3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式

1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？ 问题提出 1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？ 2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.

3.若已知α，β的三角函数值，那么cos(α－β)的值是否确定？它与α，β的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题.

两角差的余弦公式

思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗? 探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗? cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°

思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？ sin60° sin120° cos60° cos120° cos(120°－60°) sin30° cos30° cos(60°－30°)

思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？ x y cos(α－β)=OM M

思考5：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？ P P1 O x y sinβ cosβ A

思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？ sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？ x y A sinαsinβ B C cosαcosβ

思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？ sinαsinβ cosαcosβ P P1 O x y A B C M cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

y 1 P1 A P C x M 1 O B +

思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？ 思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？

思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量 、 的坐标分别是什么？其数量积是什么？ O A x y α β =(cosα,sinα) =(cosβ,sinβ)

思考11：向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？ 思考11：向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？ B O A x y α β θ α＝2kπ＋β＋θ或β＝2kπ＋α＋θ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？

思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？ 探究（二）：两角差的余弦公式的变通 思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？ cosα＝cos[(α＋β)－β]＝ cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ. 思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？ cosβ＝cos[(α－β)－α]＝ cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα.

思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？

理论迁移 例1 利用余弦公式求cos15°的值. 例2 已知 β是第三象限角,求cos(α－β)的值. 例3 已知 且 , 求 的值.

2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号. 小结作业 1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会. 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.

3. 在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β). 等 3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择. 作业： P127练习：1，2，3，4.

3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式

1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些基本变式？ 问题提出 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些基本变式？

2.利用两角差的余弦公式固然能解决一些问题，但范围太窄，我们希望在此基础上获取一系列有应用价值的公式，实现资源利用和可持续发展战略. 3.有了两角差的余弦公式，自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究，让希望成为现实.

两角和与差的正弦、 余弦、正切公式

思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？ 探究（一）：两角和与差的基本三角公式 思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ. 思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？

思考3： 诱导公式 可以实 现由正弦到余弦的转化，结合 和 你能推导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作 ， ，这两个公式有什么特点？如何记忆？

思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从 、 出发，tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、tanβ有什么关系 思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作 ， ，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？

思考7：为方便起见，公式 称为和角公式，公式 称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？ 思考7：为方便起见，公式 称为和角公式，公式 称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？ C(α－β) C(α＋β) T(α＋β) T(α－β) S(α－β) S(α＋β)

思考1：若cosα＋cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α＋β)等于什么？ 探究（二）：两角和与差三角公式的变通 思考1：若cosα＋cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α＋β)等于什么？ 思考2：若sinα＋cosβ＝a，cosα＋sinβ＝b，则sin(α＋β)等于什么？

思考3：根据公式 ，tanα＋tanβ可变形为什么？ tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) 思考4：在△ABC中，tanA，tanB，tanC三者有什么关系？ tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 思考5：sinx＋cosx能用一个三角函数表示吗？

理论迁移 例1 已知 ，α是第四象限角， 求 ， ， 的值.

例2 求下列各式的值： （1）cos75°； （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°； （3） ； （4）tan17°＋tan28°+tan17°tan28° 例3 求证： .

1.两角差的余弦公式 是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程. 小结作业 1.两角差的余弦公式 是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程. 2.公式 与 ， 与 与 的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.

作业： P131练习：3，4，5，6.

3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式

1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么？ 问题提出 1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么？

2. 是特殊角， 与 是倍半关系，利用上述公式可以求 的三角函数值.如果能推导一组反映倍半关系的三角函数公式，将是很有实际意义的.

二倍角的正弦、 余弦、正切公式

思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？ 探究（一）：二倍角基本公式 思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？ sin2α＝2sinαcosα； . cos2α＝cos2α－sin2α；

思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？ cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？ 思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？

思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα，cosα与cos2α的关系分别如何？ 探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？ 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2 思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα，cosα与cos2α的关系分别如何？

思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？

思考4：sin2α，cos2α能否分别用tanα表示？

理论迁移 例1 已知 ， 求 ， ， 的值. 例2 在△ABC中, 求 的值.

例3 化简 tanx 例4 已知 ，且α∈(0，π)，求cos2α的值.

1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α的两倍, 4α是2α的两倍, 是 的两倍等等，这里蕴含着换元的思想. 小结作业 1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α的两倍, 4α是2α的两倍, 是 的两倍等等，这里蕴含着换元的思想. 2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点. 3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.

作业： P135练习：2，3，4，5.