第二章　质点运动学 力 学 新乡学院物理系 运动学：只从几何观点研究物体的运动。 如位置、 速度、加速度等，而不涉及物体间的相互作用。

§1-1 质点运动的描述 一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动而选择的参考物体叫参考系。 2、坐标系 一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动而选择的参考物体叫参考系。 2、坐标系 为了定量地研究物体的运动，要选择一个与 参考系相对静止的坐标系。如图1-1。说明：参考系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便而定。

3、质点 忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。 说明： ⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中 有很多理想模型）。 ⑵质点突出了物体三个基本性质： 1）具有质量； 2）占有位置； 3） 无体积。 ⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研究问题的性质和精确度而定.

二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移 1.位矢：表征空间某点P的位置，由原点0到P 的矢量；如图1-2

2、运动方程 质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。 运动方程 矢量形式： 分量形式： 消去t 可得轨迹方程： f (x,y,z) = 0

3.位移 位移：质点一段时间内位置的改变；

讨论： a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长度； b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不相等，即； c. 在极限情况下 ； d. 单方向直线运动时；

三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量； 1.平均速度 大小： 方向： 的方向；

2.瞬时速度 大小： 方向： 的方向---轨道切线方向；

3、平均速率与瞬时速率 定义：平均速率=Δs/Δt 称为质点在Δt时间段内的平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。 定义：v=ds/dt 称为t时刻质点的瞬时速率，简称速率.当Δt趋于零时， Δr=dr, Δs=ds,所以，瞬时速率=瞬时速度的大小。 结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。

说明： （1）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。 （2）比较速率与速度：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。 （3）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速率不等于速度的大小。

四、加速度 为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。 1、平均加速度 定义：平均加速度 （见图1-4） 称为Δt时间间隔内质点的平均加速度

2、瞬时加速度 为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。 定义： 称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。 结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。 说明：一般情况下与 方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。

五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线； 位矢： 直线运动中，用坐标x(代数量)可表示质点的位置； 运动方程：

§ 1-2圆周运动 本节先讨论圆周运动，之后再推广到一般曲线运动。 一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻质点P位于A 点，et、en分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为原点， et切向和en法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维）

如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质点速度 V=vet v为速率。 二、圆周运动的切向加速度及法向加速度 1、切向加速度 如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质点速度 V=vet v为速率。

加速度为 a=dv/dt=dv/dtet+vdet/dt（2-2） 式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与et共线，称该项为切向加速度，记为 at= dv/dtet =atet（2-3） at为加速度的切向分量。 结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数 。

2、法向加速度 式（2-2）中，第二项是由质点运 动方向改变引起的。 如图1-8，质点由A点运动到B点，有det=e’t-et, e’t与et夹角为 （见图1-8）当 趋于0时 ，有det 的大小等于 。因为det垂直et，所以由A点指向圆心O，可有det= en

式（2-2）中第二项为： 该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。 称此项为法向加速度，记为 （2-5） 大小为 （2-6） 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径 。

3、总加速度 （2-7） 大小： （2-8）    方向：a与et夹角（见图1-10）满足

4、一般曲线运动 圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。 讨论：⑴如图1-10，a总是指向曲线的凹侧。 ⑵ 时， ，质点做直线运动。此时

⑶ 时， 有限，质点做曲线运动。此时   ⑷

三、圆周运动的角量描述 1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt时刻质点在B处，θ是OA与x轴正向夹角， θ+ Δ θ是OB与x轴正向夹角，称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ为Δt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间隔内的角位移。

2、角速度 平均角速度： 定义： （2-9） 称为平均角速度。平均角速度粗略地描述了物体的运动。为了描述运动细节，需要引进瞬时角速度。 定义： （2-10） （2-11） 结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导数 说明：角速度是矢量,方向与角位移 方向一致。

3、角加速度 为了描述角速度变化的快慢，引进角加速度概念。 （1）平均角加速度： 设在 内，质点角速度增量为 定义： （2-12） 称为时间间隔内质点的平均角加速度瞬时角加速度： 定义： （2-13） 称为 时刻质点的瞬时角加速度，简称角加速度。 （2-14

结论：角加速度等于角速度对时间的一阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。 说明：角加速度是矢量，方向沿 方向。 4、线量与角量的关系 把物理量 、 、 、 、 等称为线量， ， 等称为角量。 （1） 、 与 关系 如图2-7， 时，

有 即 （2-15） （2） 与 关系 式（2-15）两边对 求一阶导数 即 （2-16）

（3）、 与 关系 即 （2-17）

（3）、 与 关系 即 （2-17）

§1-3相对运动 本节讨论一个质点的运动，用两个参考系来描述，并得出两个参考系中物理量（如：速度、加速度）之间的数学变换关系。

一、相对位矢 设有参照系E、M，其上固连的坐标系，如图1-13， 二坐标系相应坐标轴平行，M相对于E运动。 质点P相对E、M的位矢分别为 、 ，相对位矢为： (2-18) 结论：P对E的位矢等于P对 M的位矢与 对E的位矢 的矢量和。

二、相对位移 由（2-18）有 （2-19） 结论：P对E的位移等于P对M的位移与 对E的位移的矢量和。

三、相对速度 将式（2-18）两边对时间求一阶导数有 （2-20） 结论：P对E的速度等于P对M的速度与M对E的速度的矢量和

四、相对加速度 由式（2-20）对时间求一阶导数有 （2-21） 结论：P对E的加速度等于P对M的加速度与M对E的加速度的矢量和。