電子工程概論 (第六章 分壓及分流定理)

分壓定理 （VOLTAGE DIVISION） 在串聯電路中，每一元件都有相同的電流。因此，每一電阻器的 IR壓降和R成正比。例如，圖6.1中的電路，電流是I，而V1和V2為IR 壓降分別為： (6.1) (6.2) 由歐姆定理知電流是 (6.3) RT為等效電阻，其值為： (6.4)

分壓定理 （VOLTAGE DIVISION） 圖6.1 具有兩個電阻的分壓器

分壓定理 （VOLTAGE DIVISION） 將(6.1)式和(6.2)式中的I以(6.3)式之值取代，可得： (6.5) 或等效於 (6.6) 因此，電壓比值和電阻之比值一樣。將(6.4)式代入(6.5)式，結果為： (6.7) (6.8) 因此跨於串聯電壓是全部電壓的分數，而這分數為此電阻和總電阻的 比值。以另一方式說明，電源 VT的電壓分配於R1及R2與其電阻值成正 比。這就是分壓的原則，而圖6.1的電路稱為分壓器。

一般狀況 任何如圖6.1中串電阻R1和R2都可構成分壓器。如果有N個串聯的 電阻器，R1、R2 ‥‥，Rs各電阻器的電壓分別為V1、V2、‥‥、VN ，可得： 且IR壓降為 (6.9) 及

一般狀況 其VT為跨於串電阻的總電壓。將I值代入(6.9)式可得： (6.10) 可知總電壓VT分壓於各電阻器之壓降，與各電阻值成正比。 分壓步驟的優點是不需計算電流I，就可求出IR壓降，舉一例子 加以說明。

範例－6.1 例：求圖6.2中的V。 圖6.2 具有四個電阻器的分壓器 Ans：V=10伏特

分流定理 （CURRENT DIVISION） 電流分別流入排電阻器中和電壓跨於分壓器，具有相似的方式。當然跨於排電阻電壓與每一並聯電阻電壓相等。因此，每一電阻器之電流與電導G成正比，所以由歐姆定律可得電流I為： 如同圖6.3電路的例子，總電流IT流入兩個電阻器，兩電阻分別具有 G1和G2知電導及I1和I2之電流。跨於每一電阻的電壓都是V。由歐姆定律 ，電流I1和I2為： (6.11) (6.12) 等效電導 (6.13) 因此排電壓 (6.14)

分流定理 （CURRENT DIVISION） 將此值代入(6.11)及(6.12)式中， 可得： (6.15) (6.16) 因此可知圖6.3電路為分流器，總 電流IT分別流入電阻器之電流與 其電導G1和G2成正比。如圖6.3中 兩電之特殊狀況，可得 (6.17) (6.18) 之關係式。較大之電導具有較大值 的電流，而小值電導則具有較小的 電流。 圖6.3 具有兩電阻器的分流器

一般狀況 一般分流器可能有電導G1、G2、‥‥、GN及I1、I2 、‥‥、IN 的N個電阻器的排，此時等效電導為： 並且電流為 (6.19)

一般狀況 及有V=IT/GT的關係式。IT為進入分流器之總電流，將此V值代入 (6.19)式中得： (6.20) 在(6.20)式中可知，不需知道排兩端電壓可獲得各自的電流。

範例－6.2 例：在圖6.4中，如IT=36mA，求I1、I2、I3。 I1 = 8 mA Ans：I2 = 12 mA 圖6.4 含有三個電阻器的分流源

以電阻為名稱的分流定理 我們已說明以電導為名稱的分流定理，但仍需以電阻為定理來說明 電路。如把(6.15) 、(6.16)和(6.20)等公式中的電導以電阻來取代，也就 是把GT、G1、G2以1/RT、1/R1、1/R2等值電阻取代，而獲得以電阻為名 稱的分流定理。如圖6.5所示兩個電阻器得分流器，從(6.15)和(6.16)式 可得： (6.21) 因並聯時有

以電阻為名稱的分流定理 可將(6.21)式改寫為： (6.22) 因此，分流之值與電阻值成反比。 較小的電阻通過較大的電流，較大 的電阻通過較小的電流。 等值電阻的狀況 在圖6.5中的分流器，R1=R2時， 從(6.22)式可得： 由於兩路徑的電阻值相等，所以電流 的分配也相同。 圖6. 5 使用電阻值的分流器

範例－6.3 例：在圖6.5中，IT=16安培，若(a)R1=4Ω，R2=12Ω和(b)R1=R2=8Ω時 ，求I1、I2之值。 解： 兩個電阻以上時亦可用電阻項導出，但太麻煩。可將電阻轉換成 電導，在使用(6.20)式來解題。在N個相同電阻時，就變為更簡單，利 用(6.20)式可得： (6.23)

使用分壓和分流的例子 使用分壓和分流定理，常可使串－並聯電路再分析時更簡化。例如 求圖6.6電路中的I=和V1，其總電阻RT為： 因此 電流I分成I1流經4Ω之路徑，和分流通過5+3=8Ω之另一路徑。利用分流 定理可得： 利用分壓可得

使用分壓和分流的例子 圖6.6 串－並聯電路

應用於梯形網路 圖6.7 梯形網路

應用於梯形網路 分壓和分流定理於分析梯形網路時特別有用。如求圖6.7中梯形網路 的V1，從b－c點看入的電阻以R2表示，其值為： 從a－b點看入電阻以R1表示，其值為： 而從電源兩端看入的電阻RT為： 因此電流I

應用於梯形網路 電流I在節點a分成兩條路徑，一為6Ω路徑，另一為10+R2=12Ω的 路徑。因此利用分流定理，流經12Ω之電流為： 這電流在節點b分別流入兩4Ω之路徑，故I2之值為： 所以電壓V1由歐姆定律可得： 分析梯形網路可重覆使用分流定理。現在用分壓來分析電路，電壓V3 為跨於等效電阻R1=4Ω兩端，用分壓定理可得： (6.24)

應用於梯形網路 電壓V2是R2=2Ω兩端電壓，可得： (6.25) 最後，電壓平分跨於兩2Ω電阻上，如前述，其值為 (6.26) 獲得(6.24)至(6.26)式之步驟，可從圖6.8(a)至(c)中看的更清楚。 圖6.8 求圖6.7中的V1的步驟

範例－6.4 例：求圖6.9中梯形網路的I、I1、V1、V2和V3之值。 圖6.9 具有三個電阻器排的梯形網路 Ans：I = 9安培；I1=3安培；V1=18伏特；V2=27伏特；V3=18伏特。

惠斯登電橋 （WHEATSTONE BRIDGE） 有一著名的橋路為惠斯登電橋。此橋路示於圖6.10中，有四個電阻 R1、R2、Rx、Rs，以及一檢流計所組成。 圖6.10 惠斯登橋路

應用於量測電阻 圖6.10中惠斯登電橋可以量測未知電阻Rx，將R1和R2固定，調整可變標準電阻Rs（已知值），而求得Rx。 由KCL知從a點通過R=的電流是I1-IG，因這電流隨著Rs的改變而產生變化，故有一Rs之值使IG=0。當Rs在此值時，檢流計指示為零，此時橋路稱之為平衡。 當橋路平衡時，通過Rx和Rs的電流為I1，通過R1和R2的電流是I2，因此橋路為兩組合含有兩電阻器串－並聯所組成的，並和電源並接。檢流器是典型的電流量測儀表，此電表沒有電壓跨於其兩端，在理想狀況下，端電壓等於零。 理想檢流器如同短路，即使有電流通過，其電表端電壓亦形同為零。因此在圖6.10中利用KVL可知 (6.27)

應用於量測電阻 因IG=0，橋路為串－並聯電路，利用分壓定律可寫出： 將這些結果代入(6.27)式，消除V後得 或 把共同項R1Rx點去可得： 得 (6.27) 由(6.28)式可知，若R1和R2為已知，可以改變Rs的方式，而求出未知電阻 Rx。僅需簡單調整Rs之數據，直到檢流計讀數為零，然後利用(6.28)式求 出Rx。實際上，不需知道R1和R2的電阻值，僅知其比值即可。

惠斯登電橋 （WHEATSTONE BRIDGE） 真正的惠斯登電橋照片展示於圖6.11中，它包含了有滑動接頭的滑動式線圈。 此線圈提供了R1和R2兩電阻，及有刻度盤型式的電阻箱作為Rs電阻，另一電阻器的接座，用來安裝Rx之用。 並有一檢流計，一乾電池，一開關。電阻箱是用來設定Rs之值使IG等於零，或接近零，而滑動接頭式作為微調使用。 在設定Rs之值後如IG不能完全等於零，可藉著移動滑動接頭，而使IG更接近等於零。 未知電阻Rx，可為任一至於電阻器插座上的可用電阻器。

惠斯登電橋 （WHEATSTONE BRIDGE） 圖6.11 真實惠斯登電橋的照片