一.多项式构造及其运算 1、多项式构造 poly2str(p,’x’) 将表示多项式系数的行向量p转换为变量是x的多项式形式。 例1 输出多项式f(x)=x4+5x3-3x+1的一般形式。 解：MATLAB命令为： p=[1 5 0 -3 1]; f=poly2str(p,’x’) f= x^4+5x^3-3x+1 例2 写出矩阵 的特征多项式。

解：MATLAB命令为： A=[3,0;-1,4]; p=poly(A) f=poly2str(p,’x’) f= x^2+7x+12 2 求多项式的根 r=roots(p) 求多项式 p的根. 例3 求多项式f(x)=x3-6x2-72x-27的根. 解：MATLAB命令为： p=[1 -6 -72 -27]; r=roots(p) r = 12.1229 -5.7345 -0.3884

3 求多项式在某处的值 y=polyval(p,x) 计算多项式p在变量为x处所对应的数值y. 例4 随机产生一个3阶方阵,并求出多项式f(x)=4x2-3x+1在此方阵处的值. 解：MATLAB命令为： p=[4 -3 1]; x=rand(3) y=polyval(p,x) （x=3,5,7,9）

二 多项式的拟合 p=polyfit(x,y,n) 运用最小二乘法，求由给定向量x和y对应的数据点的n次 多项式拟合函数，p为所求拟合多项式的系数向量。 例5 现有一组实验数据：x的取值从1到2之间的数，间隔为0.1，y的取值 为2.1，3.2 ， 2.1 ， 2.5 ， 3.2 ， 3.5 ， 3.4 ， 4.1 ， 4.7 ， 5.0 ， 4.8。 分别用二次、三次和七次拟合曲线来拟合这组数据，观察这三组拟合曲线 哪个效果更好？ clf; x=1:0.1:2; y=[2.1 3.2 2.1 2.5 3.2 3.5 3.4 4.1 4.7 5.0 4.8]; p2=polyfit(x,y,2); p3=polyfit(x,y,3); p7=polyfit(x,y,7); disp(‘二次拟合函数'),f2=poly2str(p2,'x') disp(‘三次拟合函数'),f3=poly2str(p3,'x') disp(‘七次拟合函'),f7=poly2str(p7,'x')

例6 刹车距离:从司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车 行驶的距离. x1=1:0.01:2; y2=polyval(p2,x1); y3=polyval(p3,x1); y7=polyval(p7,x1); plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'k-.',x1,y7); legend(‘拟合点‘,’二次拟合’,‘三次拟合Ï’,‘七次拟合') 例6 刹车距离:从司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车 行驶的距离. 车速(km/h) 20 40 60 80 100 120 140 刹车距离(m) 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118 153.5

解 建立M文件如下qicheshache.m v=[20:20:140]/3.6; y=[6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118 153.5]; p2=polyfit(v,y,2); disp(‘二次拟合’),f2=poly2str(p2,’v’) v1=[20:1:140]/3.6; y1=polyval(p2,v1); wch=abs(y-polyval(p2,v))./y pjwch=mean(wch) minwch=min(wch) maxwch=max(wch) plot(v,y,’rp’,v1,y1) legend(‘拟合点’,’二次拟合’)

函数名 功能 interp1 一维插值 interpn 高维插值 interp2 二维插值 spline 样条插值 interp3 三维插值 三、多项式插值 插值是根据已知点的信息构造一个近似的函数。插值与拟合有相同的地方， 是要都是要寻找一条“光滑”的曲线交已知的数据点连接起来，不同之处是：拟 合点曲线不要求一定通过数据点，而插值的曲线要求必需通过数据点。 MATLAB常用插值函数 函数名 功能 interp1 一维插值 interpn 高维插值 interp2 二维插值 spline 样条插值 interp3 三维插值 griddata 生成数据栅格 interpft 一维傅里叶插值

1、一维多项式插值 yi=interp1(x,y,xi,method) 已知数据点x和y , 运用method指定的方法计算插值点xi处的值yi ,当输入x是等间距时，可在插值方法前加一个“*”，以提高速度。 其中method的方法主要有4种： nearest:最近点插值，通过四舍五入取与已知数据点最近的值。 linear: 线性插值，用直线连接数据点，插值点的取值对应直线上的值。 spline: 样条插值，有三次样条曲线通过数据点。 cubic: 立方插值，有三次曲线拟合并通过数据点。 例7 用以上四种方法对函数y=1/(2+x2)(x∈[-2,2])选用11个数据点进行插值 并画图比较结果。

y1=interp1(x,y,x1,’nearest’); y2=interp1(x,y,x1,’linear’); 解 相应的M文件为： x=-2:4/(11-1):2,y=1./(2+x.^2) x1=-2:0.1:2; y1=interp1(x,y,x1,’nearest’); y2=interp1(x,y,x1,’linear’); y3=interp1(x,y,x1,’spline’); y4=interp1(x,y,x1,’cubic’); subplot(221),plot(x,y,’rp’,x1,y1),title(‘nearest’) subplot(222),plot(x,y,’rp’,x1,y2),title(‘linear’) subplot(223),plot(x,y,’rp’,x1,y3),title(‘spline’) subplot(224),plot(x,y,’rp’,x1,y4),title(‘cubic’) 其中，样条最好，立方次之，最近点插值最差。

碳含量x 电阻y 三次五次多项式拟合曲线来拟合这组数据并画出图形。 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 1、若多项式f(x)=4x2-3x+1，求f(-1),f(7)及f(A)的值，其中 2.在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中，得到如下数据，分别用一次、 三次五次多项式拟合曲线来拟合这组数据并画出图形。 碳含量x 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 电阻y 16 18 19 21 22.6 23.8 26 3.在某种添加济的不同浓度下对铝合金进行抗拉强度实验，得到如下数据： 现分别使用不同的插值方法，对其中间没有测量的浓度进行推测，并估算出浓度 X=18和26时的抗压强度Y的值。 X=[10 15 20 25 30] Y=[25.2 29.8 31.2 31.7 29.4] X1=10:1:30 Y1=interp1(X,Y,X1,'spline') plot(X,Y,'rp',X1,Y1) 浓度X 10 15 20 25 30 抗压强度Y 25.2 29.8 31.2 31.7 29.4