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处理静力学平衡问题 技法三巧 巧用矢量图解 巧取研究对象 巧解汇交力系

巧用矢量图解

矢量求和图解法则 矢量求差图解法则 F F F1 F2 F2 F1 相加矢量首尾相接，和从第一个加数“尾”指向最后一个加数“头” 相减两矢量箭尾共点，差连接两箭头，方向指向“被减数”

矢量图解示例1 如图所示，三角形ABC三边中点分别为D、E、F，在三角形中任取一点O，如果 、 、 三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为

矢量图解示例2 解 : 由几何关系知 由力△与几何△相似得 如图所示，一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上．有一劲度系数为k，自然长度为L(L＜2R)的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？ 由几何关系知 解 : A R L+Δl 由力△与几何△相似得 O R G FT mg FN

矢量图解示例3 如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为μ,且μ<tan θ,现给A施以一水平力F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力F多大时物体能地斜面上静止 ？ 解 : 静摩擦力达到最大时,斜面约束力作用线方向与斜面法线成摩擦角! F约 F约 Fmin m Fmax tan-1 tan-1 mg

将力F分解为F1和F2两个分力，若已知F的大小及F1和F2的夹角θ，且θ为钝角，则当F1、F2大小相等时，它们的大小为 ;当F1有最大值时，F2大小为 . 专题2-问题1 解 : F1 θ F2 θ θ F F2 F1 F2 F

专题2-问题2 如图所示，放在水平面上的质量为m的物体，在水平恒力F1作用下，刚好做匀速直线运动．若再给物体加一个恒力，且使F1 ＝F2（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F2应沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？ 水平恒力与重力、地面约束力作用而平衡时,三力构成闭合三角形： 解 : 加F2仍构成闭合三角形： F F2 tan-1μ F1 G F2

如图所示，一光滑三角支架，顶角为θ=45°，在AB和AC两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆AB夹角60°，试求两环质量比M/m． 小试身手题7 解 : 系统处于平衡时,两环所受绳拉力沿绳且等值反向, 支架施支持力垂直各杆,以此为依据作每环三力平衡矢量图: A θ FT FT θ/2 θ/2 mg 对环M Mg C B 对环M

如图所示，用细绳拴住两个质量为m1、m2（m1＜m2）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的1/4．若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，m1处细绳与水平夹角α是多少？ 小试身手题8 解 : 系统处于平衡时,两质点所受绳拉力沿绳切向且等值, 圆柱施支持力垂直柱面,以此为依据作每质点三力平衡矢量图: m2 m1 FT 对质点1 O FT m2g m1g 对质点2

如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体m1和m2，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为α的斜面上，设m1和m2与斜面的摩擦因数为μ1和μ2 ，并满足tanα= ，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线AB的夹角θ． 小试身手题11 系统处于平衡时,两物体所受轻杆力等值反向,沿斜面上每物体受下滑力、最大静摩擦力及杆作用力，每物体三力平衡矢量关系如图: A B m1 m2 θ 解 : 在力矢量三角形中运用余弦定理： 分别以a、b、c表示各力： 在力矢量三角形中运用余弦定理： a c b c 代入题给数据：

巧取研究对象 尽量取整体 需“化内为外”时取部分 方程数不足时取部分 整、分结合，方便解题

巧取研究对象示例1 一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一不可伸长的轻绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态与原来相比，AO杆对P环的支持力FN、摩擦力Ff及细绳上的拉力FT的变化情况是 A. FN不变，Ff变大 ， FT变大 B. FN不变，Ff变小， FT变小 C. FN变大，Ff不变 ，FT变大 D. FN变大，Ff变小，FT变大 P Q O A B 取两环一线为研究对象 FN 取下环为研究对象 FT FT Ff F 2mg F mg

巧取研究对象示例2 解 : 取2环为研究对象 取2、3两环为研究对象，3环重力设为G 1 T T T 3 T 由几何关系得 2 2G 3G 三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等．绳穿过半径为r0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r0的圆环2上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计） 解 : 取2、3两环为研究对象，3环重力设为G 1 T 3 T T 取2环为研究对象 T 由几何关系得 2 2G 3G

解 : 专题2-问题3 取小球为研究对象求绳中拉力: 取整体为研究对象求地面k值 一个底面粗糙质量为Ｍ的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30°夹角，用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，轻绳与斜面的夹角为30°,如图所示．当劈静止时，求绳中拉力的大小；若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k倍，为使整个系统静止，求k的最小值 30° 专题2-问题3 取整体为研究对象求地面k值 30° Φ=tan-1k tan-1k (M+m)g

解 : 专题2-问题4 如图所示，一长L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑，顶角为α的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？ 链条的受力具有旋转对称性．链条各部分间的张力属于内力,需将内力转化为外力，我们可以在链条中隔离出任一微元作为研究对象，链条其它部分对微元的拉力就成为外力，对微元根据平衡规律求解: α FT FT Fi FNi 链条微元处于平衡 Fi △mg

压延机由两轮构成，两轮直径各为d＝50 cm，轮间的间隙为a＝0 压延机由两轮构成，两轮直径各为d＝50 cm，轮间的间隙为a＝0.5 cm，两轮按反方向转动，如图2-15上箭头所示．已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数μ＝0.1．问能压延的铁板厚度b是多少？ 小试身手题2 解 : a b 分析铁板受力如图： 铁板能前进，应满足 分析几何关系求角θ： 解得 b≤0.75 cm FN Ff

物体处于平衡时,其各部分所受力的作用线延长后必汇交于一点,其合力为零. 巧解汇交力系 物体处于平衡时,其各部分所受力的作用线延长后必汇交于一点,其合力为零.

巧解汇交力系示例1 研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形! 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°30°角，则碗对两小球的弹力大小之比是 A. 1∶2 B. ∶1 C. 1∶ D. ∶2 m1 m2 O 取两球一杆为研究对象，分析受力 N1 研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形! N2 由力矢量三角形即得 (m1+m2)g

巧解汇交力系示例2 细线BC与竖直成60°角 BC球系统为一“三力杆”！ ⑴由三力平衡关系图得 ⑵由几何关系图得 如图所示，BC两个小球均重G,用细线悬挂而静止于A、G两点，细线BC伸直.求:⑴AB和CD两根细线的拉力各多大？⑵细线BC与竖直方向的夹角是多大？ BC球系统为一“三力杆”！ FAB A ⑴由三力平衡关系图得 D FAB B C ⑵由几何关系图得 细线BC与竖直成60°角

解 : 专题2-问题5 棒 AB处于静止,三力作用线汇交于一点! 棒 AB受三力: 在三角形BCD中由正弦定理: 又 如图所示，光滑半球壳直径为a ，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平成60°角靠墙静止，求棒长． 解 : 棒 AB受三力: FA A 棒 AB处于静止,三力作用线汇交于一点! FB C O 在三角形BCD中由正弦定理: B G 又

专题2-问题6 如图所示，在墙角处有一根质量为m的均匀绳，一端悬于天花板上的A点，另一端悬于竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C，测得绳长AC=2CB，且在B点附近的切线与竖直成α角，则绳在最低点C处的张力和在A处的张力各多大？ 解 : 取BC段绳为研究对象: 取AC段绳为研究对象: FB α FA A α C mg/3 2mg/3 FTC FTC 最低点C处的张力FTC为 2mg/3

如图所示，有一轻杆AO竖直放在粗糙的水平地面上，A端用细绳系住，细绳另一端固定于地面上B点，已知θ=30°，若在AO杆中点施一大小为F的水平力，使杆处于静止状态，这时地面O端的作用力大小为________，方向________ 。 小试身手题1 F 与杆成30° 解 : 分析杆AO受力: A 研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形! θ F 60° B O

一均匀光滑的棒，长l，重Ｇ，静止在半径为Ｒ的半球形光滑碗内，如图所示，Ｒ＜l/2＜2R．假如θ为平衡时的角度，P为碗边作用于棒上的力．求证： ⑴ P＝（l／4R）G； ⑵（cos2θ／cosθ）＝l／4R． 小试身手题3 棒 处于平衡,三力作用线汇交于一点! 解 : 分析棒的受力如图： P B 由几何关系： P O FB Q 由正弦定理: A G 三力构成闭合三角形! 在力三角形中

一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面上分列两排，其上端挂在两根钢绳上，如图所示为其一侧截面图．已知图中相邻两钢杆间距离均为9m，靠桥面中心的钢杆长度为5m（即CC′=DD′=5m），AA′=FF′，BB′=EE′，又已知两端钢绳与水平成45°角，若不计钢杆与钢绳自重，为使每根钢杆承受负荷相同，则 AA′=____ m，BB′= m． 小试身手题4 14 8 解 : 综合运用三技巧 A′ B′ C′ D′ E′ F′ 45° A B C D E F FA A′ B′ C′ 45° A B C A′ B′ C′ D′ E′ F′ 45° A B C D E F FA FB FB β FCB 2F FCB α FCD β α F F 3F 2F 3F FCD

如图所示，一根重量为G的绳子，两端固定在高度相同的两个钉子上，在其最低点再挂上一重物．设α、β分别是绳子在最低点和悬点处的切线与竖直方向的夹角，试求所挂物体的重量． 小试身手题5 绳最低点受重物拉力： β α 解 : 半边绳的受力： β 对力三角形运用正弦定理： FT FT G0 FT G/2 三力构成闭合三角形!

如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O的距离为4R/3π ，其中R为圆柱体半径．如半圆柱体与水平面间的摩擦因数为μ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ． 小试身手题6 由半圆柱处于平衡,三力作用线汇交于一点来确定地面约束力! 解 : F约 C F 半圆柱所受三力矢量构成闭合三角形 摩擦角 P 由三角形与几何三角形相似,得 G

如图所示，一个半径为R的 光滑圆柱面放置在水平面上．柱面上置一线密度为λ的光滑均匀铁链，其一端固定在柱面顶端A，另一端B恰与水平面相切，试求铁链A端所受拉力以及均匀铁链的重心位置． 小试身手题9 求A处拉力介绍两种方法 解 : A 1 2 3 … i n 将铁链均匀细分n等分,n→∞,研究第i元段: 方法一微元法 微元处于静止,有 B 即,i=1 i=2 … i=n 则 续解

读题 利用数列和公式 利用极限 续解

读题 方法二元功法 A 确定链子重心,可用三力杆平衡法! O B 由图示三力汇交平衡关系得 θ 在图示三角形中由正弦定理 θ C θ

小试身手题10 解 : 如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数． α F F约 θ θ 由图示几何关系 整理得 利用基本不等式性质：