第二十七章 相 似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质
问题1.把一个三角形放大k倍（或缩小1/k），那么这个三角形的边是否会变化？角呢？ 导入新课 观察与思考 问题1.把一个三角形放大k倍（或缩小1/k），那么这个三角形的边是否会变化？角呢？ 问题2.高是否会变化？猜猜会怎么变化.
一 相似三角形对应线段的比 合作探究 问题：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ A 讲授新课 相似三角形对应线段的比 一 合作探究 问题：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ A A' B' C' B C
解：如图，分别作出△ABC和△A' B' C' 的高AD和A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' ， ∴△ABD∽△A' B' D' ∴ A A' B' C' D' B D C
归纳 由此我们可以得到： 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.
典例精析 例1.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长. A G B C 解：∵ △ABC∽△DEF， （相似三角形对应角平分 线的比等于相似比）， D E F H 解得EH＝3.2(cm). 答：EH的长为3.2cm.
练一练 1．如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是_____，对应边上的中线的比是______ . 2．△ABC与△A'B'C'的相似比为3:4，若BC边上的高AD＝12cm，则B'C'边上的高A'D'＝_______ . 2:3 2:3 16cm
想一想 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A' 从而
相似三角形面积的比 二 合作探究 问题：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？ A A' B' C' B C
由前面的结论，我们有 A A' B' C' D' B D C 由此得出 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
例2. 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE ，AC=2DF， ∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为 ， 求△DEF的边EF上的高和面积. 解：在△ABC和△DEF中， ∵AB=2DE,AC=2DF， 又∵∠D=∠A ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为1:2.
例3.如图，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2 ，且 ，求四边形BCDE的面积. 解：∵∠BAC=∠DAE，且 ∴△ADE∽△ABC ∵它们的相似比为3：5，∴面积比为9：25. 又∵△ABC的面积为100 cm2， ∴△ADE的面积为36 cm2 . ∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
练一练 如图，在正方形网格上有△A1B1C1 和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？ 如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2 的面积比. 解：相似 （△A1B1C1∽△A2B2C2 ） ∵ ∴
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.（ ） 当堂练习 1.判断： （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.（ ） （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍.（ ） √ ×
2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ的值为( ) 3.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______,面积比等于_____. 1:2 1:4 4.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2. 14
5．如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB， AC于点D，E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.
课堂小结 相似三角形对应线段的比等于相似比 相似三角形的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形性质的运用