第一章：高斯信道的信号检测 1.1 问题描述 1.2 Bayes检测 1.3 二元实高斯信号检测 1.4 高斯分布充分统计量时的PEP一般计算公式 1.5 二元复高斯信号检测 1.6 多元复高斯信号检测

1.1 问题描述(problem formulation) 信号模型 r=x+n x: 输入信号，取自有限大小的信号星座（如PSK/QAM), i.e., r: 输出信号， n: 高斯噪声 问题描述： 1）根据y和噪声方差，按照一定的准则确定x为有限大小信号星座中的哪一点 2）采用该检测方法的性能评价 Recall 《通原》上的结果 方法：贝叶斯（Bayes）检测 通原上的最大似然（ML）检测是Bayes检测的一个特例 《通原》上直接给出了计算方法和结果，这里我们解决为什么这么做并将之进行推广的问题。

1.2 Bayes检测 Bayes检测：平均代价最小的检测 建模 平均代价定义 Bayes判决规则 Bayes检测性能 派生Bayes检测

建模 二元检测模型 信源（信号空间） 概率转移机构（噪声空间） 观测空间 判决规则 信源的输出称为假设;BPSK={+1，-1｝； 将信源的输出(假设)以一定的概率关系映射到整个观察空间中;r=x+n 观测空间 接收端所有可能观测量的集合; r 判决规则 将观察空间进行合理划分,使每个观测量对应一个假设判断的方法; x=-1 if r<0, and x=+1, otherwise

观测空间划分

判决 假设 二元信号判决结果 判决 假设 二元信号判决概率

平均代价 不同的事件赋予不同的代价（Hi|Hj）cij 一般的，c10>c00, c01>c11, 平均代价表示式

Problem Formulation 目标函数：C 已知条件：P(Hj), cij, 问题：如何对观测空间R进行划分（即确定R0、R1）使得目标函数C最小（贝叶斯准则），即 需要将C表示为P(Hj), cij,R0,R1, 的函数 因此首先将 表示为

Solution f(r) Min C将所有f(ri)<0的ri均放入判决区R0，且R0不包括任何f(ri)>0的ri 反证法证明 存在某个满足f(rk)<0 的rk属于R1，将其放入R0后的代价C’=C+ f(rk)Δrk<C 存在某个满足f(rk)>0 的rk属于R0，将其放入R1后的代价C’=C- f(rk)Δrk<C f(r)

最佳判决区域划分

判决规则

判决规则 似然比函数 似然比检测门限 偶数次换号 奇数次换号

性能评价 贝叶斯准则min C，得到的判决规则性能如何，需考察 需要计算 需要首先获得

派生贝叶斯准则 最小平均错误概率（MAEP）准则 c00=c11=0, c10=c01=1时的Bayes准则 似然比检测门限 判决准则 平均代价 min C min Pe

派生贝叶斯准则 最大似然（ML）准则 c00=c11=0, c10=c01=1，且先验等概（即P(H0)=P(H1)=1/2）时的Bayes准则 似然比检测门限 判决准则

派生贝叶斯准则 最大后验概率（MAP）准则 c10-c00=c01-c11时的Bayes准则 似然比检测门限 判决准则

ML:c00=c11=0, c10=c01=1， P(H0)=P(H1)=1/2 派生贝叶斯准则 ML:c00=c11=0, c10=c01=1， P(H0)=P(H1)=1/2 MAEP: c00=c11=0, c10=c01=1 MAP: c10-c00=c01-c11

Bayes检测一般步骤 1）从具体问题中得到下式中各项的具体表达式 2）化简 3）判决 4）得到充分统计量的概率分布 5）计算 以及平均代价

1.3二元实高斯信号检测 BPSK On-Off Keying Binary Orthogonal Modulation

BPSK over real AWGN AWGN信道上BPSK调制的ML检测性能 高斯 Q函数

OOK 在OOK二元数字通信系统，接收端N次独立采样值为 若已知似然比检测门限 ，计算判决概率

独立采样

(l|Hj)：高斯变量的线性变换仍然服从高斯分布

Binary OM over real AWGN 如右图所示的二元正交调制。当其他条件均相同时，计算ML检测性能 并和BPSK进行比较分析

实高斯信道二阶信号星座性能 频谱效率(bpcu) 平均符号能量Es 误码率 平均比特能量Eb BPSK (-A, A) 1 A2 =Es=A2 OOK (0, A) A2/2 =Es=A2/2 BOM (A0, 0A) 0.5 =2Es=A2

1.4高斯分布充分统计量时的PEP一般计算公式 1.一般高斯分布的联合概率密度函数 若一个N维随机矢量 的各分量是联合高斯分布 是N维高斯随机变量。 则称

一般高斯信号的统计检测 2.一般高斯二元信号的统计检测 对信号进行N次观察，得到 假设 是N维高斯随机变量。 在H0为真的条件下，有

一般高斯信号的统计检测 对信号进行N次观察，得到 假设 是N维高斯随机变量。 在H1为真的条件下，有

一般高斯信号的统计检测 根据贝叶斯检测准则 可得到

一般高斯信号的统计检测

一般高斯信号的统计检测

等协方差矩阵的情况

等协方差矩阵的情况

等协方差矩阵的情况 检测性能分析

等协方差矩阵的情况

等协方差矩阵的情况

ML检测的成对错误概率PEP ML检测： D/2 D l E[l|H0] E[l|H1] 可容忍的等效噪声的数目： PEP=Q(Nn)

思考 用偏移系数公式比较分析BPSK、OOK和BOM在实高斯信道上的性能 BPSK信号星座{-a,+a}与{b-a,b+a}(b≠0)误码性能有差别吗？

1.5 二元复高斯信号检测 复信号检测（OOK） BPSK BOM

复信号检测 1 复随机变量的概率密度函数 假设 为一高斯复随机变量，实部和虚部相互统计独立

复信号的统计检测 2 确知二元复信号（OOK）的统计检测 是确知的复信号； 是均值为零，方差为 的复高斯噪声 不同观察次数之间是相互独立的。

复信号的统计检测 根据贝叶斯检测准则，可得 由 取对数，化简

复信号的统计检测 因此，贝叶斯检测为

复信号的统计检测 3 确知二元复信号的统计检测的性能分析 令

复信号的统计检测 3 确知二元复信号的统计检测的性能分析 令

复信号的统计检测 3 确知二元复信号的统计检测的性能分析 令

BPSK的ML检测性能 BPSK调制 计算采用ML检测的误码率

BPSK解调性能

BPSK解调性能

二元正交调制性能 如图所示的二元正交调制和BPSK相比，具有相同的谱效率。当其他条件均相同时，计算 并和BPSK进行比较分析

二元正交调制解调性能

二元正交调制解调性能

二元正交调制解调性能 Recall BPSK Performance loss: 3dB

Alternative Solution

Alternative Solution

1.6多元复高斯信号检测 建模 Bayes判决规则 ML检测 M-PAM M-QAM

定义 BPSK调制：每符号携带1比特信息 高速无线通信高谱效率高阶调制（如64-QAM，每符号携带log264=6比特信息）如何检测？ 多元信号检测：

Problem Formulation 平均代价： 问题：如何对观测空间R进行划分（即确定R0,R1,…, RM-1）使得目标函数C最小（贝叶斯准则），即

Solution

Solution Min C将使Ii (r)最小的r均放入判决区Ri，i.e. 如，H0成立的判决域R0为右式的解

Example r1 r2 r3 r4 r5 r6 I0(·) 0.5 0.1 0.8 1.2 0.2 I1(·) 0.3 1.0 0.7 1.6 1.3 I2(·) 0.4 2.0 0.6 I3(·) 1.5 0.9 R0={r2 r5} R1={r1} R2={r3 r6} R3={r4}

M=2

ML准则 正确判决代价为0，错误判决代价为1，且信源的假设先验等概

M-PAM性能 M-PAM (M为偶数）调制 计算信号平均能量Eav，ML检测的平均错误概率Pe

M-PAM

M-PAM

M-PAM

M-PAM

M-QAM 计算采用ML检测的M-QAM平均错误概率Pe （M=22k，k>0的正整数）

M-QAM

M-QAM

第一章大作业 在同一张图中，给出BPSK, QPSK, 16-QAM在高斯信道上的BER（不同于SER）性能曲线（包括理论和Monte Carlo仿真曲线，横坐标为E_b/N_0）。 提示：

Monte Carlo 仿真结构 int main(int argc, char *argv[]) { double EbN0, BER; char *filename, defaultFilename[] = {"sweep.opt"}; FILE *fp;   if (argc > 1) filename = argv[1]; else filename = defaultFilename; ReadSweepFile(filename,SweepFile); fp = OpenOutFile(); EbN0 = EbN0_Start; for (int i = 0; i < simnum; i++) { BER = Simulation(EbN0, errornum); fprintf(stderr,"EbN0=%ledB\tBER=%le\n",10*log10(EbN0),BER); EbN0 += EbN0_Step; }

Monte Carlo 仿真结构 double Simulation(double snr, int errorNum) { int totalLength = 0; double en = 0.0, SNRindB = 10*log10(snr); while ((en<errorNum || totalLength<20000) && totalLength<1.0e+8) { Sourcer(RawData); Mod_Demod(Estimate, RawData, snr); en += CounteErrors(Estimate, RawData, DataLength); totalLength += DataLength; fprintf(stderr,"BER=%4e #k=%d\n", en/totalLength, totalLength); } return (en/totalLength);}

Q function 证明： 证1：

Q function 证2：for

思考题 一般的M-PSK(M>4)和cross型M-QAM（M=32, 128, 512,…)在AWGN信道上的ML检测符号错误概率的推导。 (hint:大家可以先试着自己做下，然后google下相关文献，看看计算方法和你想的是否一样）。

Cross QAM M=22k+1, 6*6 square block array with the 4 corner blocks deleted, each block with M/32 uniform distributed points. Example, M=128

课程信息 课程名称：“信号检测与估值” 11~15班, 41班: 19班： 考核方式：开卷+大作业（暂定） 选修课，32课时 周一56节（1-9周），周三56节（1-7周） 信远I-105 19班： 选修课，48课时 周一79节（1-9,11-13周），周三56节（1-7,9-13周） 信远I-321 考核方式：开卷+大作业（暂定） 课件下载：http://web.xidian.edu.cn/jpzheng/teach.html

参考教材

在数字通信系统中的位置 算法（核心课程：信号检测与估值） 理论： 信息论 传输系统（核心课程：通原、光/无线通信等）

人的需求 理论 闭环 指导 支撑 相关技术基础 支撑 传输系统 算法 闭环 （新材料、新能源、计算能力等）

内容安排 第一章：高斯信道信号检测 第二章：衰落信道信号检测 第三章：统计信号估计（信道估计） （合计32课时） 专题讨论（16课时） Cross QAM误码率分析 MIMO检测 多用户检测 BCJR算法与软判决检测 Kalman滤波器 蒙特卡洛（Monte Carlo）方法（MCMC与SMC）