电流表 此时F′＝BLI2，得F′＝60 N. (3)撤去外力时ab杆具有动能 最后ab杆停下，具有的动能转化为内能Q＝Ek 由串联电路的功率分配有 答案：(1)1 m/s　(2)60 N　(3)0.03 J

解决电磁感应电路问题的基本步骤 (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律或右手定则确定感应电动势的大小和方向：感应电流方向是电源内部电流的方向． (2)根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路． (3)根据E＝BLv或E＝n 结合闭合电路欧姆定律，串并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解．

1－1如图9－3－5甲所示，P、Q为水平面内平行放置的金属长直导轨，间距为d，处在大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中．一根质量为m、电阻为r的导体棒ef垂直于P、Q放在导轨上，导体棒ef与P、Q导轨之间的动摩擦因数为μ.质量为M的正方形金属框abcd，边长为L，每边电阻均为r，用细线悬挂在竖直平面内，ab边水平，线框的a、b两点通过细导线与导轨相连，金属框上半部分处在大小为B、方向垂直框面向里的匀强磁场中，金属框下半部分处在大小也为B、方向垂直框面向外的匀强磁场中，

不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力．现用一电动机以恒定功率沿导轨水平牵引导体棒ef向左运动，从导体棒开始运动计时，悬挂金属框的细线拉力T随时间的变化如图乙所示．求： (3)电动机的牵引功率P. 解析：(1)取金属框为研究对象，从t0时刻开始拉力恒定，故电路中电流恒定．设ab边中电流为I1，cd边中电流为I2，由受力平衡得：BI1L＋T＝Mg＋BI2L① T

I1∶I2＝(3r)∶r③ 解得 (2)设总电流为I，由闭合电路欧姆定律得： R E＝Bdv⑦ I1＋I2＝I⑧ 而I1∶I2＝(3r)∶r， (3)由电动机的牵引功率恒定得P＝F·v⑩ 对导体棒有：F＝μmg＋BId⑪ 由以上各式联立解得：

【例2】如图9－3－6甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距l＝0. 4 m，导轨平面与水平面成θ＝30°角，下端通过导线连接阻值R＝0 【例2】如图9－3－6甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距l＝0.4 m，导轨平面与水平面成θ＝30°角，下端通过导线连接阻值R＝0.5 Ω的电阻．金属棒ab阻值r＝0.3 Ω，质量m＝0.2 kg，放在两导轨上，与导轨垂直并保持良好接触．其余部分电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中．取g＝10 m/s2. (1)若磁场是均匀增大的匀强磁场，在开始计时即t＝0时刻磁感应强度B0＝2.0 T，为保持金属棒静止，作用在金属棒上平行斜面向上的外力F随时间t变化的规律如图乙所示，求磁感应强度B随时间t变化的关系．

(2)若磁场是磁感应强度大小恒为B1的匀强磁场，通过额定功率P＝10 W的小电动机对金属棒施加平行斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速直 线运动，经过 s，电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变，金属棒运动的v－t图象如图丙所示．试求磁感应强度B1的大小和小电动机刚达到额定功率时金属棒的速度v1的大小？

解析：(1)由于磁场均匀增大，所以金属棒中的电流I大小保持不变，安培力F安方向沿斜面向下，设任意时刻t磁感应强度为B，金属棒静止，合外力为零，则F＝mgsin θ＋BIl 由图乙可知在任意时刻t外力F＝(2＋t)N 在t＝0时刻有F0＝mgsin θ＋B0Il，F0＝2 N，B＝(2＋2t)T. (2)由题图丙可知，金属棒运动的最大速度vm＝5 m/s，此时金属棒所受合力为零，设金属棒此时所受拉力大小为Fm，流过棒中的电流为Im，则P＝Fmvm.

Fm－mgsin θ－B1Iml＝0，Em＝B1lvm， 解得B1＝1 T 小电动机刚达到额定功率时，设金属棒所受拉力大小为F1，加速度大小为a， 动的速度大小为v1，流过金属棒的电流为I1，根据牛顿第二定律得P＝F1v1，v ＝at，F1－mgsin θ－B1I1l＝ma，E1＝B1lv1， 答案：(1)B＝(2＋2t)T　(2)1 T　4 m/s

1．解决电磁感应力学问题的基本思路 (1)用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向． (2)应用闭合电路欧姆定律求出电路中的感应电流的大小． (3)分析研究导体受力情况，特别要注意安培力方向的确定． (4)列出动力学方程或平衡方程求解． 2．两种状态处理 (1)导体处于平衡态——静止或匀速直线运动状态． 处理方法：根据平衡条件合外力等于零列式分析． (2)导体处于非平衡态——加速度不为零． 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．

3．电磁感应中的动力学临界问题 基本思路是：导体受外力运动 感应电动势 感应电流 导体受安培力 合外力变化 加速度变化 临界状态 F=BIL F合=ma

2－1如图9－3－7所示，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为l，左侧接一阻值为R的电阻．区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s.一质量为m，电阻为r的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到F＝0.5v＋0.4(N)(v为金属棒速度)的水平外力作用，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大．(已知：l＝1 m，m＝1 kg，R＝0.3 Ω，r＝0.2 Ω，s＝1 m)

(1)分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若撤去外力后棒的速度v随位移x的变化规律满足 且棒在运动到ef处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？

解析：(1)金属棒做匀加速运动 R两端电压U∝I∝E∝v，U随时间均匀增大，即v随时间均匀增大．所以加速度为恒量． 因为加速度为恒量，与v无关，所以a＝0.4 m/s2， 代入数据得0.2t2＋0.8t－1＝0，解方程得t＝1 s. 答案：(1)金属棒做匀加速运动　(2)0.5 T　(3)1 s

【例3】如图9－3－8所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、Q固定在同一水平面上，两导轨间距为L＝1 m，定值电阻R1＝3 Ω，R2＝1 【例3】如图9－3－8所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、Q固定在同一水平面上，两导轨间距为L＝1 m，定值电阻R1＝3 Ω，R2＝1.5 Ω，导轨上放一质量m＝1 kg的金属杆，金属杆的电阻r＝1 Ω，导轨的电阻不计．整个装置处于磁感应强度为B＝0.8 T的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向下，现用一拉力F沿水平方向拉金属杆，使金属杆由静止开始运动，表格中的数据反映了不同时刻通过电阻R1的电流，求：

(1)4 s末金属杆的动能； (2)4 s末安培力的功率； (3)依据表格中的数据画出合适的图象，运用图象结合学过的知识求出4 s内拉力 所做的功. t(s) 1.0 2.0 3.0 4.0 I1(A) 1.4 1.7 I(A2)

解析：(1)从表格中知4 s末通过R1的电流I1＝2 A，则通过R2的电流为I2＝4 A，回 路总电流I总＝I1＋I2＝6 A，回路总电阻R总＝2 Ω，E＝BLv， 解得：v＝15 m/s，则 (2)4 s末的安培力的功率P＝F安v＝BI总Lv＝72 W. (3)从表格中可知I与t成正比，画出I—t图象如图所示，从图象可知4 s内图线与t轴 所围面积，图线与t轴所围面积与电阻的乘积即为产生的焦耳热．QR1＝24 J， 据电路串、并联关系可得R2上产生的焦耳热为QR2＝48 J，金属杆上产生的焦耳热为Qr＝72 J，Q总＝QR1＋QR2＋Qr＝144 J 根据功能关系可知拉力所做的功为WF＝Q总＋Ek＝256.5 J. 答案：(1)112.5 J　(2)72 W　(3)256.5 J

解电磁感应现象中的能量问题的一般步骤 (1)在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动 势，该导体或回路就相当于电源． (2)分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化． (3)根据能量守恒列方程求解．

3－1 如图9－3－9所示，两竖直放置的平行光滑导轨相距0. 2 m，其电阻不计，处于水平向里的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为0 3－1　如图9－3－9所示，两竖直放置的平行光滑导轨相距0.2 m，其电阻不计，处于水平向里的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为0.5 T，导体棒ab与cd的电阻均为0.1 Ω，质量均为0.01 kg.现用竖直向上的力拉ab棒，使之匀速向上运动，此时cd棒恰好静止，已知棒与导轨始终接触良好，导轨足够长，g取10 m/s2，则(　　)

A．ab棒向上运动的速度为2 m/s B．ab棒受到的拉力大小为0.2 N C．在2 s时间内，拉力做功为0.4 J D．在2 s时间内，ab棒上产生的焦耳热为0.4 J 解析：cd棒受到的安培力等于它的重力， A项正确．ab棒受到向下的重力G和向下的安培力F，则ab棒受到的拉力FT＝F＋G ＝2mg＝0.2 N，B项正确．在2 s内拉力做的功，W＝FTvt＝0.2×2×2 J ＝0.8 J，C项不正确．在2 s内ab棒上产生的热量 D不正确． 答案：AB

【例4】 如图9－3－10所示，在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，金属框架ABCD固定在水平面内，AB与CD平行且足够长，BC与CD夹角θ(θ<90°)，光滑导体棒EF(垂直于CD)在外力作用下以垂直于自身的速度v向右匀速运动，框架中的BC部分与导体棒单位长度的电阻均为R，AB与CD的电阻不计，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触，经过C点瞬间作为计时起点，下列关于电路中电流大小I与时间t、消耗的电功率P与导体棒水平移动的距离x变化规律的图象中正确的是(　　)

解析：本题考查电磁感应的相关规律：电路的分析、电动势大小的计算、方向的判断以及安培力的方向大小及能量的转化情况．导体棒在BC导轨间运动时E＝Bvttan θ·v＝Bv2ttan θ 回路中电阻R总＝vttan θR＋(vt/cos θ)k，回路中电流

A对B错． 导体棒未离开BC时电路中消耗的电功率P＝I2R总＝I2(tan θ＋)Rx，P与x成正比关系．导体棒在AB、CD平行导轨间运动时，消耗电功率P′＝I2·R总，I一定，R总一定，P′是定值，C错D对，选A、D. 答案：AD

电磁感应图象问题的解决方法 解决图象问题的一般步骤 (1)明确图象的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等． (2)分析电磁感应的具体过程． (3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系． (4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律等规律写出函数关系式． (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等． (6)判断图象(或画图象或应用图象解决问题)．

4－1(2010·山东潍坊质检)如图9－3－11甲所示，水平虚面PQ上方两侧有对称的范围足够大的匀强磁场，磁场方向分别水平向左和水平向右，磁感应强度大小均为B0＝2 T．用金属条制成的闭合正方形框aa′b′b边长L＝0.5 m，质量m＝0.3 kg，电阻R＝1 Ω.现让金属框平面水平，aa′边、bb′边分别位于左、右两边的磁场中，且与磁场方向垂直，金属框由静止开始下落，其平面在下落过程中始终保持水平，当金属框下落至PQ前一瞬间，加速度恰好为零．

以金属框下落至PQ为计时起点，PQ下方加一范围足够大的竖直向下的磁场，磁感应强度B与时间t之间的关系图象如图9－3－11乙所示．不计空气阻力及金属框的形变，g取10 m/s2.求： (2)金属框越过PQ后2 s内下落的距离； (3)金属框越过PQ后2 s内产生的焦耳热．

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