3.2.1 古典概型 高二数学组

有红心A、2、3和黑桃4、5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？

一、基本事件 试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现哪几种结果？ 试验2：掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数有哪几种结果？ 4点 正面朝上 反面朝上 试验2：掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数有哪几种结果？ 4点 1点 2点 3点 5点 6点 一次试验可能出现的每一个结果称为一个 基本事件.

4点 1点 2点 3点 5点 6点 问题： （1） 在一次试验中，会同时出现 “1点”与“2点” 这两个基本事件吗？ 不会. 任何两个基本事件是互斥的. （2） 事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？ “2点” “4点” “6点” 事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件？ “1点” “2点” “3点” “4点” 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 分析：为了得到基本事件，我们可以按照字母排序的顺序，把所有可能的结果都列出来. a b c d 树状图 解：所求的基本事件共有6个：

我们一般用列举法列出所有基本事件的结果. 画树状图是列举法的基本方法. 分步完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举.

二、古典概型 上述试验和例1的共同特点是： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等. 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.

不是古典概型. （1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果这是古典概型吗?为什么？ 因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件.

（2）如图，某同学随机地向一靶心 进行射击，这一试验的结果只有有限 个：命中10环、命中9环……命中5环 和不中环.你认为这是古典概型吗？ 为什么？ 不是古典概型. 因为虽然试验的所有可能结果只有有限个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.

二、古典概型的概率的求法 在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？ 随机事件出现的概率如何计算？ 对于掷均匀硬币试验，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”）=P (“反面朝上”）. 利用概率的加法公式，我们有 P(“正面朝上”）+P (“反面朝上”）=1. P(“正面朝上”）=P (“反面朝上”）= .

掷骰子中，出现各个点的概率相等， P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”） ＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）. 利用概率的加法公式，我们有 P（“1点”）＋P（“2点”）＋P（“3点”） ＋P（“4点”）＋P（“5点”）＋P（“6点”） ＝P（必然事件）＝1.

所以P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）

对于古典概型，任何事件的概率计算公式为： 在使用古典概型的概率公式时，应该注意： （1）要判断该概率模型是不是古典概型； （2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A， B，C，D四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考查的内容，他可以选择惟一正确的答案.假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？ 分析：解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考生掌握或者掌握了部分考查内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择一个答案的情况下，才可以转化为古典概型.

解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案，选择A，B，C，D的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得

？ 在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案,多选题更难猜对，这是为什么？ 基本事件为(A)，(B)，(C)，(D)， (A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)， (A，B，C，D). 答对的概率为

例3（掷骰子问题）：将一个骰子先后抛掷2次， 观察向上的点数。 问: （1）共有多少种不同的结果? （2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？ 解：（1）将骰子抛掷1次，它出现的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果，对于每一种结果，第二次抛时又都有6种可能的结果，于是共有6×6=36种不同的结果。 6 5 4 3 2 1 第二次抛掷后向上的点数 7 8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 由表可知，等可能基本事件总数为36种。 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 第一次抛掷后向上的点数

1 2 3 4 5 6 第一次抛掷后向上的点数 8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 第二次抛掷后向上的点数 （2）记“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A， 则事件A的结果有12种。 （3）两次向上点数之和是3的倍数的概率为：

1 2 3 4 5 6 第一次抛掷后向上的点数 8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 第二次抛掷后向上的点数 变式1：两数之和不低于10的结果有多少种？两数之和不低于10的的概率是多少？ 解：记“两次向上点数之和不低于10”为事件B， 则事件B的结果有6种， 因此所求概率为：

1 2 3 4 5 6 第一次抛掷后向上的点数 8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 第二次抛掷后向上的点数 8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 根据此表，我们还能得出那些相关结论呢？ 变式3：点数之和为质数的概率为多少？ 变式4：点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？ 且概率为： 点数之和为7时，概率最大，

为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么 情况？你能解释其中的原因吗？ 如果不标上记号，类似于（1，2）和（2，1）的结果将没 有区别.这时，所有可能的结果将是： （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21种,和是5的结果有2个, 它们是（1，4）（2，3），所求的概率为 此时构造的21个基本事件不是等可能发生的.

　　当一个试验是古典概型时，求事件A的概率P(A),可按以下步骤进行： （1）列出该试验的基本事件的总数n; （2）列举事件A所包含的基本事件的个数m； （3）利用公式 求出P(A).

例4 假设储蓄卡的密码由4个数 字组成，每个数字可以是0，1， 2，…，9十个数字中的任意一 个.假设一个人完全忘记了自己 的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？

解：一个密码相当于一个基本事件，总共有10 000个基本事件. 它们分别是000,0001,0002，…,9998,9999 解：一个密码相当于一个基本事件，总共有10 000个基本事件.它们分别是000,0001,0002，…,9998,9999.随机地试密码，相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的，所以这是一个古典概型. 事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本事件构成，即由正确的密码构成. 所以P(“试一次密码就能取到钱”)＝

例5 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？ 例5 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？ 解：我们把每听饮料标上号码，合格的4听分别记为1,2,3,4,不合格的2听分别记作a,b. 任取2听结果为（1,2），（1,3），（1,4），（1，a), (1,b),（2,3），（2,4），（2,a)，（2，b), (3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)共有15种. 记事件A为“检测出不合格产品”，则A中含有（1，a), (1,b),(2,a),(2,b),(3,a),（3，b), (4,a),(4,b), (a,b)共有9种.所求概率为

　　随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率怎样变化？为什么质检人员都采用抽查的方法而不采用逐个检查的方法？ 　　随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率增大.在实际问题中，质检人员一般采用抽查方法而不采用逐个检查的方法的原因有两个：第一可以从抽查的样品中次品出现的情况把握总体中次品出现的情况；第二采用逐个抽查一般是不可能的，也是不现实的.

1.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) 解：一枚硬币连掷3次，共有8种可能性，只有一次出现正 面的情况有3种，故所求概率为 A

2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率 是( ) 解：选甲、乙、丙三名同学站成一排，有6个基本 事件，其中甲站在中间的基本事件有2个，故所求概率为 C

3.三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机 地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为______. 【解析】排成一行,可能的情况为EEB、EBE、BEE共3种， 所以所求概率为

4.一个袋中装有红、黄、蓝三个大小形状完全相同的球， （1）从中一次性摸出两个球，其中可能出现不同色的两个球的结果; {红，黄}，{红，蓝} ，{黄，蓝}. （2）从中先后摸出两个球，其中可能出现不同色的两个球的结果. （红，黄），（红，蓝），（黄，红） （黄，蓝），（蓝，红），（蓝，黄）.

5. 从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两个数，求两数都是奇数的概率. 解：任取两个数，结果为(1，2) , (1，3), (1，4), (1，5) ,(2，3), (2，4), (2，5), (3，4) , (3，5),　(4，5),共有10种. 记事件A为“两数都是奇数”，则A中包含 (1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个基本事件.

1.古典概型 (1)有限性; (2)等可能性. 2.古典概率公式 3.古典概型的解题步骤: ①求出总的基本事件的个数； ②求出事件A所包含的基本事件的个数； ③然后利用公式求解.

3.2.2 随机数的产生

随机模拟方法 对于古典概型，我们可以将随机试验中所有基本事件进行编号，利用计算器或计算机产生随机数，从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法，称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法（Monte Carlo）. 你认为这种方法的最大优点是什么？ 不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域.

例 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？ 分析：今后三天的天气状况是随机的，共有四种可能的结果，每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型求概率的公式. 用计算器或计算机做模拟试验可以模拟每天下雨的概率是

解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题 解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题.利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这样可以体现下雨的概率是40%.因为是3天，所以每三个随机数作为一组.例如，产生20组随机数 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

就相当于做了20次试验.在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两天下雨，它们分别是191，271，932，812，393，即共有5个数. 我们得到三天中恰有两天下雨的概率近似为