空间任意力系： 各力的作用线不在同一平面内，既不交于 同一 点，又不相互平行

5.1 力对点的矩矢 力对轴的矩 5.2 空间任意力系向一点的简化 5.3 空间任意力系的平衡方程 5.4 重心

5.1.1 力对点的矩矢 三要素： (1)大小： 力 F 与力臂的乘积 (2)方向： 转动方向 (3)作用面：力矩作用面。 A B F1 O (3)作用面：力矩作用面。 力 F 对点 O 的矩矢： F2 C

垂直于 F 和 r 所确定的平面 指向由右手螺旋法则 确定 O A F B y z x MO(F) a i j k r d （x, y, z） 垂直于 F 和 r 所确定的平面 指向由右手螺旋法则 确定

d O A F B y z x r （x, y, z） a MO(F) i j k MO ( F ) 在坐标轴上的投影

5.1.2 力对轴的矩 z 实例 F Fxy Fz F O d F

力 F 对某一轴的矩，等于力 F 在垂直于该轴的平面上的投影对该平面与轴交点的矩。 一般情况 力 F 对某一轴的矩，等于力 F 在垂直于该轴的平面上的投影对该平面与轴交点的矩。 F x z O y Fxy 例如 同理 y x Fx Fy 力 F 作用线与轴相交，力对轴的矩为零 力 F 作用线与轴平行，力对轴的矩为零 力 F 沿作用线移动，力对轴的矩不变

5.1.3 力矩关系定理 MO ( F ) 在坐标轴上的投影 F 对通过 O 点的坐标轴的矩 定理：力 F 对点的矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于此力对该轴的矩。

MO ( F ) 的大小 MO ( F ) 的方向余弦

例 1 分别求力 F1、F2 对 O 点的矩矢及对坐标轴的矩。已知F1=F2 =F x y z F1 F2 O a 解：计算力对轴的矩 i j k 用力矩关系定理求力对 O 的矩矢

5.2.1 空间任意力系向一点简化的主矢和主矩 同平面任意力系向一点的简化 空间汇交力系 一个力 主矢 空间任意力系 主矩 空间力偶系 力线平移 空间任意力系 主矩 空间力偶系 一个力偶 主矢： 主矢的大小： 主矢的方向余弦：

主矩： 主矩的投影： 同理： 主矩大小： 主矩方向余弦：

5.2.2 空间任意力系简化结果分析 （1）主矢 ，主矩 原力系为一平衡力系。 （2）主矢 ，主矩 原力系最终简化为一合力。合力矢等于主矢并过简化中心 （3）主矢 ，主矩 原力系最终简化为一合力偶，合力偶矩矢等于主矩。

原力系最终简化为一合力。合力的作用线通过 O1。 （4）主矢 ，主矩 ，且 O FR MO FR = FR O FR O1 d O O1 FR d MO FR d = 原力系最终简化为一合力。合力的作用线通过 O1。 合力对 O 点的矩矢 对 O 点的主矩 由力矩关系定理 合力矩定理：空间任意力系的合力对任一点（或轴）的矩等于 各分力对该点（或轴）矩的矢量和（或代数和）

原力系最终简化为一力螺旋。力螺旋的中心轴通过 O。 （5）主矢 ，主矩 ，且 原力系最终简化为一力螺旋。力螺旋的中心轴通过 O。 力螺旋：一个力及与之垂直的平面内作用的力偶所组成 的力系 O FR MO O FR MO 右力螺旋 左力螺旋

原力系最终简化为一力螺旋。力螺旋的中心轴过 O1。 （6）主矢 ，主矩 ，且 FR O d O1 FR O d O1 O FR MO q FR MO MO FR = FR MO MO MO MO FR d = 原力系最终简化为一力螺旋。力螺旋的中心轴过 O1。

空间任意力系的简化结果 简化结果 主矢 ，主矩 平衡 合力偶 过简化中心 合力 中心轴过简化中心 力螺旋

按简化理论，将固定端处的约束反力向固定端点 A 处简化，得到一个力和一个力偶。 5.2.3 空间固定端约束 y x z A FAy FAz FAx Mx My Mz 按简化理论，将固定端处的约束反力向固定端点 A 处简化，得到一个力和一个力偶。 力的大小和方向不能确定，用三个正交的分力来表示； 力偶的大小和方向不能确定，用三个正交的分量表示。

5.3.1 空间任意力系的平衡方程 必要与充分条件：空间任意力系的主矢和主矩同时为零矢量

—— 空间任意力系平衡方程 必要与充分的解析条件：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零，各力对三个轴的矩的代数和也均为零。 3个投影方程和3个力矩方程，共6个独立方程，解6个未知量 还有四矩式，五矩式和六矩式的平衡方程

空间平行力系：各力的作用线不在同一平面内但相互平行 的力系 5.3.2 空间平行力系的平衡方程 空间平行力系：各力的作用线不在同一平面内但相互平行 的力系 O y z x F1 F2 Fn Fi 空间平行力系的平衡方程：

例2 悬臂刚架，平面 BCD 与平面 CBA 垂直。F1 与平面CBA 平行，F2 沿 CD，均布载荷位于平面 CBA 内。已知： q = 50kN/m； ； 。 ， 解： 取悬臂刚架 ABCD 为研究对象 A B C D a F1 F2 q x y z FAx My FAy FAz Mx Mz

A B C D a F1 F2 q x y z FAx My FAy FAz Mx Mz 列平衡方程 解得

例3 曲轴尺寸如图，已知：F=2000N，F2=2F1，q =30°，b =60 °，R=1.5D。求：F1、F2 及 A、B 处约束力 解： 取曲轴为研究对象 列平衡方程

解得

例4 已知： F、P 。求各杆内力 解：取长方板为研究对象 A B C a b x y z E F G H D P 2 1 3 4 5 6

5.4.1 重心的坐标公式 对 y 轴用合力矩定理 对 x 轴用合力矩定理

再对 x 轴用合力矩定理 重心坐标的公式为

对均质物体 对均质等厚板、壳 形心公式

5.4.2 重心的确定方法 （1）均质简单几何形状物体： 应用重心坐标公式求出。 对于具有对称性的均质物体，其重心必在物体的对称轴、对称面和对称中心上。 例如，均质球体的重心位于球体的球心。 （2）组合体： 分割法。 空洞或挖去部分的体积、面积取为负值，即负面积法或负体积法。

（3）复杂形状或质量分别不均匀的物体： 采用实验方法测定其重心的位置。如，悬挂法、称重法等 悬挂法

称重法

图形关于 y 轴对称，其形心必在 y 轴上，即 xC= 0。 例5 求图示平面图形的形心。 解：取坐标系 图形关于 y 轴对称，其形心必在 y 轴上，即 xC= 0。 x y O 方法1 分割法 平面图形可视为两个矩形I、II组合而成。 200 15 50 I 矩形 I 的形心 C1 C1 II C2 矩形 II 的形心 C2

平面图形可视为在矩形 I 中切去两矩形而成。 方法2 负面积法 平面图形可视为在矩形 I 中切去两矩形而成。 x y O 矩形 I 的形心 C1 200 15 50 II I III 矩形 II 、III 的形心 C2、 C3 C2 C3 C1

求：其重心坐标。 例6 已知：等厚均质偏心块， 解：负面积法 设大半圆面积为 A1 小半圆（半径为 r +b ）面积为 A2 小圆（半径为 r）面积为 A3

The End