排列(一）

1. 排列的概念 问题1 要从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 解：从3名同学中选1名参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，可以看成是先选1名同学参加上午的活动，再选1名同学参加下午的活动这两个步骤完成，先选1名同学参加上午的活动，共有3种选法；

参加上午的活动的同学选定后，参加下午的活动的同学有2种选法。根据分步计数原理，所求的不同的选法数是 N=3×2=6 故有6种不同的选法。 不同排法如下图所示 上 午 下 午 相应的排法 甲 乙 丙 甲乙 甲丙 乙甲 丙 乙 甲 回10页 乙丙 乙 甲 丙 丙甲 丙乙

我们把上面问题中被选的对象 (同学）叫做元素。于是，所提出 的问题就是从3个不同的元素甲、 乙、丙中任取2个，然后按一定的 顺序排成一列，求一共有多少种 不同的排列方法。

问题2 从a,b,c,d 这4个字母中,每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？ 解 解决这个问题需要分三个步骤。 第1步，先确定左边的字母，在4个中任取1个，有4种 方法； 第2步，再确定中间的1个字母，当左边的字母确定以后 ，中间的字母只能从余下的3个中任取1个，有3种方法； 第3步，再确定右边的1个字母，当左边、中间的字母确 定以后，右边的字母只能从余下的2个中任取1个，有2 种方法； 根据分步计数原理，所求的不同的排法数是 4 ×3 ×2=24 (种）

c d b d b c c d a c a d b d a d a b b c a c a b b c d a c d a b d 不同排法如下图所示 c d b d b c c d a c a d b d a d a b b c a c a b b c d a c d a b d a b c a b c d

所有的排列为： abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb 回10页

我们把上面问题中被取的对象 （字母）叫做元素。于是，所提出 的问题就是从4个不同的元素a、b、 c、d中任取3个，然后按一定的顺 序排成一列，求一共有多少种不同 的排列方法。

定义 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。

排列的定义中包含两个基本内容： 一个是“取出元素”；二是“按照一 定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。 根据排列的定义，两个排列相同， 当且仅当两个排列的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也相同。

练习1 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？ 练习1 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？ 不同排法如下图所示

起点站 终点站 北京 上海 广州 飞机票 北京 上海 广州

练习2 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？允许重复呢？ 练习2 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？允许重复呢？ 不同三位数如下图所示

1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 3 1 2 4 4 1 2 3 3 4 2 1 4 1 2 3 3 4

练习3 下列问题是排列问题吗？ （1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ 练习3 下列问题是排列问题吗？ （1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ （2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？ （3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ （4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？ （5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ 是排列 不是排列 （从中归纳这几类问题的区别）

2. 排列数公式 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。

第1位 第2位 n n-1 · · · · · · 第1位 第2位 第3位 第m位 n n-m+1 n-1 n-2

排列数公式 选排列数 • · · · •3 •2 •1 全排列数 ！ 简写为 选排列数

排列数公式

全排列 n个不同元素全部取出的一个排列 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 1 2 6 24 120 720 5040 (n+1) ·n!= =(n+1)! (n+2)(n+1) ·n! =(n+2)!

练 习 例1 计算： 6！=6×5×4×3×2×1=720

变式题： 由n=18，n-m+1=8，得m=11

例2 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛一次，问一共进行多少场比赛？ 例3 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？ 元素不可重复 （2） 有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 注意区分“本”与“种” 元素可重复

（3）排成两排，前排4人，后排5人， 有多少种排法？ 练习3 有5名男生，4名女生排队。 （1）从中选出3人排成一排，有多少 种排法？ （2）全部排成一排，有多少种 排法？ （3）排成两排，前排4人，后排5人， 有多少种排法？ 注：与（2）同解

练习4 应用公式解以下各题：

练习5 求证下列各式： 你能用学过的方法，举一实际的例子说明（1）、（2）吗？

练习6： 求解下列各式的值或解方程。

例4 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 即有分类，又有分步

例5 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解法一：对排列方法分步思考。 百位 十位 个位 0是“特殊元素”， 特殊元素要特殊（优先）处理。

解法二：对排列方法分类思考。 符合条件的三位数可分为两类： 分析：由0的位置分类： 根据加法原理 1类：0在个位 2类：0在十位 3类：0不在个.十位 百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位 根据加法原理 0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。

求总数： 从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ， 解法三：间接法. 求总数： 从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ， 求以0为排头的排列数为 . ∴ 所求的三位数的个数是 从总数中去掉不合条件的排列的种数