一次函數與常數函數 函數圖形 自我評量

前面討論過的函數中，凡是可以整理成形如 f（x）＝ax＋b（a≠0）的函數，因為自變數 x 的次方是一次，所以這種函數都稱為一次函數，例如： f（x）＝－3x＋2， f（x）＝ x＋32 等都是一次函數。

在一次函數 f（x）＝ax＋b 的表示式中，稱 ax 是 x 的一次項，其中 a 與 b都是固定的數，它們並不會隨著 x 的改變而改變，相對於 x 的可變動性，我們稱它們為常數，也因此我們稱 b 是一次函數 f（x）＝ax＋b 中的常數項。

一次函數 f（x）＝ax＋4，若 f（3）＝－2，求 a 的值。 1 函數值的應用 一次函數 f（x）＝ax＋4，若 f（3）＝－2，求 a 的值。 f（3）＝－2 表示 x ＝3 時的函數值為－2 f（3）＝3a＋4＝－2 故 a ＝－2 解

一次函數 f（x）＝3x－b，若 f（－2）＝6，求b 的值。

有一個一次函數 f（x）＝ax＋b，且 f（2）＝5， f（3）＝7，求此一次函數。 2 求一次函數 有一個一次函數 f（x）＝ax＋b，且 f（2）＝5， f（3）＝7，求此一次函數。 解 由 f（2）＝5，可得 f（2）＝2a＋b＝5……. 由 f（3）＝7，可得 f（3）＝3a＋b＝7……. 式－式可得： a＝2 將 a＝2 代入1式可得： 4＋b＝5，b＝1 所以此一次函數為 f（x）＝2x＋1。

有一個一次函數 f（x）＝ax＋b，且 f（1）＝4， f（3）＝10。求此一次函數。 f（x）＝3x＋1

在函數 f（x）＝ax＋b 中，若 a＝0，則 f ( x )＝0x＋b，即 f（x）＝b。此時不論變數 x 的值為何，函數 f（x）都對應到一個常數 b。例如：函數 f（x）＝3 ，無論 x 的值為何，所對應的函數值皆為3，此符合函數的定義「對每一個 x 值，都恰好有一個對應的y 值」，因此 f（x）＝3 也是一個函數。 形如 f（x）＝b 的函數，稱為常數函數。

對每一個 給定的 x 值 對應的 函數值皆為 3

有一個常數函數， f（x）＝b，且 f（2）＝－5。求此常數函數。 3 求常數函數 有一個常數函數， f（x）＝b，且 f（2）＝－5。求此常數函數。 解 由 f（2）＝－5，可得 f（2）＝b＝－5， 故此常數函數為 f（x）＝－5。

有一個常數函數 g（x）＝b，且 g（100）＝3。 求此常數函數。 g（x）＝3

給定一個函數 y＝f（x），我們可以把每個 x 值及其對應的 y 值，寫成數對（x , y），並在坐標平面上畫出對應的點，此時就可以得到函數 y＝f（x）的圖形。

例如：給定一次函數 f（x）＝－3x＋2，因為所對應的函數值 f（x）就是y 坐標，所以要畫一次函數 f（x）＝－3x＋2 的圖形，就是將符合 y＝－3x＋2的所有點（x , y）描繪在坐標平面上，因此，f（x）＝－3x＋2 的圖形，就是y＝－3x＋2 的圖形。

二元一次方程式 y＝－3x＋2 的圖形為一直線，因此只要找出滿足方程式的兩個點（0 , 2）、（－1 , 5），再將它們連成直線，即為 f（x）＝－3x＋2 的圖形，如圖 4-3 所示。

在坐標平面上畫出函數 y＝f（x）＝2x＋1 的圖形。 4 畫一次函數的圖形 在坐標平面上畫出函數 y＝f（x）＝2x＋1 的圖形。 解 找出滿足 y＝2x＋1 的兩組解，並將這兩點標示在坐標平面上。 x 1 y 3

再畫出通過這兩點的直線。 此直線即為函數 y＝f（x）＝2x＋1的圖形。

在坐標平面上畫出下列函數的圖形： (1) y＝f（x）＝－x＋3 x 1 y 3 2

(2) y ＝g（x）＝x－1 x 1 y －1

畫出函數 y＝f（x）＝－2 的圖形，並求 f（100）＝？ 5 畫常數函數的圖形 畫出函數 y＝f（x）＝－2 的圖形，並求 f（100）＝？ 找出兩組對應的 x、y 值，如下表： 解 x 1 2 y －2

再畫出通過此兩點的直線，此直線即為 y＝f（x）＝－2 的圖形。 函數 f（x）＝－2 表示不論 x 的值為何，函數值都是－2，因此 f（100）＝－2。

在坐標平面上畫出下列函數的圖形： (1) y＝g（x）＝－1 x 1 y －1

(2) y＝h（x）＝0 x 1 y

由例題 5 及隨堂練習可以知道：像 f（x）＝－2，g（x）＝－1，h（x）＝0 這類的常數函數，無論自變數為何，所對應的函數值都是一個固定值，故常數函數 f（x）＝b（b≠0）的圖形為平行於 x 軸的直線，而函數f（x）＝0的圖形就是 x 軸。 一次函數與常數函數的圖形都是一直線，這兩種函數都稱為線型函數。

形如 f（x）＝ax＋b 的函數，稱為線型函數。 其中， (1) 當 a≠0 時，f（x）＝ax＋b 稱為一次函數； (2) 當 a＝0 時，f（x）＝b 稱為常數函數。

6 已知兩點，求線型函數 已知 f（x）為一線型函數，其圖形通過（2 ,－4）與（－1 , 5）兩點，且分別與 x、y 軸交於 A、B 兩點，試求： (1) 此線型函數。 (2) 三角形 ABO 的面積。( O為坐標平面的原點 )

(1) 設此線型函數為 y＝ f（x）＝ax＋b， 因為函數圖形通過（2 ,－4）與（－1 , 5） 兩點，可得 2a＋b＝－4…….. 解 (1) 設此線型函數為 y＝ f（x）＝ax＋b， 因為函數圖形通過（2 ,－4）與（－1 , 5） 兩點，可得 2a＋b＝－4…….. －a＋b＝5………. 由式－式得：3a＝－9，a＝－3 將 a＝－3 代入式得：（ －6）＋b＝－4， b＝2 故此函數為 f（x）＝－3x＋2。

(2) y＝ f（x）＝－3x＋2 x y 2 與 x 軸交點 A（ , 0） 與 y 軸交點 B（0 , 2） 所以三角形 ABO 的面積 ＝ × × ＝ × × 2＝ （平方單位）。

已知 f（x）為一線型函數，其圖形通過（－1 ,－4）與（3 , 4）兩點，且分別與 x、y 軸交於 A、B 兩點，試求： (1) 此線型函數。 (2) 三角形 ABO 的面積。( O為坐標平面的原點 )

(1) 設此線型函數為 y＝ f（x）＝ax＋b。 將（－1 ,－4）、（3 , 4）代入得 解得 a＝2，b＝－2。 故此線型函數為 f（x）＝2x－2。 (2) y＝2x－2 與 x 軸交點坐標為 A（1 , 0）， y＝2x－2 與 y 軸交點坐標為 B（0 ,－2）。 故三角形 ABO 的面積為 × 1 × 2＝1 (平方單 位)。

7 函數圖形 在坐標平面上畫出當 x 是小於 5 的正整數時，函數 y＝ f（x）＝2x－1 的圖形。

因為 x 是小於 5 的正整數，將每個合乎條件的 x 值及其對應的 y 值列出如下表： x 1 2 3 4 y 5 7 解 因為 x 是小於 5 的正整數，將每個合乎條件的 x 值及其對應的 y 值列出如下表： x 1 2 3 4 y 5 7 然後，在坐標平面上畫出這些對應的點，即為函數的圖形。

在坐標平面上畫出下列函數的圖形： (1) y＝g（x）＝－2x＋3， x 是小於 6 的正整數。 x 1 2 3 4 5 y －1 －3 －5 －7

(2) y＝h（x）＝4， x 是大於－5 的負整數。 x －4 －3 －2 －1 y 4

8 函數圖形的應用 摩天輪的時間與高度之間的關係圖如下圖所示，每一個時間都對應到 一個高度，因此它是 函數的對應關係，若 以 x 表示時間，g（x） 表示該時間點所對應 的高度。試求：

8 函數圖形的應用 (1) g（0）＝？ (2) g（6）＝？ (3) g（22）＝？ (1) g（0）表示 0 分鐘時所對應的高度，所以 解

9 一次函數圖形的應用 某次數學考試，老師用一 次函數f（x）＝ax＋b來調整分數，其中 x 為原來的分數， f（x）表示調整後的分數。已知原來60分變成 68 分，100 分還是100分，試問：

9 一次函數圖形的應用 (1) a、b 之值為多少？ (2) 原來分數考 80 分變成多少分？ (3) 原來分數考多少分調整後變成 60 分？

因為原來 60 分變成 68 分，100 分還是 100分， 所以 f（60）＝60×a＋b＝68 ………… 解 因為原來 60 分變成 68 分，100 分還是 100分， 所以 　 f（60）＝60×a＋b＝68 ………… 　 f（100）＝100×a＋b＝100 …….. 　 式－式得：40a＝32，a＝0.8 　將 a＝0.8 代入式得：b＝20 　所以 a＝0.8，b＝20， 　一次函數為 f（x）＝0.8x＋20

(2) f（80）＝80×0.8＋20＝84（分） (3) 設原來分數考 t 分，調整後變成 60 分。 可列式：f（t）＝t×0.8＋20＝60 解得：0.8t＝40，t＝50 所以原來分數考 50 分，調整後變成 60 分。

A 城市的當月水費與當月使用度數成線型函數的關係，如 右圖所示，其中 x 表示當月使用度數，f（x）表示當月水費。 試回答下列問題：

(1) f（x）＝？ (2) 若當月使用 100 度，水費是多少元？ (3) 當月使用多少度時，水費是 5040 元？ (1) f（x）＝20x＋240 (2) 2240 元 (3) 240 度

1.線型函數：形如 f（x）＝ax＋b 的函數，稱為 線型函數。其中， (1)當 a≠0 時， f（x）＝ax＋b稱為一次函數； (2)當 a＝0 時， f（x）＝b 稱為常數函數。 2.函數圖形：在坐標平面上，將合於 y＝f（x） 關係的所有點（x , y）畫出來，所得到的圖 形就是函數 y＝f（x）的圖形。

一個國家只有數學蓬勃的發展，才能展現它國力的強大。數學的發展和至善，跟國家繁榮昌盛密切相關。 ——拿破崙（Napoleon Bonaparte，1769-1821）

4-2 自我評量 1.判斷下列各函數中，哪些是常數函數？哪些是一 次函數？哪些是線型函數？ (A) f（x）＝2 (B) g（x）＝3x－5 (C) h（x）＝ (D) A（x）＝6x2 (E) B（x）＝2－x (1) 是常數函數的有：____________________ (2) 是一次函數的有：____________________ (3) 是線型函數的有：____________________ (A) 、(C) (B) 、(E) (A) 、(B) 、(C) 、(E)

2.已知一次函數 f（x）＝ax－7，若 f（2）＝－1，求 a 的值。

3.已知 f（x）為一次函數，且 f（0）＝5，f（2）＝－3，試求： (1) f（x）＝－4x＋5 (2) f（5）＝－4×5＋5＝－15

4.在坐標平面上畫出下列各函數的圖形： (1) y＝ f（x）＝－x x 1 －1 y

(2) y＝ f（x）＝－x－3 x －3 y

(3) y＝ f（x）＝3 x 1 y 3

(4) y＝f（x）＝3x＋1，x 是小於 4 的正整數。 2 3 y 4 7 10

5. 設 f（x）為線型函數，其圖形通過（－1 , 2） 與（3 , 10）兩點，設函數y＝f（x）的圖形與 x 軸、 y 軸分別交於 A、B 兩點，試求： (1) 函數 f（x）。 (2) A、B 兩點的坐標。 (3) 三角形 OAB 的面積。 (1) f（x）＝2x＋4 (2) A（－2 , 0）、B（0 , 4） (3) 4 平方單位

6.大力文具行舉辦周年慶促銷活動，已知促銷方式是將原來的價格用線型函數調整成新的價格，使得原來 40 元的文具變成 28 元，60 元的文具變成 40元，試問： (1) 原來價格 80 元的文具調整後變成多少元？ (2) 原來價格多少元的文具調整後變成 100 元？ (1) 52 元 (2) 160 元

函數繪圖軟體 GeoGebra 數學軟體是一個結合動態幾何、代數與微積分的數學軟體，它是由美國 佛羅里達州 大西洋大學（Florida Atlantic University）的數學教授 Markus Hohenwarter 所設計的。這套軟體可以協助我們畫出點、直線、圓與多邊形的圖形，也可以直接在直角坐標系中輸入點坐標、方程式與函數名稱得到圖形。

GeoGebra 數學軟體繪製函數圖形的功能非常強大，方法如下： 二、在下方輸入 框內輸入函數。 例如：輸入 g（x）＝2x＋4，按 ENTER，得 到 y＝g（x）＝2x＋4 的圖形。 再輸入：f（x）＝x^2－6x＋8，按 ENTER， 得到 y＝f（x）＝x2－6x＋8 的圖形。

同學亦可試著輸入其他函數，認識一些未學過函數的圖形，例如：f（x）＝x3、f（x）＝ 等。 以上資料改編自：GeoGebraWiki 中文版 http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/%E4%B8%AD%E6%96%87 免費取得安裝軟體與說明請參考上面網站。