第七讲：光源亮度，束流寿命

课前通知 11月13日，第八讲 误差、高阶效应、不稳定性 11月20日，第九讲 同步辐射光源的子系统 11月27日，讲座：衍射极限储存环光源 12月4日，答疑课 12月11日，考试，按上课时间 14:00-16:00，开卷，请带计算器或笔记本电脑，禁止使用 手机等通讯工具

本节内容 光源亮度的定义 常见的亮度讨论 束流寿命概述 束流的量子寿命 束流的散射寿命 束流的托歇克寿命

1. 同步辐射光源的光通量及亮度 光子通量定义为单位时间、单位谱宽、中心锥角内的辐射光子数 The Brightness of a Light Source 亮度 Brightness = # of photons in given / sec, mrad , mrad , mm2 通量 Flux = # of photons in given / sec From the above definitions, one can see that for a given flux, sources with a smaller emittance will have a larger brightness. 光子通量定义为单位时间、单位谱宽、中心锥角内的辐射光子数

同步辐射光源的亮度 同步辐射光源的亮度定义为单位相空间体积内的光子通量 对于高斯分布来说，其光谱亮度为 亮度常用单位为： （与教材相比，差一个系数，物理意义相同） 亮度常用单位为： 光子数/（秒•毫米2 •毫弧度2 • 0.1％带宽） 总光子通量 单位水平角的光子通量 𝑁 𝑝ℎ 是总光子通量，𝑁 ′ 𝑝ℎ 为单位水平偏转角的光子通量； 𝜎 𝑥 ， 𝜎 𝑦 为光源尺寸，在电子束的尺寸远大于衍射极限时，它就是电子束团的横向尺寸； 𝜎 𝑥 ′ ， 𝜎 𝑦 ′是相空间中的角分布的均方根值，包括电子束和光子束对角分布的贡献。

Wiggler磁场比较强、周期长度大，相当于有2N个弯铁，辐射不相干 bending magnet wiggler - incoherent superposition undulator - coherent interference Wiggler磁场比较强、周期长度大，相当于有2N个弯铁，辐射不相干 Undulator虽然也有2N个小弯铁，但是辐射相干，与弯铁有所区别

弯铁的光通量及亮度

此处认为相同的θ时,对于不同的φ辐射能量相等。 根据经典电动力学，单电子在每单位立体角每单位频率间隔下辐射光的能量为 其中：ω=2πc/λ，λ为辐射波长， 为电子到观测点的单位矢量 注意国际制单位与高斯单位制有4πε0的区别，此处为国际制单位 当粒子在圆形加速器中的x-y水平面运动时，瞬时曲率为ρ，单位矢量n选在x-z平面上，n与x的交角为θ。当θ很小时，才会有较强的辐射。 此处认为相同的θ时,对于不同的φ辐射能量相等。 大omega为立体角；

因此，单电子在每单位立体角每单位频率间隔下辐射光的能量为 ∥ ∥ 其中临界角频率为 精细结构常数 单个光子的能量为 则，多电子在单位时间单位立体角单位频率间隔下辐射的光子数为

多电子在单位时间单位立体角单位频率间隔下辐射的光子数为 上式中dΩ为立体角， dΩ =dφdθ 对上式θ进行积分，可得到单位时间、单位水平偏转角内辐射的光子数 此处直接给出积分的结果： 上式即电子束通过弯铁，在单位时间、单位水平偏转角内辐射的光子数(通量)

弯铁辐射亮度 根据上式，我们就可以得到弯铁的辐射光谱曲线 水平方向，要考虑由于辐射产生的光子尺寸σr 垂直方向（高斯分布），要考虑由于辐射产生的光子束角散度σθ 根据上式，我们就可以得到弯铁的辐射光谱曲线

Undulator的光通量及亮度

undulator辐射原理

undulator辐射原理 显然K值越大电子扭摆的幅度越大， 通常的波荡器参数K<2，K>10成为Wiggler

undulator辐射原理

undulator辐射原理

undulator辐射原理 波荡器的磁极间隙可调，即磁场可调，因此K值可调，轴上的自发辐射光可调，而且可以利用高次谐波。

Undulator光通量的计算 依然使用原始公式，单电子在每单位立体角每单位频率间隔下辐射光的能量为 式中的相关量为: r

光子通量定义为单位时间、单位谱宽、中心锥角内的辐射光子数Nph 单电子在轴上的辐射强度为： 光子通量定义为单位时间、单位谱宽、中心锥角内的辐射光子数Nph 立体角的计算 则，多电子在单位时间单位立体角单位频率间隔下辐射的光子数为

𝜎 𝑟 ， 𝜎 𝑟 ′ 分别是衍射极限的光子束尺寸和散角 亮度定义为单位相空间内的辐射光子通量 （单位为s-1mm-2mrad-2/0.1%带宽内的光子数） 𝜎 𝑟 ， 𝜎 𝑟 ′ 分别是衍射极限的光子束尺寸和散角

2. 束流寿命概述 直观来说，束流寿命就是电子束流在储存环中保 存的时间 本章只考虑单束团情况不考虑多束团效应 不考虑对寿命影响非常剧烈迅速的情况 只考虑对寿命影响相对比较平缓的情况 且这个影响的分布在时间上是随机的 定量描述：电子数目损失到其初始数目一定比例所 需的时间（1/2寿命或1/e寿命）。通常所讲的束流 寿命指的是1/e寿命(1/2.718)

储存环中带电粒子在磁场作用不断地辐射同步光， 并从高频电场补充能量，在辐射激发和阻尼平衡 状态下，束团中电子横向和纵向分布均为高斯分 布 由于真空管道尺寸和高频电压都为有限值，横向 和纵向的接受度都有限，位于束流高斯分布尾部 的那部分粒子将不断丢失，造成有限的束流寿命 我们把束团内电荷量减少到原来1/e (e为自然常数) 所用的时间定义为束流寿命

By defining the lifetime t as: 若不同的效应之间没有相关性，则它们各自导致 的粒子损失可以用相似的方法分别定义，总的束 流寿命可以通过将各个部分的贡献求和得到 这样，就可以分别研究各种效应的束流寿命 By defining the lifetime t as:

导致束流丢失的效应 β振荡或同步振荡的噪声 量子效应—量子寿命 光子发射导致横向位移超出限制 光子发射导致能量变化，电子跃出相稳定区 与残余气体散射作用（弹性、非弹性）包括电子与原子核的 卢瑟福散射、轫致辐射，与壳层电子间的碰撞 电子束团内电子之间的碰撞（Touschek效应、 IBS ） 离子俘获效应 ……

将束流寿命看做一个常数：简化处理 大多数储存环中，束流寿命依赖于流强 目前，Touschek效应是多数储存环束流寿命的主要贡献， 而Touschek效应导致的电子损失随着流强降低而减少，因 此束流寿命相应增加； 另外，高流强时的同步辐射导致真空室更高的气体解析出 来，从而提高了真空室内的气体压力，导致电子与气体之 间的碰撞损失增加，同时也具有更强的离子俘获效应，这 些都会降低束流寿命 但只要束流流强的变化不是太大、太剧烈，将寿命作为一 个常数处理是合理的，所以被广泛采用

束流寿命实例 DESY, electron/proton collider.

3. 量子寿命 量子寿命—一般只对电子考虑 横向量子寿命 真空室尺寸——定义 纵向量子寿命 由量子效应决定的电子束寿命称为量子寿命。 储存环中的电子，由于发射光量子，其横向位移发生变化。由于量 子发射而位移超过真空室尺寸的电子将会与真空室壁碰撞而损失。 量子发射除了引起横向振荡的反常涨落之外，也能引起能量振荡 的反常涨落而造成电子越出相稳定区而丢失，这也是一种量子寿 命，与电子能量和高频参数有关。 横向量子寿命 真空室尺寸——定义 纵向量子寿命

横向振荡的量子寿命 电子的横向分布：电子在储存环中任意方位s上，电 子的横向分布具有高斯分布的形式 W(u)为横向分布函数 为均方根偏差值

关于分布的讨论 用W(u)这个分布函数来描述电子的横向分布只是 一种近似。因为这种分布可以延伸到正负无穷远 处，而真空室的尺寸是有限的。但只要真空室的横 向孔径处处比束团尺寸σu大得多，则用高斯分布 来描述是足够精确的

量子寿命的定义 量子寿命是由于量子发射使电子数目减少到1/e倍 的时间 积分便可得到 如果真空室的孔径足够大，以致于电子直接碰壁的机会 很小，则由于量子发射而损失的几率对于所有的电子都 是一样的。因此，其损失率正比于真空室内的储存电子数 目N。单位时间内，每个电子损失的几率为： 要计算量子寿命，就要推导电子损失率。 是量子寿命 积分便可得到

考虑所有条件来精确计算量子寿命是相当复杂的 计算在寿命足够长的情况下的量子寿命 只考虑储存环上最感兴趣的限制条件下，结果足够精确 先考虑横向的量子寿命，再考虑纵向量子寿命 径向简化：只有横向振荡，无能散导致的展宽 无辐射效应的包络： 考虑辐射效应时，包络会随时间随机变化，但是其变化的时间尺度要远长于回旋周期—包络是全环整体变大变小的 假定在任一方位元s1增加一个限制孔径。则包络变化时将首先遇到这个限制孔径，所有的损失都将在其上发生

横向振荡的有效能量的度量 在任一方位S1处，横向振荡位移为 在真空室无穷大的条件下 定义 为振荡的有效能量的度量 定义 为振荡的有效能量的度量 量子激发与辐射阻尼效应使W有一个缓慢的变化过程 （束流的动态平衡） 在真空室无穷大的条件下 h(W)为电子随W的分布，则W到W+dW之间的电子数为

振荡能量大于临界能量的电子数目为 真空室为有限尺寸的情况下，假设真空室的孔径限制临界能量为 ，则能量大于它的电子都将损失掉。 真空室为有限尺寸的情况下，假设真空室的孔径限制临界能量为 ，则能量大于它的电子都将损失掉。 振荡能量大于临界能量的电子数目为 与h(W)具有相同的分布

量子寿命估算 粗略来说，量子涨落的“弛豫时间”（电子得到一个新的分布 的时间）等于横向阻尼时间常数，在每个阻尼时间内损失的 电子数目是理想分布中能量大于临界能量的电子数目。因 此单位时间内电子的损失为： 量子寿命为：

足够精确的求解方式 量子寿命的精确求解需要写出h(w)的方程，并给出近似的 边界条件，采用数值方法求解 不采用这种方法，采用近似求解，给出足够精确的结果 考虑如果没有真空室的限制时，在区域W0>><W>附近电子 的行为 首先，该处电子存在的几率非常小 稳定情况下，如果在W0处观察电子的分布，可以看到尾部 的电子通过W0进入W<W0区域，而由于量子涨落，相同通量 的电子又会进入W>W0区域

电子的通量 对于任何电子，由于辐射阻尼 因此，由于辐射阻尼，电子通过W0的通量为 如没有孔径限制，稳定情况下，左右通过W0的净通 量为0

损失率 考虑实际孔径的限制，对足够大的孔径来说，分布 的主体部分受到的影响很小 这样可以认为向外的电子通量不受孔径的影响， 与没有孔径的情况一样 向内的通量为0 对于 ，就可以估计损失率

横向量子寿命（1） 真空室能量尺寸 令

横向量子寿命（2） 与前面估算差一个系数。 两者差别可要认为弛豫时间被这个因子减小了。 这是由于对于短时间内统计来说，尾部的电子与 主体部分电子相比，较大的涨落将占用更多的阻 尼时间部分

Break

能散对径向量子寿命的影响 前面讨论的 事实上是 对束团尺寸也有贡献，两个阻尼时间相差约为 1倍。 所以计算时可以取 为真实束团尺寸， 为 前面讨论的 事实上是 对束团尺寸也有贡献，两个阻尼时间相差约为 1倍。 所以计算时可以取 为真实束团尺寸， 为 和 之间的一个数，给出估算 也可取 和 中的最小值，给出一个保守的估 计结果 垂直方向没有能散影响

临界尺寸（1） 由量子寿命公式可见，量子寿命随真空室尺寸的 平方指数变化 存在一个真空室尺寸W 这个临界尺寸出现在

设计时一般取10σu为真空室尺寸，以保证具有足够的量子寿命 临界尺寸（2） 临界尺寸对应于 合肥光源 ，在 从4~10取值时： 设计时一般取10σu为真空室尺寸，以保证具有足够的量子寿命

真空室尺寸 真空室的横向尺寸是根据束流的量子寿命确定的。 当真空室的横向尺寸大于束团σ的6倍，寿命就可 以较长 一般设计中，取10σ为真空室的尺寸 考虑到磁铁公差引起的闭轨畸变，真空室的半宽度和半高度 和 分别为径向和垂直方向的闭轨畸变值

2.2 纵向振荡的量子寿命 量子发射同样会引起能量振荡振幅的反常涨落， 导致电子越出相稳定区而丢失，这就是能量振荡 的量子寿命 能量振荡相当于理想粒子在势阱中的运动 势阱的一个边是具有有限高度的“山包”，如果电 子能量偏差较大，以致于可以越过这个“山包” ， 则电子将会丢失

大能量振荡：纵向势阱图

横坐标是时间 纵坐标是虚构的振荡能量位势，相应动能为 H表示振荡总能量 电子H小于 被势阱俘获而稳定，反之丢失 位能 该时刻能量偏差 最大能量偏差

已经给出能量振荡的幅度的平方满足一个指数式 分布，其中W是幅度的平方，也就是ε2，正比于总 能量H 如果f(H)dH表示总振荡能量处于H与dH之间的电 子数，那么 其中

纵向量子寿命 真实情况下，任何电子的时间位移一旦大于τmax， 也就是说它的能量Ｈ＞ ，电子就会损失掉 我们期望实际的分布在τmax处降为0 即 ，量子激发导致电子持续损失 与横向类似

因为 量子寿命是粒子数衰减到1/e的时间 量子寿命

为同步振荡的阻尼时间常数， 是与储存环的参数有关的一个数。对于等磁场弯铁和正弦型高频电压的储存环，有 最大能量偏差 其中 能散的标准偏差 为同步振荡的阻尼时间常数， 是与储存环的参数有关的一个数。对于等磁场弯铁和正弦型高频电压的储存环，有 其中h为谐波数 ， 为常数，F(q)为能量孔径函数 为过电压系数

纵向量子寿命举例 一般 足以保证足够的量子寿命 合肥HLS 4 5 6 7 8 9 10 2s 118s 5.6h 2700h 一般 足以保证足够的量子寿命 合肥HLS 4 5 6 7 8 9 10 2s 118s 5.6h 2700h 3.8X106h 1.5X 1010h 1.6X 1014h

4 束流的散射寿命 束流的真空寿命，是指束流的粒子与真空室中的残余气体 的分子或原子发生碰撞而引起的束流损失所限制的寿命 弹性散射与非弹性散射 弹性散射：储存电子被横向散射，增加自由振荡幅度，如变化足够大， 电子会损失 非弹性散射：电子由于辐射损失能量或传递能量给气体原子，导致跃 出能量接受度而损失 残余气体的原子核对束流电子的散射 弹性散射：卢瑟福散射（库伦散射） 非弹性散射：轫致辐射 残余气体的核外电子（壳层电子）对束流电子的散射 束流真空寿命与真空室的真空度直接相关

原子核对束流电子的弹性散射（卢瑟福散射） 　　如果在散射过程中初始电子损失能量极少，电子方向可能改变，其能量基本上仍是相同的，就被描述为弹性散射。散射过程中两粒子间只有动能的交换，粒子类型、内部状态和粒子数量无变化。 否则为非弹性散射 剩余气体的原子核对束流电子的弹 性散射可导致束流粒子横向的一个 偏角 如果偏转后电子的横向运动幅度超 过真空室的孔径限制，导致电子丢 失

散射截面 scattering cross section     描述微观粒子散射概率的一种物理量。又称碰撞截面，简称截面。一种运动中的粒子碰撞另一种静止粒子时，如果在单位时间内通过垂直于运动方向单位面积上的运动粒子数为1，静止粒子数也是1，则单位时间发生碰撞的概率称为碰撞截面 截面的量纲与面积的量纲相同 ，单位是靶恩，1靶恩＝10-28米2。如果碰撞为弹性散射，相应的截面称为弹性截面，如果碰撞为非弹性散射，相应的截面称为非弹性截面。根据粒子散射截面的分析可获得许多有关粒子的信息。

发射散射的地点是任意的，βi取<β> 卢瑟福散射损失截面 设真空室半孔径为H Ai>=H：电子丢失 发射散射的地点是任意的，βi取<β> 得到损失截面 可以看到束流电子在残余气体原子核上的损失截面与电 子相对能量的平方成反比，能量越低的环，散射截面越 大。残余气体的原子序数越大，散射截面也越大（与教材 公式相差一个系数） 对不平滑真空室，有 魏德曼估算库伦散射寿命的公式(aAcc接受度）阿拉丁环 𝜏 𝑐𝑜𝑢𝑙 =10 𝐸 0 2 𝑎 𝐴𝑐𝑐 𝑃 𝛽 ，其中p: nTorr，a mm.mrad，β m（更危险的方向）

轫致辐射 储存环的电子通过剩余气体时，与原子核作用。轨道发生 偏转，放出电磁辐射，称为轫致辐射 非弹性散射，造成能量损失 当能量损失足够大时，电子越出能量接受度范围而丢失 如果辐射位置色散不为0，就会激励起一个自由振荡，如其幅度够大， 电子也会丢失 总损失截面 能量偏差做出两部分贡献： RF的接受度εrf 能量损失导致β振荡过大，电子丢失 取两者中较小的，εrf为决定因素，εrf<<1

电子与剩余气体原子的壳层电子的散射 电子与剩余气体原子的壳层电子的散射过程中，入射电子 可以将部分能量转移给核外电子。是一个准弹性散射过程 循环束流粒子的能量再次损失时，如果能量偏差大于接受 度，就会丢失。其损失截面为 电子与剩余气体原子的壳层电子的散射中，壳层电子被激 发，并伴随光子的辐射，是一个非弹性散射过程 其损失截面为

束流的总真空寿命 四种与真空度有关的束流寿命定义为 p为储存环中剩余气体气压，同步辐射打在室壁上放气 总真空寿命 无束流时的气压+正比于流强的效应 总真空寿命 弹性散射与能量正相关，非弹性散射与能量无关或负相关 低能环以弹性散射为主，高能环以非弹性散射为主 剩余气体分子的密度 真空物理 束流流强 与气体解吸有关的出气率 光电解吸，大立体角光电子使气体分子溢出

4. 托歇克寿命 Touschek效应是电子束团内部电子与电子之间的 大角度库仑散射导致的损失机制 如电子动量变化超出相稳定区的范围，则电子将 会丢失 这个效应是1963年法意学者在意大利250MeV正负 电子对撞机ADA上发现的，Touschek对其机制解 释而命名 由于Touschek效应导致束流减少到1/e所需的时间 为Touschek寿命

Touschek效应 Touschek效应是当今同步辐射源亮度的一个限制因素 横向动量—>纵向动量！

Touschek效应 Touschek效应使电子纵向动量发生变化的量级为 能量接受度的量级 粒子在横向是高斯分布的，所以会有更大的能量 变化出现 Touschek效应使电子具有一定的损失速率 储存环中电子束流一般是扁平束，垂直束团尺寸 远小于水平方向的，所以一般忽略垂直方向的 Touschek效应

我们在第二章中已经得到纵向运动的相稳定区的公式： 如果上式中的电子能量用动量来表示的话，有 式中 为粒子的总动量， 是粒子的最大动量偏差，由高频电压决定

当q值足够大时，F(q)/q值趋向2，即

束团中电子的横向运动速度是非相对论性的 假定任意两个电子ei和ek的径向速度分别为vi和vk，则二者 间的相对速度为v= vi-vk 这对电子组成的质心系中，电子的动量qjm0c，则对质心的 相对动量为 𝑞 𝑗 = 𝑣 2𝑐 从这里开始，动量都用无量纲的相对动量表示 如果这对电子发生弹性碰撞，则碰撞后电子获得纵向动量 分量 𝑞 𝑗 cos 𝜓 实验室坐标系中是𝛾 𝑞 𝑗 cos 𝜓

横向运动是非相对论性的，因此，按照Moller公式， 在散射角θ上的有效微分散射截面 因此，如果 亦即 则：电子越出相稳定区，丢失 横向运动是非相对论性的，因此，按照Moller公式， 在散射角θ上的有效微分散射截面 其中 cos 𝜃 = sin 𝜓 cos 𝜙 dΩ= sin 𝜓 d𝜓d 𝜙

总的有效散射截面 当束团中电子的径向动量是高斯分布时，可以得 到

这里，C(ε)为与储存环束流的能量、能散和高频 参数有关的函数 C 𝜀 =𝜀 𝜀 ∞ 1 𝑢 2 𝑢 𝜀 − 1 2 ln 𝑢 𝜀 −1 e −𝑢 d𝑢 当𝜀<10-2, C 𝜀 ≈ ln 1 1.78𝜀 −1.5

对时间求导：在一个束团的体积元dV中，包含有dN 个电子，它因弹性散射而损失的几率为 其中ρ为电子密度dN/dV 因此也可以写成 这样，整个束团中的电子的损失率

此式在以碰撞点为坐标原点建立的特殊的束团坐 标系s下成立 因此，弹性散射决定的寿命 此式在以碰撞点为坐标原点建立的特殊的束团坐 标系s下成立 除以γ，实验室坐标系下的束流寿命 其中， ρ L = 𝑁 𝑏 2π 3/2 δ𝑥δyδ𝑙 𝑒 − 𝑥 2 2 δ𝑥 2 + 𝑦 2 2 δ𝑦 2 + 𝑙 2 2 δ𝑙 2

这样， 此处(Vb)L为实验室坐标系下电子束团的体积，在 束团坐标系s中则有 又因为 代入τL

最后可以得到实验室坐标系下的束流寿命 这里，re为电子经典半径，c为光速 N 束团粒子总数（教材上说是束流粒子总数） δpx 径向相对动量偏差（乘以m0c为实际值） Δprf 高频的最大动量接收度（相对） h 高频谐波数 其他值在前面已经给出过定义

多重托歇克效应 在能量较高的储存环中，计算出来的托歇克寿命与实验测 量值符合得较好。但储存电子的能量较低时，则计算值比 实际测量值小得多 这是因为，储存能量较低时，碰撞粒子之间的动量交换较 小，一次碰撞而引起的纵向动量变化也较小，不足以导致 电子越出相稳定区损失掉 经过多次碰撞该电子才会越出相稳定区而丢失； 多次碰撞过程，激发横向振荡和纵向振荡，使得束团的截面变大、体 积和能散度增加。其结果导致束流的托歇克寿命的增加 这是为什么储存电子能量较低时实际的托歇克寿命比理论 计算值大得多的合理解释 电子经过多次碰撞才会损失的效应叫多重托歇克效应

IBS(问题的引入) 多重Touschek寿命，也被 称为IBS效应 A.Piwinski对整个理论进 行了总结，并将多重 Touchesk效应命名为 Intrabeam Scattering(IBS) 寿命的修正，可课外阅读 课本的参考文献 多重托歇克效应或称IBS 效应是中低能量、低发射 度储存环集体效应中的重 要研究对象

作业五 讨论：对一个储存环同步辐射光源，怎样获得高亮 度和比较长的束流寿命？ 论述成理即可，不要求符合前沿加速器设计的实际构思