第21讲　矩形、菱形、正方形 考点知识精讲 中考典例精析 举一反三 考点训练

考点一 矩形的定义、性质和判定 1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线_________________；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点． 3．判定：(1)有 的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的 是矩形． 互相平分且相等 一个角是直角 平行四边形

考点二 菱形的定义、性质和判定 1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．性质：(1)菱形的四条边 ，对角线互相 ，并且每条对角线平分一组对角;(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线 的平行四边形是菱形；(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 都相等 垂直平分 互相垂直

考点三 正方形的定义、性质和判定 1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形． 2．性质：(1)正方形四个角都是 ，四条边都 ； (2)正方形两条对角线 ，并且互相 ，每条对角线平分一组对角． (3)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3．判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形(正方形的判定可借助平行四边形、矩形、菱形来判定)． 直角 相等 相等 垂直平分

考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 温馨提示： 1. 矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质. 2 考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 温馨提示： 1.矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质. 2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键.

(1)(2011·温州)如图，在矩形ABCD中 ，对角线AC，BD交于点O (1)(2011·温州)如图，在矩形ABCD中 ，对角线AC，BD交于点O.已知∠AOB＝60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条 B．4条 C．5条 D．6条 (2)(2011·佛山)依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 (3)(2011·芜湖)如图所示，从边长为(a＋4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1) cm的正方形(a＞0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重复无缝隙)，则矩形的面积为( )

A．(2a2＋5a) cm2 B．(3a＋15) cm2 C．(6a＋9) cm2 D．(6a＋15) cm2 【点拨】本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定．

(2011·南京)如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC， 连接AE，交BC于点F (2011·南京)如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC， 连接AE，交BC于点F. (1)求证：△ABF≌△ECF； (2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形． 【点拨】(1)证明两三角形全等的方法主要有“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”四种．(2)对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC.∴∠ABF＝∠ECF.∵EC＝DC，∴AB＝EC.在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF.

(2)证法一：∵AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴FA＝FE，FB＝FC (2)证法一：∵AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴FA＝FE，FB＝FC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D.又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC.∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∠AFC＝2∠D，∴∠ABF＝∠BAF.∴FA＝FB.∴FA＝FE＝FB＝FC.∴AE＝BC.∴▱ABEC是矩形． 证法二：∵AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE.又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠BCE.∵∠AFC＝∠FCE＋∠FEC，∴∠FCE＝∠FEC.∴∠D＝∠FEC.∴AE＝AD.又∵CE＝DC，∴AC⊥DE，即∠ACE＝90°.∴▱ABEC是矩形．

(2011·宁波)如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G (2011·宁波)如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G. (1)求证：DE∥BF； (2)若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形． 【点拨】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形．

1．下列命题中是真命题的是( ) A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形 答案：C

答案：A 3．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线 (直角三角形的中位线)剪去上面的小直角三角形．将留下的纸片展开，得到的图形是( )

4．如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分 割成两个多边形(含三角形)，若这两个多边形的内角和 分别为m和n，则m＋n不可能是( ) A．360° B．540° C．720° D．630° 答案：D

5．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸 片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1 ＋∠2＝ 5．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸 片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1 ＋∠2＝ . 6．如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以 AD为边作等边三角形ADE. (1)求∠CAE的度数； (2)取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形． 答案：(1)30° (2)利用定义判定四边形AFCE为矩形 90°

矩形、菱形、正方形 训练时间：60分钟 分值：100分 矩形、菱形、正方形 训练时间：60分钟 分值：100分

一、选择题(每小题4分，共40分) 1．(2011·哈尔滨)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝5，则AD的长是( )

【答案】B

2．(2010中考变式题)如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是( ) A．20 B．15 C．10 D．5 【解析】在菱形ABCD中，AB＝BC＝5.∵∠BCD＝120°，AC平分∠BCD，∴∠BCA＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝5. 【答案】D

3．(2010中考变式题)下列说法不正确的是( ) A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【答案】C

4．(2012中考预测题)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　)

【解析】

5．(2010中考变式题)如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【解析】由题意知，△BEG≌△HEG，则BE＝HE；∠BEG＝∠HEG，∠BEH＝2∠BEG.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴AE＝HE.∴∠EAH＝∠EHA.∵∠BEH＝∠EAH＋∠EHA＝2∠EAH.∴∠BEG＝∠EAH＝∠EHA＝∠HEG.则与∠BEG相等的角有3个． 【答案】B

7．(2012中考预测题)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是( ) A．1 7．(2012中考预测题)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是( ) A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【解析】由作图方法可知AC＝AD＝BC＝BD，所以四边形ADBC一定是菱形． 【答案】B

9．(2012中考预测题)顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是( ) A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形 【解析】顺次连接四边形各边中点得平行四边形，另外由对角线垂直可得到平行四边形有一个角是直角，所以得到的是矩形． 【答案】A

10．(2011·杭州)在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BFDE，现给出下列命题： A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题

二、填空题(每小题4分，共16分) 11．(2011·铜仁)已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是________cm2. 【答案】3

12．(2011·山西)如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：________，可使它成为矩形． 【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【答案】∠ABC＝90°(或AC＝BD等)

13．(2011·潍坊)如图所示，已知长方形ABCD，AB＝3 cm，AD＝4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为________．

14．(2010中考变式题)如图，在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为________cm(结果不取近似值)．

三、解答题(共44分) 15．(10分)(2010中考变式题)如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD 三、解答题(共44分) 15．(10分)(2010中考变式题)如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD. (1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由； (2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．

【答案】解：(1)四边形OCED是菱形． ∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形． 又∵在矩形ABCD中，OC＝OD 【答案】解：(1)四边形OCED是菱形． ∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形． 又∵在矩形ABCD中，OC＝OD. ∴四边形OCED是菱形． (2)连接OE，由四边形OCED是菱形得，CD⊥OE.∴OE∥BC. 又CE∥BD，∴四边形BCEO是平行四边形，∴OE＝BC＝8，

16．(8分)(2011·广州)如图所示，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF. 求证：△ACE≌△ACF 16．(8分)(2011·广州)如图所示，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF.求证：△ACE≌△ACF. 【答案】证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠CAE＝∠CAF.在△ACE和△ACF中，AE＝AF，∠CAE＝∠CAF，AC＝AC，∴△ACE≌△ACF(SAS)．

17．(12分)(2012中考预测题)如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证：EO＝FO； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． (3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

【答案】证明：(1)∵MN∥BC，∴∠FEC＝∠BCE. ∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE，∴∠FEC＝∠ACE， ∴OE＝OC 【答案】证明：(1)∵MN∥BC，∴∠FEC＝∠BCE. ∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE，∴∠FEC＝∠ACE， ∴OE＝OC.同理可证OF＝OC，∴OE＝FO. (2)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． ∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角， 由(1)得OE＝OF，又∵O为AC的中点，∴AO＝CO. ∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，

∴四边形AECF是矩形． (3)当△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°时，在(2)的条件下，四边形AECF是正方形．

18．(14分)(2011·河北)如图所示，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG 18．(14分)(2011·河北)如图所示，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG. (1)求证：①DE＝DG；②DE⊥DG； (2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；

(3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°.又∵CE＝AG，∴△DCE≌△DAG.∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG.又∵∠ADE＋∠GDA＝90°.∴DE⊥DG.

(2)解：如图所示．(注：如图或其他画法正确的相应给分) (3)解：四边形CEFK为平行四边形． 证明：设CK，DE交于M点． ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG. ∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD. ∴四边形CKGD为平行四边形． ∴CK＝DG＝EF，CK∥DG， ∴∠KME＝∠GDE＝∠DEF＝90°.

∴∠KME＋∠DEF＝180°， ∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．